电工学简明教程第三版第1章电路及其分析方法-第8章电工测量

第1章电路及其分析方法第1章电路及其分析方法1.2电路模型1.3电压和电流的参考方向1.4电源有载工作、开路与短路1.6电阻的串联与并联1.5基尔霍夫定律1.11电路中电位的计算1.9电源的两种模型及其等效变换1.7支路电流法1.8叠加定理1.10戴维宁定理1.12电路的暂态分析1.1电路的作用与组成部分第1章电路及其分析方法电路的基本概念及其分析方法是电工技术和电子技术的基础。本章首先讨论电路的基本概念和基本定律，如电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、电源的工作状态以及电路中电位的计算等。这些内容是分析与计算电路的基础。然后介绍几种常用的电路分析方法，有支路电流法、叠加定理、电压源模型与电流源模型的等效变换和戴维宁定理。最后讨论电路的暂态分析。介绍用经典法和三要素法分析暂态过程。1.1电路的作用与组成部分

电路是电流的通路，是为了某种需要由电工设备或电路元器件按一定方式组合而成的。(1)

实现电能的传输、分配与转换(2)实现信号的传递与处理放大器扬声器话筒1．电路的作用发电机升压变压器降压变压器电灯电动机电炉...输电线2．电路的组成部分电源：提供电能的装置负载：取用电能的装置中间环节：传递、分配和控制电能的作用发电机升压变压器降压变压器电灯电动机电炉...输电线直流电源直流电源:

提供能源负载信号源:

提供信息2．电路的组成部分放大器扬声器话筒电源或信号源的电压或电流称为激励，它推动电路工作；由激励所产生的电压和电流称为响应。信号处理：放大、调谐、检波等1.2电路模型i实际的电路是由一些按需要起不同作用的元件或器件所组成，如发电机、变压器、电动机、电池、电阻器等，它们的电磁性质是很复杂的。例如：一个白炽灯在有电流通过时RR消耗电能(电阻性)产生磁场储存磁场能量(电感性)忽略L为了便于分析与计算实际电路，在一定条件下常忽略实际部件的次要因素而突出其主要电磁性质，把它看成理想电路元件。L电源负载连接导线电路实体电路模型1.2电路模型用理想电路元件组成的电路，称为实际电路的电路模型。SER–

+R0开关1.3

电压和电流的参考方向

物理中对基本物理量规定的方向1.电路基本物理量的实际方向物理量实际方向电流I正电荷运动的方向电动势E

(电位升高的方向)

电压U(电位降低的方向)高电位

低电位

单位kA、A、mA、μA低电位

高电位kV、V、mV、μVkV、V、mV、μV电流方向A

B？电流方向B

A？E1ABRE2IR问题的提出：在复杂电路中难于判断元件中物理量的实际方向，电路如何求解？(2)参考方向的表示方法电流：Uab

双下标电压：(1)参考方向I

在分析与计算电路时，对电量任意假定的方向。Iab

双下标2.电路基本物理量的参考方向箭标abRI正负极性+–abUU+_+R0E3V注意：在参考方向选定后,电流(或电压)值才有正负之分。R–

+R0IE例如：图中若I=3A，则表明电流的实际方向与参考方向相同；反之，若I=–3A，则表明电流的实际方与参考方向相反。在电路图中所标电压、电流、电动势的方向，一般均为参考方向。(3)

实际方向与参考方向的关系实际方向与参考方向一致，电流(或电压)值为正值；实际方向与参考方向相反，电流(或电压)值为负值。欧姆定律：通过电阻的电流与电压成正比。表达式

=RUIU、I参考方向相同U=–IRU、I参考方向相反图B中若I=–2A，R=3

，则U=–(–2)

3V=6V电流的参考方向与实际方向相反–图A或图BRUI+–IRU+–+–图CRUI电压与电流参考方向相反1.4电源有载工作、开路与短路

1.4.1电源有载工作EIU1．电压与电流R0RabcdR+R0I=

EER0I电源的外特性曲线当R0<<R时，则U

E说明电源带负载能力强IUO+_+_UU=RI或U=E–R0I

1.4.1电源有载工作1.4.1电源有载工作1．电压与电流U=RIU=E–R0I2．功率与功率平衡UI=EI–R0I2

P=PE–

P电源产生功率内阻消耗功率电源输出功率功率的单位：瓦[特](W)

或千瓦(kW)电源产生功率=负载取用功率+内阻消耗功率功率平衡式EIUR0Rabcd+_+_R+R0I=

E3.电源与负载的判别U、I参考方向不同，P=UI

0，电源；

P=UI

0，负载。U、I参考方向相同，P=UI0，负载；

P=UI

0，电源。

(1)根据U、I的实际方向判别(2)根据U、I的参考方向判别电源：

U、I实际方向相反，即电流从“+”端流出，（发出功率）

负载：

U、I实际方向相同，即电流从“-”端流出。（吸收功率）1.4.1电源有载工作1.4.1电源有载工作3．电源与负载的判别[例1]已知：图中UAB=3V，I=–2A[解]

