【新教材】人教版（2024）七年级上册数学2.2 有理数的乘法与除法 教案

第第页【新教材】人教版（2024）七年级上册数学\o"2.2有理数的乘法与除法"2.2有理数的乘法与除法教案课题：2.2.1有理数的乘法（1）教学目标1.用类比、归纳的方式总结出有理数乘法法则，提高推理能力；2.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算，提高运算能力；3.理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数；4.能运用有理数的乘法解决简单实际问题，增强应用意识.重点难点1.能利用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算；2.理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）一、导入新课【情境导入】如图，有甲、乙两座水库，甲水库的水位每天升高3cm，乙水库的水位每天下降3cm.如果用“＋”号表示水位的上升，用“－”号表示水位的下降，请用算式表示，4天后甲、乙水库水位的总变化量分别是多少？你能找到更简洁的表示方法吗？甲水库水位的总变化量：3＋3＋3＋3或3×4；乙水库水位的总变化量：（－3）＋（－3）＋（－3）＋（－3）或（－3）×4.我们发现（－3）×4这个乘法算式中出现了负数，这节课我们就来学习有理数的乘法.二、合作探究：有理数乘法法则我们已经熟悉正数及0的乘法运算.与加法类似，引入负数后，有理数的乘法运算有哪几种情况呢？教师总结：共三种类型，即：（1）同号两个数相乘；（2）异号两个数相乘；（3）一个数与0相乘.该怎样进行有理数的乘法运算呢？接下来我们先进行下面的探究.问题1观察下面的乘法算式.3×3＝3×2＝3×1＝3×0＝思考：（1）四个算式有什么共同点？（2）其他两个数有什么变化规律？算式的左边都是3×□的形式.随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.（3）要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：3×（-1）＝3×（-2）＝3×（-3）＝问题2观察下面的乘法算式.3×3＝2×3＝1×3＝0×3＝观察上面的乘法算式，你能发现什么规律？（-1）×3＝（-2）×3＝（-3）×3＝思考：从符号和绝对值两个角度观察上述所有算式，你能发现什么规律？正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负数.积的绝对值等于乘数的绝对值的积.问题3利用上面的结论计算下面的算式．（-3）×3＝（-3）×2＝（-3）×1＝（-3）×0＝观察上面的乘法算式，你又发现了什么规律？（-3）×（-1）＝（-3）×（-2）＝（-3）×（-3）＝思考：当负数与负数相乘时，积的符号是什么？积的绝对值又有什么规律？负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.问题4总结上面所有的情况，按照活动二开头分的三种类型，你能试着自己总结出有理数乘法法则吗？显然，两个有理数相乘，积是一个有理数.三、例题讲解例1（教材P39例1）计算：（1）8×（－1）；（2）（－eq\f(1,2)）×（－2）；（3）（－eq\f(2,3)）×（－eq\f(5,7)）.解：（1）8×（－1）＝－（8×1）＝－8；（2）（－eq\f(1,2)）×（－2）＝+（eq\f(1,2)×2）=1；（3）（－eq\f(2,3)）×（－eq\f(5,7)）＝+（eq\f(2,3)×eq\f(5,7)）＝eq\f(10,21).归纳总结同号两数相乘，可以先确定积的符号，再确定积的绝对值补充说明：例1（2）中，（－eq\f(1,2)）×（－2）=1，我们说－eq\f(1,2)和互为倒数.一般地，在有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数.【对应训练】教材P40练习第1.3题例2（教材P40例2）用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后，气温有什么变化？解：（－6）×3=－18.答：登高3km后，气温下降18℃.例2变式在例2的条件下，若登山队已经到达山顶，现在要下山，当他们下山2km后，气温相对山顶的气温有什么变化？解：（－6）×（－2）=12.答：下山2km后，气温上升12℃.【对应训练】教材P40练习第2题.引领提升1.写出下列各数的倒数：1,-1，，，5，-5，，，，，0.8，-0.8.2．如果两数的和是0，积不等于0，则（） A．这两个数不存在 B．这两个数符号相同 C．这两个数不是正数 D．互为相反数且不为03．若︱a︱＝6，︱b︱＝8，则ab＝．4．若ab＝0；则（） A．