北京十一晋元中2025-2026学年学九年级（上）诊断数学试卷（1月份）(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京十一晋元中学九年级（上）诊断数学试卷（1月份）一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.用配方法解一元二次方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A.（x+4）2=7 B.（x+4）2=25 C.（x-4）2=7 D.（x-4）2=253.若关于x的一元二次方程x2+mx+16=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A.16 B.8 C.8或-8 D.4或-44.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A. B. C. D.5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点.若=，则∠D的度数为（）

A.125° B.135° C.145° D.155°6.y是x的二次函数，其对应值如下表：x…-101234…y…4m0149…下列叙述不正确的是（）A.该二次函数的图象的对称轴是直线x=1 B.m=1

C.当x＞3时，y随x的增大而增大 D.图象与x轴有两个公共点7.股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A.（1+x）2= B.（1+x）2= C.1+2x= D.1+2x=8.对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），定义其图象上点（x,y）的“点值”为t=x+y.已知该抛物线过点（0，2），顶点的“点值”为-4，且与x轴的两交点的“点值”之和为4.对于上述二次函数，下列结论中正确的有（）

①b=-4；

②其图象与x轴的两个交点均在y轴右侧；

③其图象上有两个点的“点值”为0；

④存在实数t0，使得函数图象上有且仅有一个点以t0为“点值”.A.①③ B.②④ C.②③ D.②③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.请写出一个一元二次方程，要求满足下列两个条件：①有两个不等实根；②其中有一个解为x=2，所写方程是______．10.抛物线y=x2-2x的顶点坐标是

．11.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解为

.

12.如图，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点.若，则直径AB的长是

.

13.一个扇形原有的面积记为S.

（1）如果圆心角不变，半径扩大到原来的2倍，此时面积为

；

（2）如果半径不变，弧长变为原来的2倍，此时面积为

.（均用含S的式子表示）14.如图，⊙A与x轴相切，与y轴相交于点B（0，1）、C（0，3），那么点A的坐标是

.

15.已知二次函数的解析式为y=（x-m）（x-1）（1≤m≤2），若函数过（a,b）和（a+6，b）两点，则a的取值范围

.16.如图，AB，AC，AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=2，下面四个结论中，①该圆的半径为2；②的长为；③AC平分∠BAD；④连接BC，CD，则△ABC与△ACD的面积比为1：，所有正确结论的序号是

.三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

解方程：3x（x-1）=2x-2．18.(本小题5分)

在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知弧AB，C是弦AB上一点.求作：弦BF=BC.

（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；

①作线段AC的垂直平分线DE，分别交弧AB于点D，垂足为E；

②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交弧AB于点F（F，A两点不重合），连接BF.

（2）完成下面的证明；

引理的结论为：BC=BF.

证明：连接DA，DC，DF，DB.

∵DE为AC的垂直平分线，

∴______=______，

∴∠DAC=∠DCA，

又∵四边形ABFD为圆的内接四边形，

∴∠DAC+______=180°，（______）（填推理的依据）.

又∵∠DCA+∠DCB=180°，

∴∠DFB=∠DCB，

又∵AD=FD，

∴弧AD=弧FD，

∴∠ABD=∠DBF，（______）（填推理的依据）.

∴△BCD≌△BFD（AAS），

∴BC=BF.19.(本小题5分)

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D在边AC上，将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，连接ED.

（1）求证：∠CDE=∠ABD；

（2）若AD=1，CD=3，直接写出线段DE的长.20.(本小题6分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，，直径BD⊥AC，垂足是E.

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）若AB=3，求DE的长.21.(本小题5分)

下表是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的自变量x和函数值y.x…012345…y…8300m8…（1）观察表格，m=______；

（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；

（3）该二次函数的图象与直线y=n有两个交点A，B，若AB≤6，直接写出n的取值范围.22.(本小题6分)

已知关于x的方程x2-2mx+m2-n=0有两个不相等的实数根.

（1）求n的取值范围；

（2）若n为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求m的值.23.(本小题6分)2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长.某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：

跑步量达标率xx=100%90%≤x＜100%x＜90%班数7mn（1）从这12个班级中任意选取1个班级.

