数列拔高训练题及答案解析

数列拔高训练题及答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=a_n+2^n(n∈ℕ*),则a_5等于).(A)63(B)65(C)127(D)2552.设等比数列{b_n}的前n项和为S_n,若b_1=1,b_2=2,则S_6等于).(A)63(B)127(C)255(D)5113.已知数列{c_n}的通项公式为c_n=n(n+1)/2,则c_10-c_8的值等于).(A)84(B)85(C)86(D)874.若数列{a_n}满足a_1=2,a_{n+1}=a_n/(a_n+1)(n∈ℕ*),则lim(n→∞)a_n=).(A)0(B)1/2(C)1(D)25.给定数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n+1,则该数列从第几项开始为单调递增数列?).(A)第1项(B)第2项(C)第3项(D)第4项二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）6.下列数列中，是等差数列的是).(A)a_n=3n-5(B)a_n=(-1)^n+1(C)a_n=n^2-2n+3(D)a_n=logbase2(n+1)7.设数列{e_n}满足e_1=1,e_{n+1}=e_n+1/n(n∈ℕ*),则下列说法正确的有).(A)数列{e_n}有界(B)lim(n→∞)e_n=+∞(C)数列{e_n}是单调递增数列(D)数列{e_n}的任意两项之差都是正整数8.若数列{f_n}满足f_1=1,f_2=2,f_{n+2}=f_{n+1}+f_n(n∈ℕ*),则该数列的通项公式a_n可以表示为).(A)a_n=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n+(1/√5)*[(1-√5)/2]^n(B)a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(C)a_n=f_n+f_{n+1}(D)a_n=lim(m→∞)[f_{n+1}/f_n]9.下列关于数列极限的叙述中，正确的有).(A)若lim(n→∞)a_n=A,lim(n→∞)b_n=B,则lim(n→∞)[a_n+b_n]=A+B(B)若lim(n→∞)a_n=A,lim(n→∞)b_n=B(B≠0),则lim(n→∞)[a_n*b_n]=A*B(C)若数列{c_n}单调递增且有上界，则lim(n→∞)c_n一定存在(D)若lim(n→∞)[a_n/b_n]=0(b_n≠0),则必有lim(n→∞)a_n=0三、解答题（本大题共6小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）10.(本小题满分8分)设等差数列{x_n}的前n项和为S_n,已知S_3=9,S_6=36。求该数列的通项公式x_n。11.(本小题满分9分)求数列{y_n}=1+1/3+1/5+...+1/(2n-1)的前n项和S_n。12.(本小题满分9分)已知数列{z_n}满足z_1=1,z_{n+1}=z_n+1/n(n∈ℕ*)。证明：数列{z_n}是有界数列。13.(本小题满分10分)设数列{w_n}的前n项和为S_n=n^2-4n+5。求该数列的通项公式w_n，并判断它是递增数列还是递减数列。14.(本小题满分10分)已知数列{u_n}满足u_1=2,u_{n+1}=2(u_n+1)(n∈ℕ*)。求lim(n→∞)[u_n/(u_{n+1}-1)]。15.(本小题满分9分)设数列{v_n}的通项公式为v_n=n/(n+1)。求证：数列{v_n}的前n项和S_n总是小于n。试卷答案一、选择题1.(C)解析：a_2=a_1+2^1=1+2=3;a_3=a_2+2^2=3+4=7;a_4=a_3+2^3=7+8=15;a_5=a_4+2^4=15+16=31.(注：原参考答案C=127是错误的，正确答案应为31。此处按题目选项给出正确计算过程及结果)2.(A)解析：q=b_2/b_1=2/1=2.S_6=b_1*(q^6-1)/(q-1)=1*(2^6-1)/(2-1)=63.3.(C)解析：c_10=10*11/2=55;c_8=8*9/2=36.c_10-c_8=55-36=19.(注：原参考答案C=86是错误的，正确答案应为19。此处按题目选项给出正确计算过程及结果)4.(A)解析：a_2=a_1/(a_1+1)=2/3.a_3=a_2/(a_2+1)=(2/3)/((2/3)+1)=(2/3)/(5/3)=2/5.a_4=a_3/(a_3+1)=(2/5)/((2/5)+1)=(2/5)/(7/5)=2/7.观察数列a_n=2/(2n-1)，则lim(n→∞)a_n=lim(n→∞)[2/(2n-1)]=0.5.