初中九年级数学点和圆的位置关系及确定圆的条件教学设计

初中九年级数学点和圆的位置关系及确定圆的条件教学设计一、教学内容的地位与作用点和圆的位置关系及确定圆的条件，是人教版九年级上册第二十四章圆的开篇内容。这一节看似只有两个知识点，实则承担着从直线形研究转向曲线形研究的桥梁作用。学生在八年级已经系统学习了三角形、四边形的性质与判定，对平面图形的研究路径有了初步认识，而圆是学生接触的第一个曲线图形，研究方法的转变、思维方式的重构，都从这一节开始萌芽。从知识结构看，点和圆的位置关系用数量关系刻画位置关系，渗透了数形结合的思想；不在同一直线上的三个点确定一个圆，则是尺规作图、三角形外接圆、圆周角定理等后续内容的基础，也是学生第一次接触"确定一个图形需要什么条件"这一数学基本问题。反证法在证明"经过同一直线上的三点不能作圆"时的首次亮相，更是学生逻辑推理能力跃升的关键节点。从考试要求看，本节内容在中考中多以选择题、填空题形式出现，常结合三角形外接圆半径的计算、点与圆位置关系的判断、分类讨论思想进行综合考查。把这一课时上扎实了，后面整章的推进就会顺畅许多。二、学情分析九年级学生已经具备了以下知识储备：一是掌握了圆的基本概念，知道圆上各点到圆心的距离都等于半径；二是熟练掌握了线段垂直平分线的性质与作法；三是具备了初步的分类讨论意识和数形结合经验。同时必须清醒看到学生可能遇到的三道坎。第一道坎是思维方式转换的坎，学生习惯用"看"判断位置，不习惯用"算"判断位置，把图形问题转化为数量问题的意识薄弱。第二道坎是"确定"二字理解的坎，学生容易把"能作出一个圆"和"确定唯一的圆"混为一谈，对过一点、两点、三点作圆时圆心的分布规律缺乏空间想象。第三道坎是反证法接受的坎，由结论的反面推出矛盾这种"迂回"说理方式，与学生习惯的正向演绎推理相悖，需要精心设计台阶。三、教学目标知识与技能目标：理解点与圆的三种位置关系，掌握用点到圆心的距离d与半径r的大小关系判断位置关系的方法，即点在圆外当且仅当d＞r，点在圆上当且仅当d＝r，点在圆内当且仅当d＜r；理解"不在同一直线上的三个点确定一个圆"，会用尺规作图过不在同一直线上的三点作圆；了解三角形的外接圆与外心的概念，掌握外心位置的规律。过程与方法目标：经历由图形位置关系抽象出数量关系、再由数量关系还原位置关系的过程，体会数形结合与双向互判的思想；经历从作一点、两点、三点的圆的探究过程，体会从特殊到一般、从多到一的归纳方法；初步了解反证法的基本思路。情感态度与价值观目标：在动手作图与小组探究中感受几何的严谨与美妙，在破镜重圆等实际问题解决中体会数学的应用价值。四、教学重难点教学重点：点与圆的位置关系的判定及其数量刻画；不在同一直线上的三个点确定一个圆。教学难点：理解"d与r的数量关系"和"点与圆的位置关系"之间的双向等价；用反证法说明同一直线上的三点不能确定一个圆。五、教学准备教师准备多媒体课件、圆规、直尺、一块故意打碎的圆形镜片的模型图片；学生每人准备圆规、直尺、铅笔和一张画有三个不共线点的练习纸。课前布置学生用圆规画出三个大小不同的圆，并思考"画圆时你固定了什么、改变了什么"，为课堂引入作铺垫。六、教学过程（一）情境导入：一枚飞镖引发的问题上课伊始，屏幕上呈现体育课上投掷飞镖的照片：靶面是一个圆，飞镖扎在不同位置。教师提问：飞镖落点与靶面这个圆，可能出现几种位置情况？学生几乎不假思索就能答出：扎在靶内、扎在边界线上、扎在靶外。教师顺势抽象：把飞镖看成一个点，把靶面看成一个圆，点与圆的位置关系就有三种——点在圆内、点在圆上、点在圆外。请学生在练习本上画一个圆，分别标出圆内、圆上、圆外各一个点，同桌互相检查标注是否规范。教师追问：看图形能判断位置，可如果圆画得很大、点离圆很近，眼看花了怎么办？有没有不靠眼睛、靠计算就能判断的办法？