概率期末综合试题及答案揭晓

概率期末综合试题及答案揭晓考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在括号内。）1.设事件A和B互斥（即A∩B=Ø），P(A)>0,P(B)>0，则下列结论中正确的是（）。(A)P(A|B)=0(B)P(B|A)=0(C)P(A∪B)=P(A)+P(B)(D)P(A∪B)<P(A)+P(B)2.设随机变量X的分布函数为F(x)，则下列叙述中不正确的是（）。(A)F(x)是单调非减函数(B)0≤F(x)≤1(C)F(x)是右连续的(D)P(a<X≤b)=F(b)-F(a-)3.设随机变量X的密度函数为f(x)={cxe^{-x},x>0;0,x≤0}，则常数c的值为（）。(A)1(B)2(C)e(D)1/e4.设随机变量X和Y相互独立，且X服从参数为λ的泊松分布，Y服从参数为n的泊松分布，则X+Y服从的分布是（）。(A)参数为λ+n的泊松分布(B)参数为λn的泊松分布(C)参数为λ/n的泊松分布(D)参数为n/λ的泊松分布5.设随机变量X的期望E(X)=μ，方差D(X)=σ^2，则根据切比雪夫不等式，有P(|X-μ|≥kσ)≤（）。(A)1/k^2(B)k^2(C)1/(kσ)(D)kσ二、填空题（每小题4分，共20分。请将答案填在题中横线上。）6.若事件A、B、C相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.7，则P(A∪B∪C)=_______。7.设随机变量X服从均匀分布U(0,10)，则P(X>6)=_______。8.设随机变量X的密度函数为f(x)={1/2,-1<x<1;0,其他}，则E(X)=_______，D(X)=_______。9.设随机变量X和Y的期望分别为E(X)=2,E(Y)=3，方差分别为D(X)=1,D(Y)=4，且协方差Cov(X,Y)=-1，则E(3X-2Y+5)=_______，D(3X-2Y)=_______。10.设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，X1,X2,...,Xn是来自X的简单随机样本，则统计量(X̄-μ)/(σ/√n)服从_______分布（其中X̄是样本均值）。三、计算题（每小题10分，共30分。）11.甲、乙两人独立地对同一目标进行射击，命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被击中，求是甲射中的概率。12.设随机变量X的分布律为X-101P0.20.50.3计算：E(X),E(X^2),D(X)。13.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)={ce^{-x-y},0<x<1,0<y<∞;0,其他}（1）确定常数c的值；（2）求条件概率密度f_Y|X(x|y)，并计算P(Y<1|X=0.5)。四、综合应用题（每小题15分，共30分。）14.设随机变量X和Y相互独立，均服从标准正态分布N(0,1)。（1）求随机变量Z=X^2+Y^2的分布函数和密度函数；（2）求P(X>Y)。15.从一批产品中重复抽取样品进行检验，设产品合格率为0.8，直到抽到2件合格品为止。求抽取次数X的分布律，并计算E(X)。试卷答案一、单项选择题1.(A)2.(D)3.(B)4.(A)5.(A)二、填空题6.0.8967.0.48.0,5/39.1,1710.标准正态三、计算题11.解析：设A为甲射中，B为乙射中。P(A|A∪B)=P(A(A∪B))/P(A∪B)=P(A)/P(A∪B)。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.6*0.5=1.1-0.3=0.8。P(A|A∪B)=0.6/0.8=3/4。答：甲射中的概率为3/4。12.解析：E(X)=(-1)*0.2+0*0.5+1*0.3=-0.2+0+0.3=0.1。E(X^2)=(-1)^2*0.2+0^2*0.5+1^2*0.3=0.2+0+0.3=0.5。D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=0.5-0.1^2=0.5-0.01=0.49。答：E(X)=0.1,E(X^2)=0.5,D(X)=0.49。13.