a＝0，b≠0 B．a≠0，b＝0 C．a＝b＝0 D．a＝0或b＝0五、课堂总结一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.有理数乘法法则是什么？2.有理数的倒数是什么？【知识结构】（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：2.2.1有理数的乘法（2）教学目标1.经历探索有理数的乘法运算律的过程，理解运算律并了解运算律的字母表示，培养抽象能力；2.体会用实例类比、归纳出多个有理数相乘时积的符号的确定方法的过程，提高推理能力；3.熟悉有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算，提高运算能力.重点难点经历多个有理数相乘时积的符号的确定方法的探究过程，会利用有理数的乘法运算律简化运算；逆向利用分配律简化运算.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）回顾旧知问题1计算4×17×0.25×eq\f(13,17).4×17×0.25×eq\f(13,17)＝（4×0.25）×（17×eq\f(13,17)）＝1×13＝13.问题2你是怎样做的？过程中运用了乘法运算律吗？如果运用了，运用了哪些运算律？将4与0.25，17与eq\f(13,17)分别相乘，再把它们的积相乘，其中运用了乘法交换律与乘法结合律.问题3小学学习了乘法的哪些运算律？小学学习了乘法交换律、乘法结合律、分配律.引入负数后，这些运算律还成立吗？这节课我们就来学习有理数乘法的运算律.探究点1有理数的乘法运算律1.乘法交换律问题1计算5×（－6）与（－6）×5.5×（－6）＝－30，（－6）×5＝－30.问题2任意选择两个有理数，分别对应填入下列□和○内，并比较两个运算结果：□×○和○×□，你有什么发现？两个运算的结果相同.在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变.即乘法交换律：ab＝ba.补充说明：a×b也可以写为a·b或ab.当字母表示乘数时，“×”可以写为“·”或省略.2.乘法结合律问题1计算［3×（－4）］×（－5）与3×［（－4）×（－5）］.［3×（－4）］×（－5）＝（－12）×（－5）＝60，3×［（－4）×（－5）］＝3×20＝60.问题2任意选择三个有理数，分别对应填入下列□，○和

内，并比较两个运算结果：（□×○）×

和□×（○×

），你又有什么发现？两个运算的结果相同.在有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.即乘法结合律：（ab）c＝a（bc）.3.分配律问题1计算5×[3+（－7）]与5×3+5×（－7）.5×[3+（－7）]＝5×（－4）＝－20，5×3+5×（－7）＝15－35＝－20.问题2任意选择三个有理数，分别对应填入下列□，○和

内，并比较两个运算结果：□×（○+

）和□×○+□×

，你又有什么发现？两个运算的结果相同.在有理数乘法中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.即分配律：a（b+c）＝ab+ac..思考：回顾活动一中提出的问题，引入负数后，小学学过的乘法运算律在有理数乘法中还成立吗？小学学过的乘法交换律、乘法结合律、分配律在有理数乘法中仍然成立.例题讲解例1（教材P41例3）（1）计算2×3×0.5×（－7）；（2）用两种方法计算（eq\f(1,4)+eq\f(1,6)－eq\f(1,2)）×12.解：（1）2×3×0.5×（－7）＝（2×0.5）×［3×（－7）］＝1×（－21）＝－21.（2）解法1：（eq\f(1,4)+eq\f(1,6)－eq\f(1,2)）×12＝（eq\f(3,12)+eq\f(2,12)－eq\f(6,12)）×12＝－eq\f(1,12)×12＝－1.解法2：（eq\f(1,4)+eq\f(1,6)－eq\f(1,2)）×12＝eq\f(1,4)×12+eq\f(1,6)×12－eq\f(1,2)×12×12＝3+2－6＝－1.思考：比较例1（2）的两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法更简便？答：解法1先做加法运算，再做乘法运算.解法2先做乘法运算，再做加法运算.解法2用了分配律.解法2更简便，因为解法1先要计算三个分数的和.【对应训练】教材P43练习第1题.四、探究点2多个有理数相乘的符号法则1.几个不为0的数相乘问题改变例1（1）的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子.观察这些式子，它们的积是正的还是负的？填表：思考：几个不为0的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数.2.