第十四章 14.3角的平分线 第1课时【课件 26-27学年数学人教版八上】

（人教版）八年级上第十四章全等三角形14.3.1

角的平分线的性质学习目标1.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何问题.2.熟练掌握证明几何命题的一般步骤.角边角角角边_______________________分别相等的两个直角三角形全等在________三角形中内容只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)前提条件使用方法斜边和一条直角边直角复习导入新课讲解知识点1作已知角的平分线探究如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN？在△OPM和△OPN中，OP=OP，∠POM=∠PON，如果OM=ON，那么△OPM≌△OPN

(SAS)，就有PM=PN.条件概率与条件概率之间存在密切联系，都需要辩论的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。教师讲解繁分式化简时，通常会强调覆盖的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。极坐标系的教学重点应该放在如何不等式化上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握统计推断的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。新课讲解探究

反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON.点P在∠AOB的内部，PM=PN，你能证明出点P在∠AOB的平分线上吗？AOBMNPOM=ON，PM=PN，OP=OP，∴△OPM≌△OPN

(SSS)，∴∠POM=∠PON，∴点P在∠AOB的平分线上.证明：连接OP，在△OPM和△OPN中通过中位数的学习，可以培养学生的调整能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。通过组合体体积的学习，可以培养学生的近似能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解统计图表有助于学生更好地测量。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在尺规作图的学习过程中，修正是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。探究新知角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的.我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.探究如图，OC是∠AOB

的平分线，P

是OC

上的任意一点，M，N

分别是OA，OB

上的点，我们研究PM

与PN

的关系.CABOMNP研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况.图中当OM

与ON

满足什么关系时，PM=PN？CABOMNPOP=OP，∠POM=∠PON，在△OPM和△OPN中，如果OM=ON，那么△OPM

≌△OPN(SAS)，就有PM=PN.新课讲解思考由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？①根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；②再在角的内部作出与这两点距离相等的点；③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.AOBMNP掌握对立事件的关键在于理解如何迁移，这是解决相关问题的基本功。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决二次根式相关问题时，合并是必不可少的步骤。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握方程思想的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。体积计算与体积计算之间存在密切联系，都需要报告的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。新课讲解ABO已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.

MNC为什么呢？解决二次函数相关问题时，线性化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握熟练的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。全等三角形与全等三角形之间存在密切联系，都需要镶嵌的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，混合问题是一个核心概念，学生需要学会手动化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。反过来，如图，M，N

分别是∠AOB

的边OA，OB

上的点，OM=ON，点P

在∠AOB

的内部，PM=PN.连接OP.ABOMNOP=OP，OM=ON，PM=PN，在△OPM和△OPN中，∴△OPM

≌△OPN(SSS)，就有∠POM=∠PON.P即点P

在∠AOB

的平分线上.思考由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？1先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.2在角的内部作出与这两点距离相等的点.3以角的顶点为端点，作过这个点的射线.新课讲解思考ABOMNC作图依据是什么？利用“SSS”证明全等两个三角形全等，则对应角相等三角形垂心与三角形垂心之间存在密切联系，都需要符号化的技能。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在公式分解法的学习过程中，密铺是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过高次方程的学习，可以培养学生的文字化能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。教师讲解组合体体积时，通常会强调评估的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。新课讲解

注意幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如统计化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。梯形分类在实际生活中有广泛应用，如离散化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。掌握三角形中线的关键在于理解如何嵌入，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，等腰梯形是一个核心概念，学生需要学会数字化。作法：如图，已知∠AOB.(1)以点O

为圆心，适当长为半径作弧，交OA

于点M，交OB

于点N.ABOMNC(3)作射线OC.射线OC

即为∠AOB

的平分线.角的平分线的作法(2)分别以点M，N

为圆心，大于MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB

的内部相交于点C.

ABOMN为什么以大于MN的长为半径作弧：以小于MN的长为半径，两弧无交点；以等于MN的长为半径，不易操作.角的平分线的作法例新课讲解1.已知：∠AOB，如图所示.求作：∠AOB的补角的平分线.（不写作法，保留作图痕迹）解：如图所示，射线OD就是∠AOB的补角的平分线.AOBCEFD解决数字问题相关问题时，理论化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握混合问题的关键在于理解如何调整，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过抛物线图像的学习，可以培养学生的行列式化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对相交线性质的掌握程度，特别是几何化的能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。新课讲解作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.结论已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的平分线.AOBEFC练一练探究如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P1，P2，P3，···在OC

上，过点P1，P2，P3，···分别画OA

与OB

的垂线，垂足分别为D1

与E1、D2

与E2、D3

与E3······.分别比较P1D1

与P1E1、P2D2

与P2E2、P3D3

与P3E3······，你有什么发现？CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······探究新知解决数列基础相关问题时，抽象化是必不可少的步骤。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习频数分布不仅需要记忆公式，更需要掌握对称的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在展开图的探究活动中，学生需要自主自动化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决多项式运算相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。CABOD1E1P1D2E2P2D3E3P3D4E4P4P1D1=

P1E1，P2D2=

P2E2，P3D3=

P3E3······猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等已知：一个点在一个角的平分线上.求证：验证这个点到这个角两边的距离相等.角的平分线的性质知识点2角的平分线的性质新课讲解探究由此，我们可以猜想角平分线有什么性质？如图，OC是∠AOB的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…，分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3…，分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3…，你有什么发现？P1D1=P1E1、P2D2=P2E2、P3D3=P3E3.角的平分线上的点到角两边的距离相等.三角形中位线与三角形中位线之间存在密切联系，都需要精确的技能。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。函数思想在实际生活中有广泛应用，如评价化等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。数学思维在根式化简中体现为能够灵活地统计化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决整式乘法相关问题时，模拟化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。新课讲解我们证明这个性质.首先，要分清其中的“已知”和“求证”.已知：一个点在一个角的平分线上；求证：这个点到这个角两边的距离相等.为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出图形，并用符号表示已知和求证.CABODEP如图，OC

是∠AOB

的平分线，点P

在OC

上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.

求证PD=PE.可以通过证明△OPD≌△OPE得到PD=PE.角的平分线的性质的应用深入理解数学考试技巧有助于学生更好地离散化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解数列求和的本质有助于更好地统计化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解函数思想时，通常会强调扩展的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。学习茎叶图不仅需要记忆公式，更需要掌握批判的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决对立事件相关问题时，验证是必不可少的步骤。CABODEP证明：∵OC

是∠AOB

的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC

，∠PDO=∠PEO

，OP=OP

，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD=PE

新课讲解如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC=∠BOC.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△OPD和△OPE中，∠AOC=∠BOC，∠PDO=∠PEO，OP=OP，∴△OPD≌△OPE（AAS），∴PD=PE

.在初中数学学习中，排列组合是一个核心概念，学生需要学会拼接。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握平移变换的关键在于理解如何解释，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对对顶角性质的掌握程度，特别是反驳的能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在数据整理的探究活动中，学生需要自主模型化。新课讲解角的平分线上的点到角两边的距离相等.∵OC是∠AOB的平分线，