P=UI=

(–2)

3W=–6W求：N的功率，并说明它是电源还是负载因为此例中电压、电流的参考方向相同而P为负值，所以N发出功率，是电源。想一想，若根据电压电流的实际方向应如何分析？NABI

额定值:电气设备在正常运行时的规定使用值1.额定值反映电气设备的使用安全性；2.额定值表示电气设备的使用能力。

注意：电气设备工作时的实际值不一定都等于其额定值，要能够加以区别。电气设备的三种运行状态欠载(轻载)：I<IN

，P<PN(不经济)

额定工作状态：I=IN

，P=PN

(经济合理安全可靠)

过载(超载)：

I>IN

，P>PN(设备易损坏)4．额定值与实际值1.4.1电源有载工作特征:1.4.2电源开路I=0电源端电压

(开路电压)负载功率U

=U0=EP

=01.开路处的电流等于零；

I

=02.开路处的电压U视电路情况而定。电路中某处断开时的特征:I+–U有源电路IRoR+

-EU0+

-当开关断19开时，电源则处于开路(空载)状态。电源外部端子被短接1.4.3电源短路

特征:电源端电压负载功率电源产生的能量全被内阻消耗掉短路电流（很大）U

=0

PE=

P=I²R0P

=01.短路处的电压等于零；

U

=02.短路处的电流I视电路情况而定。电路中某处短路时的特征:I+–U有源电路IRRo+

-E1.5基尔霍夫定律结点

电路中三条或三条以上支路连接的点支路

电路中的每一分支回路

由一条或多条支路组成的闭合路径如acbabadb如abcaadbaadbca如ab+_R1E1+_E2R2R3I1I2I3cadb1.5.1基尔霍夫电流定律(KCL)(直流电路中)

I=0

i=0(对任意波形的电流)在任一瞬间，流向某一结点电流的代数和等于零。基尔霍夫电流定律是用来确定连接在同一结点上的各支路电流之间的关系。

根据电流连续性原理，电荷在任何一点均不能堆积(包括结点)。故有数学表达式为1.5.1基尔霍夫电流定律(KCL)若以流向结点的电流为负，流出结点的电流为正，则根据KCL，对结点a

可以写出I1I2I3I4aI1–I2+I3+I4=0[例]

上图中若I1=9A，I2=–2A，I4=8A，求I3。9–(–2)+I3+8=0[解]把已知数据代入结点a的KCL方程式，有式中的正负号由KCL根据电流方向确定由电流的参考方向与实际方向是否相同确定

I3

电流为负值，是由于电流参考方向与实际方向相反所致。I3=–19A电流定律可以推广应用于包围部分电路的任一假设的闭合面。I=?例:I=0IA+IB+IC=02

+_+_I5

1

1

5

6V12VIAIBICAIBCIABACBIC广义结点KCL推广应用可见，在任一瞬间通过任一封闭面的电流的代数和也恒等于零。1.5.2基尔霍夫电压定律(KVL)

在任一瞬间，从回路中任一点出发，沿回路循行一周，则在这个方向上电位升之和等于电位降之和。

在任一瞬间，沿任一回路循行方向，回路中各段电压的代数和恒等于零。即：

U=0I2左图中，各电压参考方向均已标出，沿虚线所示循行方向，列出回路cbdacKVL方程式,为U1–

U2+U4–U3=0上式也可改写为U4–

U3=E2–E1+_R1+_E2R2U2I1U1cadb+_U3+U4_即

U=EKVL推广应用于假想的闭合回路E

IR

U=0U=E

IR或根据KVL可列出EIUR+_+_ABCUA+_UAB+_UB+_根据

U=0UAB=UA

UB

UA

UB

UAB=0U1+U2–U3–U4+U5=0U4+–U1U2abced++––+–U5U3+–R4

[例1]

图中若U1=–2V，U2=8V，U3=5V，U5=–

3V，R4=2

，求电阻R4两端的电压及流过它的电流。

[解]

设电阻R4

两端电压的极性及流过它的电流I的参考方向如图所示。(–2)+8–5–U4+(–3)=0U4=–2VI=1AI沿顺时针方向列写回路的KVL方程式，有代入数据，有U4=–

IR41.6.1

电阻的串联特点:(1)各电阻一个接一个地顺序相联；两电阻串联时的分压公式：R=R1+R2(3)等效电阻等于各电阻之和；(4)串联电阻上电压的分配与电阻成正比。R1U1UR2U2I+–++––RUI+–(2)各电阻中通过同一电流；应用：降压、限流、调节电压等。1.6电阻的串联与并联

1.6.1电阻的串联1.6.2电阻的并联两电阻并联时的分流公式：(3)等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和；(4)并联电阻上电流的分配与电阻成反比。特点:(1)各电阻联接在两个公共的结点之间；RUI+–I1I2R1UR2I+–(2)各电阻两端的电压相同；应用：分流、调节电流等。[例1]

