专题09 计数原理与统计概率 2020-2026年高考数学真题分类汇编（天津专用）（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题09计数原理与统计概率7年真题1年模拟考点分类天津考情（2020-2026）命题规律考点01二项式定理2026天津：二项展开式指定次数项系数计算2025天津：二项展开式指定项系数求解2024天津：二项展开式常数项计算2023天津：二项展开式指定次数项系数2022天津：二项展开式常数项求值2021天津：二项展开式指定项系数计算2020天津：二项展开式指定项系数求解该考点为填空基础必考题，每年固定单空5分，难度低。全程围绕二项式通项公式展开，早年仅简单整式二项式，近年少量出现分式型二项式。命题无复杂变形，只需找准对应项数代入组合数运算，计算陷阱仅在正负符号、指数化简，侧重基础运算熟练度，是试卷稳定送分点。考点02条件概率2026天津：有放回抽样+条件概率双空填空2025天津：分步事件概率+二项分布期望综合2024天津：组合背景下条件概率计算2022天津：无放回抽取条件概率求值该考点多为双空填空题，综合性逐年增强。早期只单一考查条件概率公式，近年融合有/无放回抽样、组合选取、二项分布期望等内容，生活情境丰富。解题核心是分清条件事件与总事件，区分独立、对立事件，第二空常结合期望进阶计算，对文字审题能力要求提升。考点03线性相关2026天津：相关系数正负判断、回归预测辨析2024天津：散点图判断线性相关强弱2023天津：相关系数、回归方程概念辨析选择题该考点固定为选择小题，侧重概念理解而非数值计算。命题变化明显，早年只通过散点图判断相关性，近年加入相关系数数值解读、回归值为均值而非确定值等易错概念。题目多结合自然、生活情境，设置大量正误混淆选项，重点区分预测值、样本与总体相关系数差异。考点04相互独立事件2023天津：多箱独立抽取综合概率2021天津：独立事件+3重伯努利计算2020天津：两件独立事件、对立概率求解该考点以填空小题为主，难度中等，核心依托独立事件乘法公式。命题从两件简单独立事件，逐步升级至多组、多步骤独立场景，常搭配对立事件简化“至少”类概率计算。题干多用小球、竞赛等生活化模型，核心是判断事件互不干扰，容易混淆互斥与独立概念，是高频易错基础题型。考点05频率分布直方图2022天津：直方图求区间样本数量2021天津：分组评分直方图计算频数2020天津：零件尺寸直方图统计计算该考点为标准选择基础题，核心考查频率、组距、样本总量的换算关系。命题素材常年为气温、影视评分、工业零件统计等，情境贴合实际统计应用。设问固定为求指定区间样本个数，计算步骤统一，运算简单，极少设置复杂变形，属于试卷稳定送分小题。考点06正态分布2025天津：正态分布对称性、相关系数辨析命题不涉及复杂正态数值计算，仅考查正态曲线的对称性质，搭配相关系数概念设置混淆选项。整体仅考查基础概念辨析，无繁杂运算，区分度低，只需牢记正态曲线对称轴特征与相关性判定基础结论即可。考点01二项式定理1．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________．【答案】【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，当时，，因此的系数为.2．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________．【答案】【详解】展开式的通项公式为，当时，，即展开式中的系数为.故答案为：3．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______．【答案】20【详解】因为的展开式的通项为，令，可得，所以常数项为.故答案为：20.4．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________．【答案】【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.5．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是______.【答案】15【详解】由题意的展开式的通项为，令即，则，所以的展开式中的常数项为.故答案为：.6．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．【答案】160【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为：160.7．（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．【答案】10【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．考点02条件概率1．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________．【答案】【详解】由题意，第一空：箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球，有放回抽取，每次取到非黄球的概率为，三次都没取到黄球的概率：.第二空：设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球，，∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：，，∴，∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.2．（2025·天津·高考真题）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0．5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0．4，6圈的概率为0．6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0．6，6圈的概率为0．4．小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记合格周数为X，则期望_______【答案】【详解】设小桐一周跑11圈为事件A，设第一次跑5圈为事件，设第二次跑5圈为事件，则；设运动量达标为事件，，所以，；故答案为：；3．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为______；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为______．【答案】【详解】解法一：列举法给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有：,共10种情况，其中甲选到有6种可能性：，则甲参加“整地做畦”的概率为：；乙选活动有6种可能性：，其中再选择有3种可能性：，故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.解法二：设甲、乙选到为事件，乙选到为事件，则甲选到的概率为；乙选了活动，他再选择活动的概率为故答案为：；4．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为____________；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为____________【答案】【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,则.故答案为：；.考点03线性相关1．（2026·天津·高考真题）调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数，根据最小二乘法算得：，下列说法正确的是（