几个数相乘（其中有乘数为0）问题你能看出下列式子的结果吗？如果能，请说明理由.7.8×（－8.1）×0×（－19.6）.结果为0.理由：任何数与0相乘，都得0.思考：（1）你能总结出多个有理数相乘时，积的符号情况吗？归纳总结：几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0.（2）总结出结论以后，该怎么计算多个有理数相乘的积？遇到多个不为0的数相乘，可以先用前面的结论确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值；遇到有乘数为0的情况，可直接得积为0.例2（教材P42）计算：（－3）×eq\f(5,6)×（－eq\f(9,5)）×（－eq\f(1,4)）；（－5）×6×（－eq\f(4,5)）×eq\f(1,4).解：（1）（－3）×eq\f(5,6)×（－eq\f(9,5)）×（－eq\f(1,4)）＝－（3×eq\f(5,6)×eq\f(9,5)×eq\f(1,4)）＝－eq\f(9,8)；（2）（－5）×6×（－eq\f(4,5)）×eq\f(1,4)＝5×6×eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝6.【对应训练】教材P43练习第2题.五、引领提升解：（1）（－0.2）×（－eq\f(3,16)）×（－5）×1eq\f(1,3)＝－（0.2×eq\f(3,16)×5×eq\f(4,3)）＝－［（0.2×5）×（eq\f(3,16)×eq\f(4,3)）］＝－（1×eq\f(1,4)）＝－eq\f(1,4)；（－eq\f(3,4)＋1eq\f(5,6)－eq\f(7,8)）×（－24）＝－eq\f(3,4)×（－24）＋eq\f(11,6)×（－24）－eq\f(7,8)×（－24）＝18－44＋21＝－5；（－5.25）×（－4.73）－4.73×（－19.75）－25×（－5.27）＝（－4.73）×（－5.25－19.75）－25×（－5.27）＝（－4.73）×（－25）－25×（－5.27）＝（－25）×（－4.73－5.27）＝（－25）×（－10）＝250.【对应训练】计算：（1）（－4）×8×（－2.5）×（－0.125）；（2）（1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(1,2)）×1eq\f(1,7)；（3）81.8×2.14＋（－3.14）×35.2＋3.14×（－46.6）.解：（1）（－4）×8×（－2.5）×（－0.125）＝－（4×8×2.5×0.125）＝－［（4×2.5）×（8×0.125）］＝－（10×1）＝－10；（1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(1,2)）×1eq\f(1,7)＝eq\f(7,4)×eq\f(8,7)－eq\f(7,8)×eq\f(8,7)－eq\f(1,2)×eq\f(8,7)＝2－1－eq\f(4,7)＝eq\f(3,7)；（3）81.8×2.14＋（－3.14）×35.2＋3.14×（－46.6）＝81.8×2.14＋3.14×（－35.2－46.6）＝81.8×2.14＋3.14×（－81.8）＝81.8×（2.14－3.14）＝81.8×（－1）＝－81.8【课堂总结】一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.有理数乘法的运算律有哪些？2.多个有理数相乘时怎么确定积的符号？（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：2.2.2有理数的除法（1）教学目标1.经历用转化的数学思想探究有理数除法法则的过程，体会除法与乘法的关系，强化推理能力；2.理解并掌握有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，提高运算能力；3.从除法的角度理解分数，会利用有理数除法法则化简分数.重点难点理解并掌握有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算；会根据不同的情况来选取除法法则的其中一种说法求商.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）情景导入1.如图，王芳从家里到学校，每分钟走50m，共走了20min，则王芳家离学校有多远？放学时，王芳仍然以每分钟50m的速度回家，应该走多少分钟？20×50＝1000（m），1000÷50＝20（min）.因此王芳家离学校1000m，放学时应该走20min.2.从上面这个例子你可以发现，除法与乘法之间满足怎样的关系？除法是乘法的逆运算.