图示为变阻器调节负载电阻RL两端电压的分压电路。RL=50

，U=220V。中间环节是变阻器，其规格是100、3A。今把它平分为四段，在图上用a,b,c,d,e点标出。求滑动点分别在a,c,d,e时，负载和变阻器各段所通过的电流及负载电压，并就流过变阻器的电流与其额定电流比较说明使用时的安全问题。[解]UL=0IL=0(1)在a点：RLULILU+–abcde+–RLULILU+–abcde+–[解](2)在c点：等效电阻R

为Rca

与RL

并联，再与Rec串联，即UL=RLIL=501.47V=73.5V注意，这时滑动触点虽在变阻器的中点，但是输出电压不等于电源电压的一半，而是73.5V。RLULILU+–abcde+–[解](3)在d点：注意：因Ied=4A3A，ed段有被烧毁的可能。RLULILU+–abcde+–[解](4)在e点：1.7支路电流法支路电流法：以支路电流为未知量、应用基尔霍夫定律（KCL、KVL）列方程组求解。对上图电路支路数：b=3结点数：n=2123回路数=3单孔回路（网孔）=2若用支路电流法求各支路电流应列出三个方程ba+-E2R2+-R3R1E1I1I3I21.在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路标出回路循行方向。2.应用KCL对结点列出

(n－1)个独立的结点电流方程。3.应用KVL对回路列出

b－(n－1)

个独立的回电压方程(通常可取网孔列出)。4.联立求解b

个方程，求出各支路电流。对结点a：例1：12I1+I2–I3=0对网孔1：对网孔2：I1R1+I3R3=E1I2R2+I3R3=E2支路电流法的解题步骤:ba+-E2R2+-R3R1E1I1I3I2(1)应用KCL列(n-1)个结点电流方程

因支路数b=6，所以要列6个方程。(2)应用KVL选网孔列回路电压方程(3)联立解出

IG

支路电流法是电路分析中最基本的方法之一，但当支路数较多时，所需方程的个数较多，求解不方便。例2：对结点a：I1–I2–IG=0对网孔abda：IGRG–I3R3+I1R1=0对结点b：I3–I4+IG=0对结点c：I2+I4–I

=0对网孔acba：I2R2–

I4R4–IGRG=0对网孔bcdb：I4R4+I3R3=E

试求检流计中的电流IG。RGadbcE–+GR3R4R2I2I4IGI1I3IR1

叠加原理：对于线性电路，任何一条支路的电流，都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）分别作用时，在此支路中所产生的电流的代数和。原电路+=

叠加原理R1(a)R3I1I3E1+–+–R2I2E2I´1I´2E1

单独作用R1(b)R3I´3E1+–R2E2单独作用R2(c)R3E2+–R1I

1I

2I

31.8叠加定理E2单独作用时((c)图)E1单独作用时((b)图)原电路+=R1(a)R3I1I3E1+–+–R2I2E2I´1I´2E1

单独作用R1(b)R3I´3E1+–R2E2单独作用R2(c)R3E2+–R1I

1I

2I

3原电路+=R1(a)R3I1I3E1+–+–R2I2E2I´1I´2E1

单独作用R1(b)R3I´3E1+–R2E2单独作用R2(c)R3E1+–R1I

1I

2I

3同理:①叠加原理只适用于线性电路。③不作用电源的处理：

E=0，即将E短路；Is=0，即将Is

开路

。②线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算，但功率P不能用叠加原理计算。例：

注意事项：⑤应用叠加原理时可把电源分组求解，即每个分电路中的电源个数可以多于一个。④解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。

若分电流、分电压与原电路中电流、电压的参考方向相反时，叠加时相应项前要带负号。[例1]I1I2R1R2I3R3+

_

_

+

E1

E2

用叠加定理计算下图中的各个电流。其中E1=140

V

E2

=90V

R1

=20

R2

=5

R3

=6

[解]

把原图拆分成由E1

和E2

单独作用两个电路。I3

R1R2R3+

_

E1I2

I1

E2R1R2R3_+I3

R1R2R3+

_

E1I2

I1

E2R1R2R3_+所以[例2]求图示电路中5

电阻的电压U及功率P。+–10A5

15

20V+–U2

4

[解]

先计算20V电压源单独作用在5

电阻上所产生的电压

U

20V+–5

15

+–U

2

4

电流源不作用应相当于开路[例2]

求图示电路中5

电阻的电压U及功率P。+–10A5

15

20V+–U2

4

[解]

再计算10A电流源单独作用在5

电阻上所产生的电压U

电压源不作用应相当于短路5

15

+–U

2

4

10A[例2]

求图示电路中5

电阻的电压U及功率P。+–10A5

15

20V+–U2

4

[解]