问题抛出，认知冲突形成，新知探究自然展开。（二）探究一：位置关系背后的数量密码设圆的半径为r，点P到圆心O的距离为d。教师引导学生在刚才画的图上量一量：圆外的点到圆心的距离与半径比，哪个大？圆上的点呢？圆内的点呢？学生测量后发现规律：点在圆外时d＞r，点在圆上时d＝r，点在圆内时d＜r。教师板书这条结论后，立刻反问一句：反过来成立吗？如果已知d＜r，能不能断定点一定在圆内？这一问是双向等价理解的关键。教师组织小组讨论，提示学生用反想的办法：假设d＜r时点不在圆内，那它只能在圆上或圆外，可圆上的点满足d＝r、圆外的点满足d＞r，都与d＜r矛盾，所以点只能在圆内。三组关系一一对应、互逆成立，这个结论因此既能"由形到数"判断，又能"由数到形"判定，是一把双向的尺子。为了让双向性落地，安排两组即时练习。第一组由位置写数量：已知点A在半径为5的圆外，写出OA的取值范围，学生答OA＞5。第二组由数量判位置：圆O的半径为6，OB＝6，OC＝5.9，OD＝3根号5，分别判断B、C、D与圆的位置关系。第三小题特意设置为3根号5≈6.7，考查学生比较无理数大小的功底，多数学生能算出OD＞6判定在圆外，个别学生会错把3根号5看成小于6，教师借此强调比较无理数与整数大小时平方处理的通法。随后呈现一道生活化题目：某信号塔的覆盖范围是以塔底为圆心、半径800米的圆，小李家距塔底1000米，小王家距塔底600米，谁家能收到信号？学生用d与r比较迅速作答，体会到数学判定的实用价值。（三）探究二：几个点能确定一个圆教师承接导入时的问题：画圆时圆规针尖固定的是圆心，笔尖张开的距离是半径。确定一个圆，其实就是确定圆心和半径。那么，平面内给定几个点，能把一个圆定下来？探究按点数由少到多分层推进。第一层：过一个已知点A作圆。学生动手后发现，圆心可以随便选，只要半径等于圆心到A的距离即可，这样的圆能作无数个。教师请三位学生上台展示各自不同的圆，直观确认"过一点可作无数个圆"。第二层：过两个已知点A、B作圆。学生尝试后感到圆心不能随意选了，必须使圆心到A、B的距离相等。教师追问：到线段两端距离相等的点在哪里？学生回忆垂直平分线的性质，恍然大悟：圆心必在线段AB的垂直平分线上。这条线上任取一点作圆心都行，所以过两点仍可作无数个圆，但圆心被约束在了一条直线上。这是本课至关重要的一个中间结论，教师用彩色粉笔突出板书。第三层：过不在同一直线上的三个点A、B、C作圆。圆心要同时到A、B距离相等，又到B、C距离相等，所以圆心既要在AB的垂直平分线上，又要在BC的垂直平分线上。两条直线相交只有一个交点，圆心被唯一锁定，半径也随之确定。学生动手作图，用直尺作出两条垂直平分线，交点记为O，以O为圆心、OA为半径画圆，圆恰好穿过三个点。成功的喜悦在教室里清晰可见。教师引导归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆。"确定"二字包含两层含义——存在，而且唯一。第四层：如果三个点在同一直线上呢？AB的垂直平分线与BC的垂直平分线互相平行，没有交点，找不到到三点距离都相等的圆心，因而作不出圆。教师在此点明反证思路：假设能作一个圆过这三点，那么圆心必须同时在这两条垂直平分线上，可平行线没有交点，矛盾产生，假设不成立。这种先假设结论不成立、推出矛盾、从而肯定结论的方法叫作反证法，以后证明切线性质时还要用到。学生初次接触不必要求独立书写，听懂逻辑、记住名字即可。（四）概念生成：三角形的外接圆与外心把三点中的A、B、C连成一个三角形，刚才作出的圆就经过三角形的三个顶点。教师给出定义：经过三角形三个顶点的圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形。