专题14 解三角形选填题综合（四大考点28题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题14解三角形选填题综合（四大考点，28题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01正弦定理解三角形2026天津卷、2024全国甲卷、2024上海卷、2023北京卷、2023全国乙卷、2019全国Ⅰ卷、2019上海卷、2018浙江卷、2017山东卷、2017全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ1.以选择、填空小题为主，解三角形基础核心题型，难度偏低。

2.核心考查正弦定理边角互化、比例关系、已知两边一对角求解角度与边长。

3.常结合三角恒等变换，注意锐角/钝角三角形多解讨论陷阱。考点02余弦定理解三角形2025全国二卷、2023全国乙卷、2023全国甲卷、2023上海卷、2018全国Ⅱ卷、2018全国Ⅲ卷、2018北京卷、2017全国卷1.高频必考小题，与正弦定理搭配出题，中档难度。

2.核心利用余弦定理已知三边求角、两边夹角求第三边，结合角平分线模型命题。

3.常结合三角形面积，限定钝角条件求解参数范围。考点03三角形的面积2019全国Ⅱ卷、2018全国Ⅰ卷、2018江苏卷、2017浙江卷1.填空高频考点，多结合均值不等式求面积最值。

2.核心面积公式S=12考点04解三角形及其应用2026北京卷、2024上海卷、2021全国乙卷1.创新应用题，以上海、北京卷为主，中档偏难。

2.结合机械摇杆、古代海岛测量、方位角实际模型建模。

3.读懂几何示意图，转化为标准三角形边角关系求解角度、边长范围。考点01正弦定理解三角形（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可.【详解】因为，则由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根据正弦定理得，所以，因为为三角形内角，则，则.故选：C.（2023·北京·高考真题）在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.（2019·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．（2017·山东·高考真题）在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A． B． C． D．【答案】A【详解】所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.（2017·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________．【答案】/【详解】在中，，所以，由正弦定理可得.（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______【答案】【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【详解】三角形中，，，由正弦定理，，，得．故答案为：．（2019·上海·高考真题）在中，，且，则____________【答案】【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.（2018·浙江·高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【答案】3【详解】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（2017·全国III卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.【答案】【详解】由正弦定理，得，结合可得，则.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.（2017·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为，若，则________．【答案】【分析】根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB的值，即得B角.【详解】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.考点02余弦定理解三角形（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理直接计算求解即可.【详解】由题意得，又，所以.故选：A（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.

（2018·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．（2018·全国II卷·高考真题）在中，,BC=1,AC=5，则AB=A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.（2017·全国·高考真题）的内角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由，得，则，因为，所以．故选：B.（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则_________．【答案】【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出；方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，由可得，，解得：．故答案为：．方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，由正弦定理可得，，解得：，，因为，所以，，又，所以，即．故答案为：．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则__________．【答案】【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得.【详解】，A为的内角，.故答案为:.【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系式的合理运用，是基础题.（2018·北京·高考真题）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.【详解】，，即，，则，为钝角，，，故.故答案为，.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.考点03三角形的面积（2019·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为__________.【答案】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.故答案为：.［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式由三角形内角平分线性质得向量式．因为，所以，化简得，即，亦即，所以，当且仅当，即时取等号．［方法三］：解析法＋基本不等式如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以．下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在与中，由正弦定理得．在中，由正弦定理得．所以，由正弦定理得，即，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则．由，得，即，从而．下同方法一．【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．（2018·全国I卷·高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】.【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得，，利用三角形面积公式即可解出.【详解】［方法一］：【最优解】边化角因为，由正弦定理得，因为，所以．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.［方法二］：角化边因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解；方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积．（2017·浙江·高考真题）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】【详解】取BC中点E，由题意：，△ABE中，，∴，∴．∵，∴，解得或（舍去）．综上可得，△BCD面积为，．【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．（2017·浙江·高考真题）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，____