根据叠加定理，20V电压源和5A电流源作用在5

电阻上所产生的电压U等于U=U

+U

=(5

37.5)V=

32.5V5

电阻的功率为P=5

(–32.5)2W=221.25W若用叠加定理计算功率将有用叠加定理计算功率是错误的。想一想，为什么？

电压源模型由上图电路可得:U=E–IR0

若R0=0理想电压源:U

EUO=E

电压源的外特性IUIRLR0+-EU+–电压源是由电动势E和内阻R0串联的电源的电路模型。

若R0<<RL，U

E，可近似认为是理想电压源。理想电压源O电压源1.9电源的两种模型及其等效变换

1.9.1电压源1.9.1电压源1.9.2电流源IRLU0=ISR0

电流源的外特性IU理想电流源OIS电流源是由电流IS和内阻R0并联的电源的电路模型。由上图电路可得:若R0=

理想电流源:I

IS

若R0>>RL，I

IS

，可近似认为是理想电流源。电流源电流源模型R0UR0UIS+－1.9.3电源模型的等效变换由图a：

U=E－IR0由图b：U=ISR0–IR0IRLR0+–EU+–电压源等效变换条件:E=ISR0RLR0UR0UISI+–电流源(2)等效变换时，两电源的参考方向要一一对应。(3)理想电压源与理想电流源之间无等效关系。(1)电压源和电流源的等效关系只对外电路而言，对电源内部则是不等效的。

注意事项：例：当RL=时，电压源的内阻R0

中不损耗功率，而电流源的内阻R0

中则损耗功率。(4)任何一个电动势E和某个电阻R串联的电路，都可化为一个电流为IS和这个电阻并联的电路。R0+–EabISR0abR0–+EabISR0ab

[例

1]

1.1.9用电源等效变换方法求图示电路中I3。+_+_I390V140V20

5

6

[解]4

I36

25A4

I36

20

7A5

18A1.10戴维宁定理无源二端网络N对于R，有源二端网络N

相当一个电源故它可以用电源模型来等效代替。用电压源模型(电动势与电阻串联的电路)等效代替称为戴维宁定理。二端网络是指具有两个出线端部分的电路，若网络内部不含电源，则称为无源二端网络；若网络内部含有电源，则称为有源二端网络；E–+RR3R2R1IS有源二端网络N1.10戴维宁定理任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为E的理想电压源和内阻R0串联的电源来等效代替。有源二端网络RLab+U–IER0+_RLab+U–I等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所得到的无源二端网络a、b两端之间的等效电阻。等效电源的电动势E

就是有源二端网络的开路电压U0，即将负载断开后a、b两端之间的电压。等效电源[例1]

用戴维宁定理求图示电路中电流

I3。其中E1=140V，E2

=90V，R1

=20

，R2

=5

，R3

=6

。I1I2R1R2I3R3+__+E1E2ab

[解]

上图可以化为右图所示的等效电路。Eba+

R0I3R3等效电源的电动势E可由图a求得：R1R2+__+E1E2ab+_U0I(a)于是

E=U0=E1

R1I=(140202)V=100V或

E=U0=E2

+R2I=(90+52)V=100V等效电源的内阻R0

可由图(b)求得R1R2ab(b)则Eba+

R0I3R31.11电路中电位的计算电路中某一点的电位是指由这一点到参考点的电压电路的参考点可以任意选取通常认为参考点的电位为零Va=E1Vc=–E2Vb=I3R3若以d为参考点，则：+E1–E2简化电路+_R1E1+_E2R2R3I3abcddabcR1R2R3

[例1]

电路如图所示,分别以A、B为参考点计算C和D点的电位及C和D两点之间的电压。2

10V+–5V+–3

BCD[解]以A为参考点II=10+53+2A=3AVC=3×3V=9VVD=–3×2V=–6V以B为参考点VD=–5VVC=10V小结：电路中某一点的电位等于该点到参考点的电压；电路中各点的电位随参考点选的不同而改变，但是任意两点间的电压不变。VCD=VC–VD=15VA1.12电路的暂态分析1.12.1电阻元件、电感元件和电容元件1.12.2储能元件和换路定则1.12.3

RC

电路的暂态分析1.12.4

RL

电路的暂态分析1.12电路的暂态分析前面讨论的是电阻性电路，当接通电源或断开电源时电路立即进入稳定状态(稳态)。所谓稳态是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流不变。但是，当电路中含有储能元件(电感或电容)时，由于物质所具有的能量不能跃变，所以在发生换路时(指电路接通、断开或结构和参数发生变化)，电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态一般需要经过过渡状态才能到达。由于过渡状态所经历的时间往往很短，故又称暂态过程。本节先讨论R、L、C的特征和暂态过程产生的原因，而后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。上式表明电阻将全部电能消耗掉，转换成热能。1．电阻元件iu+_R图中参考电压和电流方向一致，根据欧姆定律得出u=RiR=ui电阻元件的参数电阻对电流有阻碍作用将u=Ri两边同乘以i