）A．与负相关 B．当时，一定为1359C．当时，一定小于1359 D．两变量无线性关系【答案】A【详解】因为相关系数，且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，所以y与x负相关，所以A正确，D错误；当时，，所以约为，所以B，C错误.2．（2024·天津·高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.故选：A3．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（

）A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系B．花瓣长度和花萼长度负相关C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是【答案】C【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，把代入可得，C选项正确；由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误故选：C考点04相互独立事件1．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________．【答案】/【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；乙盒中黑球个数为，白球个数为；丙盒中黑球个数为，白球个数为；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，黑球总共有个，白球共有个，所以，．故答案为：；．2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．【答案】【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.3．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.故答案为：；.考点05频率分布直方图1．（2022·天津·高考真题）将1916到2015年的全球年平均气温（单位：），共100个数据，分成6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则全球年平均气温在区间内的有（

）A．22年 B．23年 C．25年 D．35年【答案】B【详解】全球年平均气温在区间内的频率为，则全球年平均气温在区间内的有年.故选：B.2．（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.故选：D.3．（2020·天津·高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（

）A．10 B．18 C．20 D．36【答案】B【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，则区间内零件的个数为：.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.考点06正态分布1．（2025·天津·高考真题）下列说法中错误的是（

）A．若，则B．若，，则C．越接近1，相关性越强D．越接近0，相关性越弱【答案】B【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确；对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误；对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确.故选：B1．（2026·天津·模拟预测）观察下列散点图，其中图1两个变量的相关关系为，图2两个变量的相关关系为，则判断一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】观察图像，可以发现图1整体从左往右递减，图2整体从左往右递增，所以，同时图2整体排列比图1更为紧密，所以，，A正确；因为，所以，，，故BCD都错误.2．（2026·天津北辰·三模）下列说法正确的是（

）A．一组数据的第百分位数为B．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验（），可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于D．若随机变量满足，则【答案】C【详解】对于A，，共个，计算位置：，所以，第80百分位数为，不是17，A错误；对于B，线性相关系数越接近，线性相关性越强，正相关时接近1，负相关时接近，不是越接近于1就越强，B错误；对于C，独立性检验：，说明在的显著性水平下，拒绝独立的原假设，判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于，C正确；对于D，方差性质，常数不影响方差，由，得，不是，D错误．3．（2026·天津武清·模拟预测）下列关于统计概率知识的结论中，正确的个数是（

）①若样本数据x1，x2，，的方差为4，则数据，，，的标准差为4；②在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1；③若事件，满足，则事件与事件相互独立；④某医院8位患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为4．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】对于命题①，因为样本数据x1，x2，…，的方差为4则数据，，…，的方差为，标准差为，所以命题①正确；对于命题②，相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，所以命题②错误；对于命题③，因为，得到，则事件与事件相互独立，所以命题③正确；对于命题④，将数据从小到大排序为，因为，所以该样本数据的第百分位数为，故命题④错误.4．（2026·天津东丽·二模）下列结论中正确的是（