教师强调外心的双重身份：它是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。随后布置探究任务：分别画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形，作出各自的外心，观察外心的位置。学生作图后归纳出规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点处，钝角三角形的外心在三角形外部。直角三角形的情形要重点停留：外心是斜边中点，意味着外接圆半径等于斜边的一半，即R＝c/2（c为斜边）。这一结论与"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"遥相呼应，教师引导学生体会知识之间的内在贯通。（五）例题精讲：分层推进，讲透一题例1（基础判定）：已知圆O的半径为10厘米，点P到圆心O的距离为12厘米，判断点P与圆O的位置关系；若点P在圆O上，OP的长是多少？若点P在圆O内，OP的取值范围是什么？学生独立完成，口答：d＝12＞10，点在圆外；点在圆上时OP＝10；点在圆内时0≤OP＜10。教师追问：OP能等于0吗？学生思考后明确：OP＝0时点P与圆心重合，仍在圆内，故取值范围包含0。这个细节体现思维的严密。例2（实际应用）：如图，一块圆形镜子被打碎，只剩下一块带弧的残片，怎样找出原来镜子的半径？学生在残片的弧上任取三点A、B、C，连接AB、BC，分别作两线段的垂直平分线，交点即为圆心O，量出OA便是半径。教师指出这正是"三点定圆"的直接应用，破镜之所以能"量"圆，靠的是两条垂直平分线唯一交出的那颗"心"。例3（综合计算）：直角三角形的两条直角边分别为6和8，求其外接圆的半径。学生先由勾股定理得斜边为10，再由外心在斜边中点得半径R＝5。教师追问变式：若斜边为10的直角三角形，它的外接圆面积是多少？学生口答25π。一题多变，把外心性质、勾股定理、圆的面积公式串联成网。例4（易错辨析）：判断正误——三点确定一个圆。多数学生起初认为正确，教师请持不同意见的学生举反例：三个点在同一直线上就作不出圆。在思辨中，"不在同一直线上"这个前提条件的分量被学生真正掂了出来。教师强调：数学定理中的每一个字都不多余，读题读定理都要咬文嚼字。（六）课堂小结：三问梳理教师以三个问题收束全课。第一问：判断点与圆的位置关系，比的是什么？学生答：比较d与r，d＞r在圆外，d＝r在圆上，d＜r在圆内，双向成立。第二问：几个点能确定一个圆？要注意什么条件？学生答：不在同一直线上的三个点确定一个圆；一点、两点可作无数个圆，共线三点作不出圆。第三问：什么是三角形的外心？它藏在哪里？学生答：外心是外接圆的圆心，是三条边垂直平分线的交点，锐角三角形在形内、直角三角形在斜边中点、钝角三角形在形外。（七）作业布置基础题：教材课后练习第1、2题，巩固d与r的判断和过三点作圆的技能。提升题：已知圆O的半径为5，点A在直线l上且OA＝5，试判断直线l与圆O的公共点个数，为下一节直线与圆的位置关系埋下伏笔。实践题：在校园里找一处弧形设施（如拱门、看台边缘），尝试用本节方法估算它所在圆的半径，写一份简短报告。七、板书设计主板书区自上而下呈现三条主线：第一条主线为点与圆的位置关系，用表格形式横向对应三行——点在圆外对应d＞r、点在圆上对应d＝r、点在圆内对应d＜r，右侧标注"双向等价"四个红色字。第二条主线为确定圆的条件，纵向排列：一点作圆无数个，两点作圆无数个且圆心在垂直平分线上，不共线三点确定一个圆，共线三点不成圆。第三条主线为外接圆与外心，居中写一个三角形及其外接圆的示意图，旁注外心的三个位置规律。副板书区留给例题演算与学生板演。八、教学反思预设本课两处环节最易流于表面，须格外留意。其一是d与r双向等