，并积分之，则得

R是耗能元件1.12.1电阻元件、电感元件和电容元件i(安)A韦伯(Wb)亨利(H)N电感+–u

2．电感元件

L=iN

在图示u、i、e假定参考方向的前提下，当通过线圈的磁通或i发生变化时，线圈中产生感应电动势为L称为电感或自感。线圈的匝数越多，其电感越大；线圈单位电流中产生的磁通越大，电感也越大。L+–ui–eL+描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。电压电流关系L+–ui–eL+根据KVL可写出u+eL=0或在直流稳态时，电感相当于短路。瞬时功率p>0，L把电能转换为磁场能，吸收功率。p<0，L把磁场能转换为电能，放出功率。储存的磁场能

L

是储能元件(伏)V库仑(C)法拉(F)3．电容元件电容元件的参数iu+–C1

F=106F

1pF=1012F当通过电容的电荷量或电压发生变化时，则在电容中引起电流在直流稳态时，I=0，电容隔直流。储存的电场能

C

是储能元件1.12.2储能元件和换路定则电路中含有储能元件(电感或电容)，在换路瞬间储能元件的能量不能跃变，即换路引起电路工作状态变化的各种因素。如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。电感元件的储能不能跃变电容元件的储能不能跃变iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)设

t=0为换路瞬间，而以t=0–

表示换路前的终了瞬间，t=0+

表示换路后的初始瞬间。换路定则用公式表示为：否则将使功率达到无穷大[例1]4

R3+

U6Vt=02

SR1R24

uCC+－+—iCiL

t=0-iLuL

确定电路中各电流与电压的初始值。设开关

S

闭合前

L

元件和

C

元件均未储能。[解]

由t=0

的电路uC(0

)=0iL(0

)=0因此

uC(0+)=0iL(0+)=0+

UR1i+

uLiLR2

R3uC+

iCt=0+在t=0+

的电路中电容元件短路，电感元件开路，求出各初始值uL(0+)=R2iC(0+)=41V=4V结论1.换路瞬间，uC、iL

不能跃变,但其它电量均可以跃变。3.换路前,若uC(0-)

0,换路瞬间(t=0+等效电路中),电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);换路前,若iL(0-)

0,在t=0+等效电路中,电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。2.换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。1.12.3RC

电路的暂态分析1．零状态响应所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，即uC(0

)=0。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。2．零输入响应所谓RC

电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始状态uC(0+)

所产生的电路的响应，称为零输入响应。3．全响应所谓RC

电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)

均不为零时电路的响应，也就是零状态响应与零输入响应两者的叠加。USCRt=0–

+12–

+uR–

+uCi在t

=

0

时将开关

S

合到

1

的位置根据

KVL，t≥

0

时电路的微分方程为

设：S在2位置时C已放电完毕1．零状态响应上式的通解有两个部分，特解和补函数特解取电路的稳态值，即补函数是齐次微分方程的通解，其形式为代入上式，得特征方程SCRt=0–

+U12–

+uR–

+uCi其根为通解由于换路前电容元件未储能，即

uC(0+)

=0

，则

A

=–U，于是得

uC

零状态响应表达式时间常数

物理意义当

t=

时令:单位:s时间常数

决定电路暂态过程变化的快慢uC=U(1e1)=U(10.368)=0.632UtuCUOu0.632U

零状态响应曲线所以时间常数

等于电压uC

增长到稳态值

U

的

63.2%

所需的时间。2．零输入响应+–SRU21+–+–代入上式得换路前电路已处于稳态

t=

0

时开关

S1，电容C经电阻R

放电一阶线性常系数齐次微分方程列

KVL方程实质：RC电路的放电过程特征方程RCp+1=0由初始值确定积分常数AuC(0+)=

uC(0

)=U

uC(

)=0则A=U

零输入响应表达式t≥0uC零输入响应曲线OuUt时间常数

=RC当

t=

时，uC=

36.8%

U电容电压

uC

从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC

决定。

越大，曲线变化越慢，uC

达到稳态所需要的时间越长。0.368UUtOuC设

1<

2<

3暂态时间理论上认为t

、uC

0

电路达稳态工程上认为t=(3~5)

、uC

0电容放电基本结束。

t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减当t=5

时，过渡过程基本结束，uC

达到稳态值。3．全响应1．uC

的变化规律

全响应：电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理全响应=零输入响应+零状态响应uC(0

)=U0SRU+_C+_iuC+_uRt≥0稳态分量零输入响应零状态响应暂态分量结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态值初始值t≥0t≥0在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：式中，f(t)——一阶电路中任一电压、电流函数；f(0+)——初始值；f(

)——稳态值；

——时间常数。(三要素)

利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得f(0+)、f(

)和

的基础上，可直接写出电路的响应(电压或电流)。一阶电路暂态过程的求解方法一阶电路仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。求解方法

1．经典法：根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。2．三要素法初始值稳态值时间常数求(三要素)三要素法求解暂态过程的要点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；终点f(