①事件“该班跑步量达标率为100%”是

______

事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；

②若事件“该班跑步量达标率x满足90%≤x＜100%”的概率为，则m=

______

，n=

______

；

（2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵.老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率.24.(本小题6分)

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E.F是AB延长线上的一点，且CF=EF.

（1）求证：CF为⊙O的切线；

（2）连接BD，取BD的中点G，连接EG.若CF=4，BF=2，求EG的长.25.(本小题5分)

某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：kg）与弹簧伸长长度l（单位：cm）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度lA和lB，数据如下：所挂物体质量m（kg）012345678910A型弹簧伸长长度lA（cm）02.557.51012.51517.52022.525B型弹簧伸长长度lB（cm）01234568.1312.2818.4526.64通过分析数据发现，可以用函数刻画lA与m,lB与m之间的关系，回答下列问题：

(1)在给出的平面直角坐标系中，已有lA的函数图象，请补全lB的函数图象(2)lA与m的关系式为

（0≤m≤10）(3)当所挂物体质量为

kg时，A型弹簧伸长长度lA与B型弹簧伸长长度lB的差值最大（精确到个位）(4)重新取A、B弹簧各一个，在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为17.5cm,若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量为

kg（精确到个位）26.(本小题6分)

已知二次函数y=2x2+bx+c,经过点A（0，-1），对称轴为直线x=1(1)求二次函数的解析式(2)当n≤x≤n+2时，记二次函数y=2x2+bx+c的最大值与最小值之差为t,求t的最小值，并写出此时对应的n.27.(本小题7分)

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=α（0°＜α＜45°），M是线段BC上的动点（不与点B，C重合），将线段MC绕点M顺时针旋转2α得到线段MN，连接AN.

（1）连接CN，求∠ACN的大小（用含α的代数式表示）；

（2）过点N作ND⊥AN交BC的延长线于点D，连接AD.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段BM与DM的数量关系，并证明.28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，给定圆C和点P，若过点P最多可以作出k条不同的直线，且这些直线被圆C所截得的线段长度为正整数，则称点P关于圆C的特征值为k.已知圆O的半径为2，

（1）若点M的坐标为（1，1），则经过点M的直线被圆O截得的弦长的最小值为

______

，点M关于圆O的特征值为

______

；

（2）直线y=x+b分别与x,y轴交于点A，B，若线段AB上总存在关于圆O的特征值为4的点，求b的取值范围；

（3）点T是x轴正半轴上一点，圆T的半径为1，点R，S分别在圆O与圆T上，点R关于圆T的特征值记为r,点S关于圆O的特征值记为s.当点T在x轴正半轴上运动时，若存在点R，S，使得r+s=3，直接写出点T的横坐标t的取值范围.