引入负数后，在有理数的范围内，该怎么计算除法呢？这节课我们就来学习有理数的除法.合作探究探究点1有理数的除法法则问题1怎样计算8÷（－4）呢？结合下面图示说一说.一个数除以－4可以转化为乘－eq\f(1,4)来进行，即一个数除以－4，等于乘－4的倒数－eq\f(1,4).问题2我们换其他数的除法进行类似讨论（如下面例子），是否仍有除以a（a≠0）可以转化为乘eq\f(1,a)？可以看出其他数的除法仍有这种关系.思考：根据上面你尝试过的例子，能否类比有理数减法法则，总结出有理数除法法则？有理数除法法则（说法1）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.这个法则也可以表示成：a÷b＝a·eq\f(1,b)（b≠0）.例如：两个有理数相除（除数不为0），商是一个有理数.问题3计算：6÷3＝2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷3＝－2，（－6）÷（－3）＝2，0÷3＝0，0÷（－3）＝0.思考：两数相除的商仍由符号和绝对值两部分组成.由于除法可转化为乘法，因此商的符号确定与有理数乘法类似.从符号和绝对值两个角度观察上述算式，你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则？有理数除法法则（说法2）：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得0.例1（教材P44例4）计算：（1）（－36）÷9；（2）（－eq\f(12,25)）÷（－eq\f(3,5)）.解：（1）（－36）÷9＝－（36÷9）＝－4；（2）（－eq\f(12,25)）÷（－eq\f(3,5)）＝（－eq\f(12,25)）×（－eq\f(5,3)）＝eq\f(4,5).思考：对于例1中的两个算式，用有理数除法法则的哪种说法来计算比较简便？例1（1）用说法2比较简便，例1（2）用说法1比较简便.【对应训练】教材P45练习第1题.三、分数的化简问题化简eq\f(8,4)，观察eq\f(8,－4)，引入负数后，沿用小学时分数的意义，那么eq\f(8,－4)化简的结果是什么？eq\f(8,4)＝2，eq\f(8,－4)＝8÷（－4）＝－2.例2（教材P44例5）化简：（1）eq\f(－2,3)；（2）eq\f(－45,－12).解：（1）eq\f(－2,3)＝（－2）÷3＝－（2÷3）＝－eq\f(2,3)；（2）eq\f(－45,－12)＝（－45）÷（－12）＝45÷12＝eq\f(15,4).思考：eq\f(－2,3)是有理数吗？－eq\f(2,3)可以写成两个整数相除的形式吗？eq\f(－2,3)＝－eq\f(2,3)，这表明eq\f(－2,3)是负分数，因而是有理数；反过来看，－eq\f(2,3)＝eq\f(－2,3)，又表明－eq\f(2,3)可以写成Ａeq\f(－2,3)这样两个整数相除的形式.【对应训练】教材P45练习第2题.解：（1）1÷（－1.2）＝1÷（－eq\f(6,5)）＝1×（－eq\f(5,6)）＝－eq\f(5,6)；（2）（－2eq\f(3,11)）÷（－eq\f(5,22)）＝（－eq\f(25,11)）×（－eq\f(22,5)）＝10；（3）（－0.125）÷eq\f(8,3)＝－eq\f(1,8)×eq\f(3,8)＝－eq\f(3,64)；（4）|－4eq\f(2,7)|÷（－3eq\f(1,3)）＝eq\f(30,7)×（－eq\f(3,10)）＝－eq\f(9,7).【对应训练】计算：（1）1÷（－0.8）；（2）（－2eq\f(1,2)）÷（－eq\f(5,7)）；（3）（－0.25）÷1eq\f(1,2)；（4）|－2eq\f(2,3)|÷（－1eq\f(7,9)）.解：（1）1÷（－0.8）＝1÷（－eq\f(4,5)）＝1×（－eq\f(5,4)）＝－eq\f(5,4)；（2）（－2eq\f(1,2)）÷（－eq\f(5,7)）＝（－eq\f(5,2)）×（－eq\f(7,5)）＝eq\f(7,2)；（3）（－0.25）÷1eq\f(1,2)＝（－eq\f(1,4)）×eq\f(2,3)＝－eq\f(1,6)；（4）|－2eq\f(2,3)|÷（－1eq\f(7,9)）＝eq\f(8,3)×（－eq\f(9,16)）＝－eq\f(3,2).四、引领提升1.若两个有理数相除，商是负数，则这两个有理数（）A.都是负数 B.都是正数C.一个是正数、另一个是负数 D.有一个是02.如果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是0，那么这两个有理数（）A.互为相反数，且都不等于0 B.互为倒数C.有一个等于0 D.