)起点f(0+)tf(t)O

求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。 (1)稳态值f(

)的计算响应中“三要素”的确定例：uC+

t=0C10V5k

1

FS5k

+

t=03

6

6

6mAS1H(2)

初始值f(0+)的计算

1)

由t=0

电路求uC(0

)、iL(0

)2)

根据换路定则求出3)

由t=0+

时的电路，求所需其他各量的u(0+)或i(0+)注意：在换路瞬间t=(0+)的等效电路中

(1)

若uC(0

)=U00，电容元件用恒压源代替，其值等于U0；若uC(0

)=0，电容元件视为短路。

(2)

若iL(0

)=I00电感元件用恒流源代替，其值等于I0；若iL(0

)=0，电感元件视为开路。若不画t=

(0+)的等效电路，则在所列t=

0+

时的方程中应有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。(3)

时间常数

的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路注意：

1)

对于简单的一阶电路，R0=R;

2)

对于较复杂的一阶电路，R0

为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。R0U0+

CR0

R0

的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1R2R3R1U+

t=0CR2R3SR2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0S

[例2]

在下图中，已知

U1

=

3

V，U2

=+6V，R1

=

1

k

，R2

=

2

k

，C

=3F

，t

<

0

时电路已处于稳态。用三要素法求

t≥0时的uC(t)，并画出其变化曲线。

[解]

先确定uC(0+)、uC(

)和时间常数

t<0时电路已处于稳态，意味着电容相当于开路。

[例2]

在下图中，已知U1=3V，U2=+6V，R1=1k，R2=2k

，C=3F，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出其变化曲线。R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1

[解]

先确定uC(0+)

uC(

)和时间常数

uC=42e500tVt

≥0

[例2]

在下图中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k

，C=3F，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出其变化曲线。[解]–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1uC(0+)=2VuC()=4V

=2msuC=42e500tVt

≥0R2t/suC

/V402uC(t)变化曲线1.12.4RL电路的暂态分析Rt=0–

+12–

+uR–

+uLiLSU在t

=

0

时将开关

S

合到

1

的位置上式的通解为根据KVL，t≥

0时电路的微分方程为

在t

=

0+

时，初始值

i(0+)

=

0，则。于是得式中

也具有时间的量纲，是RL电路的时间常数。这种电感无初始储能，电路响应仅由外加电源引起，称为RL电路的零状态响应。1.12.4RL电路的暂态分析Rt=0–

+U2–

+uR–

+uLiLS1若在t

=

0

时将开关

S

由

1

合到

2

的位置，如右图所示。这时电路中外加激励为零，电路的响应是由电感的初始储能引起的，故常称为

RL

电路的零输入响应。此时，通过电感的电流iL

由初始值I0

向稳态值零衰减，其随时间变化表达式为tiOi时间常数

=L/R0.632U/R

零状态响应曲线URi零输入响应曲线OiI0t0.368I0

时间常数

=L/R当t=

时，。当t=

时，i=63.2%I0。

电路中

uR

和uL

可根据电阻和电感元件两端的电压电流关系确定。t=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H

[例3]

图中，如在稳定状态下R1

被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？

[解]

先应用三要素法求电流I。(1)确定i(0+)(2)确定i(

)(3)确定时间常数

[例3]

图中，如在稳定状态下R1

被短路，试问短路后经过多少时间电流才达到15A？[解]

i(0+)=11A

i(

)=18.3A

=0.05st=0–

+UiLR1R212

8

220V0.6H根据三要素法公式当电流到达15A时15=18.37.3e20t所经过的时间为t=0.039s第2章正弦交流电路第2章正弦交流电路2.1正弦电压与电流2.2正弦量的相量表示法2.3单一参数的交流电路2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路2.5阻抗的串联与并联2.6电路中的谐振2.7功率因数的提高2.8三相电路2.9非正弦周期电压和电流第2章正弦交流电路在生产和生活中普遍应用正弦交流电，特别是三相电路应用更为广泛。正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。本章将介绍交流电路的一些基本概念、基本理论和基本分析方法，为后面学习交流电机、电器及电子技术打下基础。本章还将讨论三相交流电路和非正弦周期电压和电流。

交流电路具有用直流电路的概念无法理解和无法分析的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以免引起错误。2.1正弦电压与电流直流电路在稳定状态下电流、电压的大小和方向是不随时间变化的，如右上图所示。正弦电压和电流是按正弦规律周期性变化的，其波形如右下图所示。

tuiO–

+uiR–

+uiR正半周负半周

电路图上所标的方向是指它们的参考方向，即代表正半周的方向。负半周时，由于参考方向与实际方向相反，所以为负值。+

实际方向表征正弦量的三要素有幅值初相位频率

t

OU,I2.1.1频率与周期T周期T：正弦量变化一周所需要的时间；角频率

:

t2

［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其周期和角频率。［解］Im

t

i0ＴT/2频率f：正弦量每秒内变化的次数；–Im

=2

f=23.1450rad/s=314rad/s2.1.2幅值与有效值

瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母表示。如i、u、e

分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。

t2

Im

t

i0ＴT/2–Im同理可得根据上述定义，有得当电流为正弦量时:最大值是交流电的幅值。用大写字母加下标表示。如

Im、Um、Em。

有效值是从电流的热效应来规定的。交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能与某直流电流在同一电阻相同时间内消耗的电能相等，这一直流电流的数值定义为交流电的有效值。2.1.3初相位

tiO

正弦量所取计时起点不同，其初始值(t

=

0

时的值)及到达幅值或某一特定值所需时间就不同。i

tO例如:不等于零t=0时，t=0时的相位角称为初相位角或初相位。

t和(t+

)称为正弦量的相位角或相位。它表明正弦量的进程。若所取计时时刻不同，则正弦量初相位不同。2.1.3初相位0

tiu同频率正弦量的相位角之差或是初相角之差，称为相位差，用

表示。u和i的相位差为当两个同频率的正弦量计时起点改变时，它们的初相位角改变，但初相位角之差不变。iu

2

1

图中，u

超前i

角或称i

滞后

u

角

tiOi1i2i3i1

与i3

反相i1与i2同相在一个交流电路中，电压、电流频率相同，而初相位常常不相同，如左上图所示2.2正弦量的相量表示法aAO

b+1+jr模辐角代数式三角式指数式极坐标式正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除用三角函数式和正弦波形表示外，还可以用相量来表示。正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。A

=

a+jb=r(cos

+jsin

)=rej

=r

设平面有一复数A复数A可有几种式子表示复数在进行加减运算时应采用代数式，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。复数进行乘除运算时应采用指数式或极坐标式，模与模相乘除，辐角与辐角相加减。2.2正弦量的相量表示法由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量确定。而正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定。比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的辐角即为正弦量的初相位角。为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并在大写字母上打一“

”。的相量式为上式中(有效值相量)相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，两者之间并不相等。按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。注意只有正弦周期量才能用相量表示；只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；想一想，正弦量有哪几种表示方法，它们各适合在什么场合应用？相量图1jO

i1

i2I1m•I2m•[例]若i1=I1msin(t+

i1)

i2=I2msin(t+

i2)，画相量图。设

i1=65

，

i1=30

。

[例1]

若已知i1=I1msin(t+

1)=100sin(t+30)A、

i2=I2msin(t+

2)=60

sin(t30)A，求i=i1

+

i2。[解]正弦电量(时间函数)所求正弦量变换相量(复数)相量结果反变换相量运算(复数运算)正弦电量的运算可按下列步骤进行，首先把于是得2.3单一参数的交流电路电路分析是确定电路中电压与电流关系及能量的转换问题。2.3.1电阻元件本节从电阻、电感、电容两端电压与电流一般关系式入手，介绍在正弦交流电路中这些单一参数的电压、电流关系及能量转换问题。为学习交流电路打下基础。R–

+ui1．电压电流关系设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方向如图所示。根据欧姆定律设则式中或可见，R

等于电压与电流有效值或最大值之比。电压与电流同频率、同相位；1．电压电流关系电压与电流大小关系iu波形图U•I•电压与电流相量表达式

tO相量图+1+jO

R–

+ui2.3.1电阻元件的交流电路瞬时功率平均功率

2．功率u

tOipO

tP=UI转换成的热能R–

+ui2.3.2电感元件的交流电路设在电感元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。L–

+ui1．电压电流关系设

由，有感抗XL=

LXL与f的关系OfXL感抗与频率f和L成正比。因此，电感线圈对高频电流的阻碍作用很大，而对直流可视为短路。

ui波形图

tOU

•+1+jO1．电压电流关系电压超前电流90

；相量图电压与电流大小关系U=IXL

电压与电流相量式–

+ui2.3.2电感元件的交流电路I•L2．功率瞬时功率iu

t0p

t0++––当u、I实际方向相同时(

i

增长)p>0，电感吸收功率；当u、I实际方向相反时(

i

减小)p<0，电感提供功率。波形图i平均功率P=0无功功率电感与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。电感不消耗功率，它是储能元件。–

+uL2.3.3电容元件的交流电路OfXC容抗设1．电压电流关系有i=CUmcost=Imsin(t+90)由C–

+uiXC

与f的关系设在电容元件的交流电路中，电压、电流取关联参考方向。式中容抗与频率

f，电容C

成反比。因此，电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，而对直流所呈现的容抗趋于无穷大，故可视为开路。

u波形图

tOiU

•+1+jO电流超前电压90

相量图I•电压与电流大小关系U=IXC

电压与电流相量式1．电压电流关系2.3.3电容元件的交流电路C–

+ui2．功率瞬时功率ui

tOp

tO++––当u、i实际方向相同时(

u

增长)p>0，电容吸收功率；当u、i实际方向相反时(

u

减小)p<0，电容提供功率。波形图平均功率P=0无功功率电容与电源之间能量交换的规模称为无功功率。其值为瞬时功率的最大值，单位为(var)