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】x2-2x=0（答案不唯一）

10.【答案】（1，-1）

11.【答案】x＜-3或x＞5

12.【答案】

13.【答案】4S2S

14.【答案】（，2）

15.【答案】

16.【答案】①③④

17.【答案】解：3x（x-1）-2（x-1）=0

（x-1）（3x-2）=0

∴x1=1，x2=．

18.【答案】图形如图所示：

连接DA，DC，DF，DB．

∵DE为AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∴∠DAC=∠DCA，

又∵四边形ABFD为圆的内接四边形，

∴∠DAC+∠DFB=180°，（圆内接四边形对角互补）．

又∵∠DCA+∠DCB=180°，

∴∠DFB=∠DCB，

又∵AD=FD，

∴弧AD=弧FD，

∴∠ABD=∠DBF，（同弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）．

∴△BCD≌△BFD（AAS），

∴BC=BF．

故答案为：AD=DC，∠DFB，圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等

19.【答案】（1）证明：设BC，DE交于F，

在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，

∴∠A=∠ACB=45°，

∵将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，

∴∠BCE=∠A=45°，BD=BE，∠ABD=∠CBE，

∴∠DBE=∠ABC=90°，

∴∠BDE=∠BED=45°，

∴∠BEF=∠DCF=45°，

∵∠BFE=∠CFD，

∴∠CDE=∠ABD；

（2）解：∵将△ABD绕点B逆时针旋转得到△CBE，

∴∠BCE=∠A=45°，AD=CE=1，

∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°，

∴DE===．

20.【答案】（1）证明：∵，

∴AB=AC，

∵直径BD⊥AC，

∴=，

∴AB=BC，

∴AB=AC=BC，

∴△ABC是等边三角形；

（2）解：连接OA，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAE=∠ABC=60°，

在Rt△ABE中，AB=3，

∴AE=AB•cos60°=3×=，

BE=AB•sin60°=3×=，

∵BA=BC，BE⊥AC，

∴∠ABE=∠ABC=30°，

∴∠AOD=2∠ABE=60°，

在Rt△AOE中，AO===，

∴BD=2AO=2，

∴DE=BD-BE=2-=，

∴DE的长为．

21.【答案】3

22.【答案】解：（1）∵关于x的方程x2-2mx+m2-n=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=（-2m）2-4（m2-n）=4m2-4m2+4n＞0，

∴n＞0；

（2）∵n为符合条件的最小整数，n＞0，

∴n=1，

∴原方程为：x2-2mx+m2-1=0，

设该方程的根是a,3a,

∴a+3a=2m,a•3a=m2-1，

解得a=1，m=2或a=-1，m=-2（不合题意，舍去），

∴m的值为2．

23.【答案】随机，4，1；

．

24.【答案】（1）证明：连接OC、OD，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵FC=FE，

∴∠FCE=∠FEC．

∵∠OED=∠FEC，

∴∠OED=∠FCE．

∵AB是⊙O的直径，D是的中点，

∴∠DOE=90°，∠OED+∠ODC=90°，

∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°，

∴OC⊥CF，

∴CF为⊙O的切线．

（2）连接OC，AD，过点G作GH⊥AB于H．

设⊙O的半径为r,

∵BF=2，

∴OF=r+2．

在Rt△OCF中，CF=4，

∴42+r2=（r+2）2，

解得r=3．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=6，D是的中点，

∴AD=BD=3．

∵G为BD的中点，

∴BG=BD=，

又∵FE=FC=4，BF=2，

∴BE=FE-BF=4-2=2，

又∵AB是直径，D是的中点，

∴∠ABD=45°，

∵GH⊥AB，

∴△BGH是等腰直角三角形，

∴BH=GH=BG=，

∴EH=BE-BH=2-=，

在Rt△EGH中，EG===．

25.【答案】【小题1】根据表格数据补全lB的函数图象，补全lB的函数图象如图所示．

【小题2】lA=2.5m【小题3】7【小题4】5

26.【答案】【小题1】∵二次函数y=2x2+bx+c经过点A（0，-1），对称轴为直线x=1，

∴，

∴

∴二次函数的表达式y=2x2-4x-1【小题2】∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，

∴二次函数y=2x2-4x-1的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点为（1，-3），

∴当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．

①当n+2≤1时，即n≤-1时，

当n≤x≤n+2时，二次函数y=2x2-4x-1的最大值为2n2-4n-1，最小值为2（n+2）2-4（n+2）-1=2n2+4n-1，

∴2n2-4n-1-（2n2+4n-1）=t,

∴t=-8n≥8，此时当n=-1时，t取最小值为8；

②当-1＜n≤1时，当n≤x≤n+2时，二次函数y=2x2-4x-1的最大值为2n2-4n-1，最小值为-3，或最大值为2（n+2）2-4（n+2）-1=2n2+4n-1，最小值为-3，

∴2n2-4n-1-（-3）=t或2n2+4n-1-（-3）=t,

∴t=2（n-1）2或t=2（n+1）2，

∵-1＜n≤1，

∴当t=2（n-1）2时，当n=1时，t取最小值为0；

当t=2（n+1）2时，此时找不到最小值；

③当n＞1时，当n≤x≤n+2时，二次函数y=2x2-4x-1的最小值为2n2-4n-1，最大值为2（n+2）2-4（n+2）-1=2n2+4n-1，

∴（2n2+4n-1）-（2n2-4n-1）=t,

∴t=8n＞8，故此时找不到最小值．

综上，当n=1时，t取最小值，最小值为0

27.【答案】α；

①见