专题10 数列解答题综合（二）（数列中的最值、放缩、不等式及新定义）（五大考点38题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题10数列解答题综合（二）（数列中的最值、放缩、不等式及新定义）（五大考点，38题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01数列中的最值问题2022全国甲卷、2021上海卷、2021新高考全国Ⅱ卷、2019北京卷、2018全国Ⅱ卷1.多为解答题第二小问，难度中档，依托等差、等比基础数列设问。

2.核心考点：前n项和最值、数列项最值、满足条件最小/正整数n求解。

3.命题依托通项、求和公式，结合等比条件综合计算，侧重不等式判断与整数分析。考点02数列中的取值范围问题2024上海卷、2022浙江卷、2022上海卷、2021浙江、2019上海、2019全国Ⅰ卷、2018江苏1.解答常规中档题型，参数范围为核心设问形式。

2.核心：公差、公比、实数参数取值范围，恒成立条件转化。

3.常结合等差等比混合、函数融合，分离参数、分类讨论是核心解题思路。考点03数列与不等式2025天津卷、2024天津卷、2023新课标Ⅱ卷、2022新高考Ⅰ/Ⅱ卷、2021天津卷、2020浙江卷、2017浙江1.数列压轴高频题型，以证明题为主，区分度较高。

2.核心：数列放缩、和式不等式、项大小比较、恒成立证明。

3.载体为等差、等比混合数列，常搭配裂项、分组求和完成放缩证明。考点04数列与其他知识点杂糅2025全国一卷、2024新课标Ⅱ卷、2023上海卷、2019全国Ⅰ卷、2017山东1.综合性压轴大题，文理/新高考均有出现。

2.融合解析几何、概率统计、函数图像、平面几何面积等跨模块知识。

3.先根据几何/概率条件推导数列递推，再结合数列求和、不等式综合求解。考点05数列新定义2026北京卷、2024新课标Ⅰ卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京、2020北京/江苏/上海、2019江苏、2018上海、2017北京/江苏1.上海、北京、江苏特色压轴解答题，难度最高，拉分核心。

2.核心：自定义数列、数阵、变换规则、特殊数列（M数列、P数列、连续可表数列等）。

3.题型分层：先读懂定义，简单判断；再计数、最值；最后充要条件、存在性证明，对逻辑推理要求极高。考点01数列中的最值问题（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．（2018·全国II卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．考点02数列中的取值范围问题（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．（2024·上海·高考真题）已知函数．(1)若函数的图象经过点，求解不等式；(2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围．（2022·上海·高考真题）已知数列，，的前项和为.(1)若为等比数列，，求；(2)若为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围.（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.（2018·江苏·高考真题）设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．（2019·上海·高考真题）已知数列，，前项和为.（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围.（2019·全国I卷·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通项公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．考点03数列与不等式（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．(1)求，的通项公式；(2)，，有，（i）求证：对任意实数，均有;（ii）求所有元素之和．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．（I）求和的通项公式；（II）记，（i）证明是等比数列；（ii）证明（2020·浙江·高考真题）已知数列中，．（Ⅰ）若数列为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列为等差数列，且公差，证明：．（2017·浙江·高考真题）已知数列满足：，证明：当时，（I）；（II）；（III）.（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．(1)求的通项公式及；(2)设数列满足，其中．（ⅰ）当时，求证：；（ⅱ）求．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．考点04数列与其他知识点杂糅（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.(1)证明：数列是等差数列；(2)给定正整数m，设函数，求．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．(1)若正整数，证明；(2)若正整数，试比较与大小；(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．（2019·全国I卷·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．(i)证明：为等比数列；(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．（2017·山东·高考真题）已知是各项均为正数的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积..考点05数列新定义（2026·北京·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质．(1)判断下列两个数表是否具有性质．11111111111(2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？(3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．(1)写出所有的，，使数列是可分数列；(2)当时，证明：数列是可分数列；(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列和序列，写出；(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.(1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足使得．（2018·上海·高考真题）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”.(1)设是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；(2)设数列的前四项为：，，，，是一个与接近的数列，记集合，求中元素的个数；(3)已知是公差为的等差数列，若存在数列满足：与接近，且在，，，中至少有100个为正数，求的取值范围.（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：，求证:数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．（2020·北京·高考真题）已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使；②对于中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若为连续可表数列，且，求证：．（2020·江苏·高考真题）已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ~k”数列．（1）若等差数列是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列是“”数列，且an＞0，求数列的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，（2020·上海·高考真题）有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.（3）若是的