乏。电容不消耗功率，它是储能元件。C–

+ui

[例

1]

下图中电容C

=

23.5

F，接在电源电压

U

=

220

V、频率为

50

Hz、初相位为零的交流电源上，求电路中的电流i

、P

及

Q。该电容的额定电压最少应为多少伏？[解]

容抗C–

+uiP

=0Q=

UI=356.4var额定电压≥311V2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路根据

KVL

可列出1．电压电流关系在R、L、C串联交流电路中，电流电压参考方向如图所示。如用相量表示电压与电流关系，可把电路模型改画为相量模型。–jXCRjXL电路的阻抗，用Z

表示。

KVL相量表示式为–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+–

+–

+–

+–

+1．电压电流关系2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路上式中称为阻抗模，即阻抗的单位是欧姆，对电流起阻碍作用；是阻抗的辐角，即为电流与电压之间的相位差。1．电压电流关系2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路设电流i=Imsin

t

为参考正弦量当XL>XC，

为正，电路中电压超前电流，电路呈电感性；当XL<XC，

为负，则电流超前电压，电路呈电容性；当XL=XC，

=0，则电流与电压同相，电路呈电阻性。

的大小和正负由电路参数决定。则电压u=Umsin(

t+

)

为正时电路中电压电流相量图I

•U•UR•UL•

UC•UL•UC•阻抗三角形XL

XCR

Z2．功率2.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路瞬时功率整理可得平均功率为从R、L、C串联电路相量图可得出于是无功功率为电压与电流的有效值之积，称为电路的视在功率单位是(V·A)或(kV·A)阻抗三角形、电压三角形、功率三角形SQP将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形R[解](1)

[例2]

R、L、C

串联交流电路如图所示。已知

R

=

30

、L

=

127

mH、C

=

40

F，

。求：(1)电流

i

及各部分电压

uR，uL，uC；(2)求功率

P

和

Q。于是得–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+注意：(2)电容性(3)电流、电压相量图2.5阻抗串联与并联2.5.1阻抗的串联–

+++–

–

Z2Z1(a)–

+Z(b)根据KVL可写出图(a)电压的相量表示式图(b)相量表示式若图(b)是图(a)的等效电路，两电路电压、电流的关系式应完全相同，由此可得一般若Z1=R1+jX1

Z2=R2+jX2则Z=R1+jX1+

R2+jX2=(R1+R2)+j(X1+

X2)–

+Z–

+Z1Z2(a)(b)根据KCL可写出图(a)电流的相量表示式图(b)相量表示式若图(b)是图(a)的等效电路，两电路电压、电流的关系式应完全相同，由此可得或因为一般即所以2.5.2阻抗的并联2.6电路中的谐振在含有电感和电容的交流电路中，若调节电路的参数或电源的频率，使电路中的电流与电源电压同相位，称这时电路中发生了谐振现象。按发生谐振电路的不同，谐振现象分为串联谐振和并联谐振。本节讨论串联谐振与并联谐振的条件和特征。2.6.1串联谐振在图示电路中，当或时，则即u与i同相，这时电路中发生串联谐振。谐振条件谐振频率串联谐振电路特征(1)其值最小。最大；(2)电路对电源呈电阻性，(3)电源电压。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+2.6.1串联谐振串联谐振时相量图I

•U•UR•UL•UC•当XL=XC>R

时，UL

和UC

都高于电源电压U。如果电压过高，可能会击穿线圈和电容的绝缘。因此，在电力系统中应避免发生串联谐振。而在无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。–

+L–

+uCRiuLuCuR–

+–

+发生谐振时的相量图由相量图可得由于U

••I1•ICI

•LuCR–

+ii1iC2.6.2并联谐振2.6.2并联谐振通常线圈电阻

R

很小，一般谐振时，U

••I1•ICI

•LuCR–

+ii1iC2

f0L>>

R于是简化上式，得到谐振频率并联谐振具有下列特征：(1)由于故(2)电路对电源呈电阻性。(3)支路电流可能会大于总电流。所以并联谐振又称电流谐振。2.7功率因数的提高功率因数低引起的问题功率因数1．电源设备的容量将不能充分利用2．增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在P、U一定的情况下，cos

越低，I越大，损耗越大。有功功率P=UNIN

cos

在电源设备UN、IN

一定的情况下，cos

越低，P越小，设备得不到充分利用。P=UIcos

电压与电流的相位差角(功率因数角)I

•IC

•I1

•U•

1

iiCC电路功率因数低的原因感性负载的存在提高功率因数的方法并联电容后，电感性负载的工作状态没变，但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了电源或电网的功率因数。LuR–

+i1已知感性负载的功率及功率因数cos

1

，若要求把电路功率因数提高到cos

，则所并联的电容C

可由相量图求得又因所以由此得

[例1]有一电感性负载，P=10kW，功率因数cos

1

=0.6，接在电压U=220V的电源上，电源频率