解析：（1）∫∞^(-∞)∫∞^(-∞)f(x,y)dydx=1。∫_0^(1)∫_0^(∞)ce^(-x-y)dydx=c∫_0^(1)[e^(-x)∫_0^(∞)e^(-y)dy]dx=c∫_0^(1)e^(-x)dx=c[-e^(-x)]_0^(1)=c(1-1/e)=1。解得c=e/(e-1)。（2）f_X(x)=∫_(-∞)^(∞)f(x,y)dy={∫_0^(∞)[e/(e-1)]e^(-x-y)dy=[e/(e-1)]e^(-x)∫_0^(∞)e^(-y)dy=e^(-x)/e-1,0<x<1;0,其他}。f_Y|X(y|x)=f(x,y)/f_X(x)={[e/(e-1)]e^(-x-y)/[e^(-x)/(e-1)]=e^(-y),0<y<∞;0,其他}。P(Y<1|X=0.5)=∫_(-∞)^(1)f_Y|X(0.5,y)dy=∫_0^(1)e^(-y)dy=[e^(-y)]_0^(1)=1-1/e。答：c=e/(e-1)；f_Y|X(x|y)={e^(-y),0<y<∞;0,其他}；P(Y<1|X=0.5)=1-1/e。14.解析：（1）Z=X^2+Y^2。当x≤0时，F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X^2+Y^2≤z)=0。当z≥0时，F_Z(z)=P(X^2+Y^2≤z)=P(√(-∞,√z)×√(-∞,√z))=P(X^2≤√z,Y^2≤√z)=P(-√z≤X≤√z,-√z≤Y≤√z)。由独立性，P(-√z≤X≤√z,-√z≤Y≤√z)=P(-√z≤X≤√z)P(-√z≤Y≤√z)=[Φ(√z)-Φ(-√z)]^2=[2Φ(√z)-1]^2。其中Φ(x)是标准正态分布函数。所以F_Z(z)={0,z<0;[2Φ(√z)-1]^2,z≥0}。f_Z(z)=dF_Z(z)/dz={0,z<0;4Φ(√z)(1-Φ(√z))/√z,z>0}。答：F_Z(z)={0,z<0;[2Φ(√z)-1]^2,z≥0}；f_Z(z)={0,z<0;4Φ(√z)(1-Φ(√z))/√z,z>0}。（2）P(X>Y)=P(Y<X)。令D={(x,y)|y<x}。则P(Y<X)=∫_(-∞)^(∞)∫_(-∞)^(x)f(x,y)dydx=∫_(-∞)^(∞)∫_(-∞)^(x)1/(2π)e^(-(x^2+y^2)/2)dydx。令u=x,v=y，则积分区域为整个xy平面。利用极坐标，x=ru',y=rv',dxdy=rdrdu'。原式=∫_0^(2π)∫_0^(∞)1/(2π)e^(-r^2/2)rdrdu'=∫_0^(2π)(1/(2π))∫_0^(∞)re^(-r^2/2)drdu'=∫_0^(2π)(1/(2π))[-e^(-r^2/2)]_0^(∞)du'=∫_0^(2π)(1/(2π))du'=1/2。答：P(X>Y)=1/2。15.解析：X表示抽取次数，可能取值为2,3,4,...。第1次抽到合格品的概率为0.8，第1次抽到不合格品的概率为0.2。第k次抽到第2件合格品，则前k-1次中有1件合格品，第k次为合格品。P(X=k)=C(k-1,1)*(0.8)^2*(0.2)^(k-2)*0.8=(k-1)*(0.8)^3*(0.2)^(k-2)=(k-1)*0.512*0.2^(k-2)=(k-1)*0.512/5^(k-2)。k=2时，P(X=2)=0.512。k≥3时，P(X=k)=(k-1)*0.512/5^(k-2)。E(X)=∑[k=2to∞]k*P(X=k)=0.512*∑[k=2to∞]k/5^(k-2)。令S=∑[k=1to∞]k*r^(k-1)=r+2r^2+3r^3+...。则∑[k=1to∞]k*r^k=rS=r+2r^2+3r^3+...。对rS求导得r*d(rS)/dr=1+2r+3r^2+...=∑[k=1to∞]k*r^(k-1)=S。所以r*d(rS)/dr=S。整理得rS=r/(1-r)^2。E(X)=0.512*[∑[k=2to∞](k-1)*r^(k-1)+∑[k=2to∞]r^(k-1)]=0.512*[(1-rS)/r+1/r/(1-r)]=0.512*[1/r-rS/r+1/r/(1-r)]=0.512*[1/r-rS/r+r/(1-r)^2]。令r=1/5，则S=(1/5)/(1-1/5)^2=(1/5)/(4/25)=5/4。E(X)=0.512*[5-1/4*5/4+1/5/(4/25)]=0.512*