都等于0利用有理数除法法则进行分析由被除数和除数分析商①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；②0除以任何一个不等于0的数，都得0；③任何一个数（0除外）除以原数都得1，除以原数的相反数都得－1；④1除以一个非0数等于这个数的倒数由商分析被除数和除数①两个数相除，若商是正数，则两数同号；若商是负数，则两数异号；②两个数相除，若商是0，则被除数为0，除数不为0；③两个数相除，若商是1，则这两个数相等（均不为0）；若商是－1，则这两个数互为相反数（均不为0）五、课堂总结一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.有理数除法法则有哪几种说法？2.怎么根据除法算式的情况决定选用哪一种说法？3.怎么利用有理数的除法法则化简分数？【知识结构】有理数的乘除混合运算：确定积的符号；②除法转化为乘法③适当运用乘法的运算律；④最后求出结果。（个人二次备课）板书设计：作业内容：教学反思课题：2.2.1有理数的除法（2）教学目标能运用运算律简化有理数的除法运算，能进行乘除混合运算；掌握有理数的加减乘除混合运算的法则和运算顺序，能够熟练进行混合运算，提高运算能力；能运用有理数的运算解决简单的实际问题；熟悉计算器的操作方法，知道如何用计算器进行一些复杂运算，逐步培养使用信息技术的能力和意识.重点难点能熟练地进行有理数的加减乘除混合运算；巧用运算律简化有理数加减乘除混合运算.教学方法讲练结合教学手段多媒体教学过程（组内集体备课）知识回顾1.我们学过的有理数的运算有哪些？其运算法则分别是什么？2.我们学过的有理数运算中哪些有运算律？分别是哪些？这节课我们就来学习有理数的加减乘除混合运算.合作探究探究点1除法运算的简化与有理数的乘除混合运算例1（教材P45例6）计算：（－125eq\f(5,7)）÷（－5）；（2）－2.5÷eq\f(5,8)×（－eq\f(1,4)）.分析提问：①例1（1）用除法法则的哪一种说法来计算比较好？②联想分配律，将例1（1）转化为乘法后怎样计算更简便？③沿用小学的乘除混合运算顺序，例1（2）可以从左到右依次计算，或者将除法统一成乘法后再计算，你觉得哪种算法更简便？【对应训练】教材P47练习第1题.探究点2有理数的加减乘除混合运算问题1小学学过的四则混合运算的顺序是怎样的？先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.问题2依照运算顺序计算eq\f(6,13)×（eq\f(1,2)－eq\f(1,3)）＋6÷3，说一说每一步是怎样的？eq\f(6,13)×（eq\f(1,2)－eq\f(1,3)）＋6÷3＝eq\f(6,13)×eq\f(1,6)＋6÷3……先进行小括号中的减法运算＝eq\f(1,13)＋2……进行乘除运算＝2eq\f(1,13).……进行加法运算后得到结果问题3引入负数后，若沿用小学学过的加减乘除四则运算顺序，则有理数的加减乘除混合运算的顺序是怎样的？有理数的加、减、乘、除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行.【对应训练】教材P47练习第2题.知识延伸例3（教材P46例8）某公司去年1月－3月平均每月亏损1.5万元，4月－6月平均每月盈利32万元，7月－10月平均每月盈利21.7万元，11月－12月平均每月亏损2.3万元.这个公司去年总的盈亏情况如何？分析：总的盈亏＝1月－12月盈亏情况之和.1月－3月eq\o(――→,\s\up7(亏损))（－1.5）×34月－6月eq\o(――→,\s\up7(盈利))（＋32）×37月－10月eq\o(――→,\s\up7(盈利))（＋21.7）×411月－12月eq\o(――→,\s\up7(亏损))（－2.3）×2解：记盈利额为正数，亏损额为负数.由（－1.5）×3＋32×3＋21.7×4＋（－2.3）×2＝－4.5＋96＋86.8－4.6＝173.7可知，这个公司去年全年盈利173.7万元.工具引入：计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多.例如，可以用计算器计算上面例3中列出的算式：（－1.5）×3＋32×3＋21.7×4＋（－2.3）×2.试试看结果和你笔算的是否相同.【对应训练】1.教材P47练习第3题.2.刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖，下表是一周送出的20筐新鲜蔬菜的质量记录（每筐均以25kg为标准，超过的质量记为正，不足的质量记为负，单位：kg）：求这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量.解：20×25＋2×（－0.8）＋5×0.6＋3×（－0.5）＋4×0.4＋2×0.5＋4×（－0.3）＝500－1.6＋3－1.5＋1.6＋1－1.2＝501.3（kg）.答：这一周送出的20筐新鲜蔬菜的总质量是501.3kg.引领提升1.下