(B)解析：当n=1时,d_1=S_1=1^2+1+1=3.当n≥2时,d_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n+1)-[(n-1)^2+(n-1)+1]=n^2+n+1-(n^2-2n+1+n-1+1)=n^2+n+1-(n^2-n+1)=2n.d_n=2n.d_{n+1}=2(n+1)=2n+2.因为d_{n+1}-d_n=(2n+2)-2n=2>0,所以数列从第2项开始（即从第2项起）为单调递增数列。二、多选题6.(A),(C)解析：等差数列的定义是a_{n+1}-a_n=d(常数).对于(A),a_{n+1}-a_n=(3(n+1)-5)-(3n-5)=3n+3-5-3n+5=3.是等差数列，公差d=3.对于(B),a_{n+1}-a_n=[(-1)^(n+1)+1]-[(-1)^n+1]=(-1)^(n+1)-(-1)^n=2*(-1)^n.不是常数，不是等差数列.对于(C),a_{n+1}-a_n=[(n+1)^2-2(n+1)+3]-[n^2-2n+3]=n^2+2n+1-2n-2+3-n^2+2n-3=2.是等差数列，公差d=2.对于(D),a_{n+1}-a_n=logbase2(n+2)-logbase2(n+1)=logbase2[(n+2)/(n+1)].不是常数，不是等差数列.7.(B),(C),(D)解析：由e_{n+1}=e_n+1/n,知e_{n+1}-e_n=1/n.n≥1时,e_n=(e_n-e_{n-1})+(e_{n-1}-e_{n-2})+...+(e_2-e_1)+e_1=1/(n-1)+1/(n-2)+...+1/1+1.e_n=1+1+1/2+...+1/(n-1).显然e_n随n增大而增大，故数列单调递增(C正确).由于每一项都是正数且无限累加，故lim(n→∞)e_n=+∞(B正确).对于任意n,e_{n+1}-e_n=1/n是正整数(D正确).数列是无界的，但不是有界的(A错误).8.(A),(B),(C)解析：根据递推式f_{n+2}=f_{n+1}+f_n,这是斐波那契数列的递推关系.其通项公式a_n=(1/√5)*[(1+√5)/2]^n+(1/√5)*[(1-√5)/2]^n(A正确).递推关系本身a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(B正确).a_n是由前两项线性组合得到的(C正确).a_{n+1}/f_n=[(1+√5)/2]^n+[(1-√5)/2]^n的极限随n增大主要由第一项决定，极限不为1(D错误).9.(A),(B),(C)解析：根据极限运算法则(A正确,B正确).单调有界数列必有极限(C正确).若lim(n→∞)a_n=A,lim(n→∞)b_n=0,则lim(n→∞)[a_n*b_n]=0.但若lim(n→∞)b_n=∞,则lim(n→∞)[a_n*b_n]可能不存在，也可能为∞或0，取决于a_n的行为.例如a_n=1/n,b_n=n,则lim(n→∞)(a_n*b_n)=lim(n→∞)(1/n*n)=1.故(D)不一定正确.三、解答题10.解：设等差数列{x_n}的首项为x_1，公差为d.由S_3=9,得x_1+x_1+d+x_1+2d=9,即3x_1+3d=9,化简得x_1+d=3①.由S_6=36,得x_1+x_1+d+x_1+2d+x_1+3d+x_1+4d+x_1+5d=36,即6x_1+15d=36,化简得2x_1+5d=12②.解方程组①②:由①得x_1=3-d.代入②,得2(3-d)+5d=12,6-2d+5d=12,3d=6,d=2.将d=2代入x_1=3-d,得x_1=3-2=1.所以数列的通项公式为x_n=x_1+(n-1)d=1+(n-1)*2=1+2n-2=2n-1.11.解：S_n=1+1/3+1/5+...+1/(2n-1).这是一个正项数列求和问题，可以考虑利用“错位相减法”或“裂项相消法”。采用裂项相消法：观察分母，尝试将1/(2k-1)写成两项之差。1/(2k-1)=[1/(2k-1)-1/(2k+1)]+1/(2k-1)+1/(2k+1)=2/((2k-1)(2k+1))+1/(2k-1)+1/(2k+1).但直接裂项较复杂，考虑另一种思路：S_n=1/1+1/3+1/5+...+1/(2n-1).我们知道1/2*S_n=1/2+1/6+1/10+...+1/(2n-2).S_n-1/2*S_n=(1/1-1/2)+(1/3-1/4)+...+(1/(2n-1)-1/(2n-2)).S_n*(1-1/2)=1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/(2n-2).S_n/2=1-(1/2-1/3)-(1/4-1/5)-...-(1/(2n-2)-1/(2n-1)).S_n/2=1-(1/6)-(1/20)-...-(1/(2n-2)(2n-1)).这个差的形式不好处理。尝试另一种方法：考虑与调和级数的比较。S_n是前n项奇数倒数之和。调和级数H_n=1+1/2+1/3+...+1/n.显然S_n<H_n=1+1/2+1/3+...+1/n.S_n=1/1+1/3+1/5+...+1/(2n-1).H_n-S_n=(1/2+1/4+1/6+...+1/(2n-2))+1/n.H_n-S_n=1/2*(1/1+1/2+...+1/(n-1))+1/n=1/2*H_(n-1)+1/n.所以S_n=H_n-(1/2*H_(n-1)+1/n).S_n=(1+1/2+...+1/n)-(1/2*(1+1/2+...+1/(n-1))+1/n)=(1+1/2+...+1/(n-1)+1/n)-(1/2+1/4+...+1/(2n-2)+1/2n)=(1-1/2)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-1)-1/(n-2))+1/n-1/2n=1/2+1/6+...+1/(n-1)-1/(n-2)+1/n-1/2n=1/2+(1/6-1/6)+...+(1/(n-1)-1/(n-1))+1/n-1/2n=1/2+0+...+0+1/n-1/2n=1/2+(1-1/2)n/n=1/2+(1/2)n/n=1/2+1/2=1.(注：此处的推导过程有误，S_n并不等于1。正确的方法是考虑S_n与(n+1)/2的关系，或构造差分数列。)更正思路：考虑S_n=1/1+1/3+1/5+...+1/(2n-1)。S_n-1/2*S_n=1/1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/(2n-2)=1-1/2+1/3-1/4+...+1/(2n-1)-1/(2n-2).S_n/2=1-(1/2-1/3)-(1/4-1/5)-...-(1/(2n-2)-1/(2n-1)).S_n/2=1-(1/6)-(1/20)-...-(1/(2n-2)(2n-1)).这个形式仍然不好。考虑直接求和公式。S_n=Σ(k=1ton)1/(2k-1)=H_n-(1/2*H_(n-1)).S_n=(1+1/2+...+1/n)-(1/2*(1+1/2+...+1/(n-1)))S_n=(n+1)/2-(n/2+1/2n)S_n=(n+1)/2-(n+1)/(2n)S_n=(n+1)(n-1)/(2n)=n(n+1)/(2n)=n(n+1)/(2n)=n(n+1)/(2n).12.证明：已知数列{z_n}满足z_1=1,z_{n+1}=z_n+1/n(n∈ℕ*)。我们知道z_n=z_1+(z_2-z_1)+(z_3-z_2)+...+(z_n-z_{n-1})。z_n=1+1/1+1/2+...+1/(n-1)=1+H_{n-1}。要证明数列有界，即存在常数M，使得对任意n，z_n≤M。因为H_{n-1}=1+1/2+...+1/(n-1)是调和级数的前n-1项和，调和级数发散，H_n→+∞(n→∞)。所以H_{n-1}→+∞(n→∞)。因此，z_n=1+H_{n-1}→+∞(n→∞)。数列{z_n}是无界的。13.解：设数列{w_n}的前n项和为S_n=n^2-4n+5。当n=1时,w_1=S_1=1^2-4*1+5=1-4+5=2.当n≥2时,w_n=S_n-S_{n-1}.w_n=(n^2-4n+5)-[(n-1)^2-4(n-1)+5]w_n=n^2-4n+5-(n^2-2n+1-4n+4+5)w_n=n^2-4n+5-(n^2-6n+10)w_n=n^2-4n+5-n^2+6n-10w_n=2n-5.需要验证当n=1时，w_1是否满足此通项公式：w_1=2*1-5=-3.但S_1=2,所以w_1=S_1=2.因此，数列的通项公式为：w_n={2,ifn=1{2n-5,ifn≥2判断单调性：对于n=1,w_1=2.对于n=2,w_2=2*2-5=-1.对于n≥3,w_n=2n-5.w_{n+1}=2(n+1)-5=2n+2-5=2n-3.w_{n+1}-w_n=(2n-3)-(2n-5)=2>0.所以，从第3项开始，数列是单调递增的。结合w_1=2,w_2=-1,w_3=1,数列在n=1和n=2处有局部极大值，整体上不是单调递增数列，也不是单调递减数列。它从第二项起单调递增。14.解：已知数列{u_n}满足u_1=2,u_{n+1}=2(u_n+1)(n∈ℕ*)。我们知道lim(n→∞)u_n=L。如果极限存在。将递推式两端取极限，得L=2(L+1)。L=2L+2。-L=2。L=-2。假设极限存在且为-2。我们来计算lim(n→∞)[u_n/(u_{n+1}-1)]。u_{n+1}-1=2(u_n+1)-1=2u_n+2-1=2u_n+1。lim(n→∞)[u_n/(u_{n+1}-1)]=lim