）A．在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强；B．若随机变量X服从正态分布，且，则；C．数据1，3，4，5，7，9，11，16的第三四分位数为9；D．多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有4个选项的多选题的答案个数可能有16个.【答案】B【详解】对于A，线性相关系数r的绝对值越接近于1，则两个变量的线性相关性越强，A错误；对于B，依题意，，B正确；对于C，由，得所求第三四分位数为，C错误；对于D，有4个选项的多选题的答案个数可能有，D错误.5．（2026·天津和平·三模）以下说法不正确的是（

）A．样本数据1，1，1，3，3，3的极差为2，标准差为1B．对具有线性相关关系的变量x，y，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值为2C．对一个容量为的总体，抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，三种方法的总体中每个个体被抽中的概率均相等D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与无关联”【答案】D【详解】对于A，在样本数据1，1，1，3，3，3中，最大值是3，最小值是1，所以极差为.样本数据的平均数为，则标准差，所以选项A正确.对于B，已知经验回归方程为，样本数据的中心点为，因为样本数据的中心点为一定在经验回归方程上，所以，则，所以选项B正确.对于C，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样，即总体中每个个体被抽中的概率均为，所以选项C正确.对于D，已知，依据的独立性检验，当时，我们有的把握认为“与有关联”，所以选项D错误.6．（2026·天津河北·二模）数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（，），下列说法错误的是（

）A．数据，，，…，的平均数是；B．数据，，，…，的平均数是；C．若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数：D．若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数.【答案】B【详解】选项A，数列为等差数列，项数为，其前项和为由等差数列性质，，故平均数为A正确.选项B，取，数列为项数3的等比数列，设，，数列的平均数为B错误.选项C，由，，等差数列的中位数为，等比数列的中位数为.由均值不等式，（），故，C正确.选项D，易知点在直线上，点在曲线上，因为，所以如下图所示：由图可知，当时，，所以数列的前项和大于数列的前项和，所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，D正确．7．（2026·天津红桥·二模）为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（

）A．岁 B．岁 C．岁 D．岁【答案】C【详解】根据所给的信息可知，在区间上的数据的频率为，因为的频率为，的频率为，所以中位数在，设为中位数为，则，解得．8．（2026·天津东丽·一模）在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（

）A． B．成绩在的频数为35C．成绩中位数在区间内 D．成绩平均数在区间内【答案】D【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程，解得，.正确.对于选项B，成绩在的频率为：，所以频数为，正确.对于选项C，前3个小长方形的面积和为，而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于.即中位数一定出现在内，正确.对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和，即.所以D不正确.9．（2026·天津东丽·一模）的展开式中，x项的系数为________．【答案】20【详解】首先将原式变形为，根据二项式定理，的展开式通项为，其中且.中x项的系数：令，解得，代入通项得该部分x项的系数为，中x项的系数：要得到x项，需中对应项的次数为，令，解得，代入通项得该部分x项的系数为，将两部分系数相加，得展开式中x项的总系数为.10．（2011·山东济南·高考模拟）展开式中，常数项是________．【答案】【详解】根据二项式定理展开式的通项为：，令，得，故展开式的常数项为.故答案为60.11．（2026·天津武清·模拟预测）若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________．【答案】60【详解】因为的展开式的二项式系数和为64，所以，解得，二项式的展开式通项为，令，解得r=2，所以展开式中的系数为.12．（2026·天津河北·二模）二项式的展开式中，的系数为________.【答案】【详解】，，则，即的系数为.13．（2026·天津滨海新区·三模）的展开式的常数项为___________．（用数字作答）【答案】135【详解】的展开式的通项为：，其中且，化简得：，由，解得，将代入通项，得常数项为.14．（2026·天津红桥·二模）已知二项式的展开式中的常数项为，则实数______．【答案】【详解】由题意得的展开式中的通项为，令，得，则常数项为，即，解得．15．（2026·天津武清·模拟预测）现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，（i）若随机抽取一个罐子，则从罐中抽到红球的概率为____________________；（ii）若从两个罐子中各摸出1个球后进行交换，交换2次后，白球还在A罐的概率是____________________．【答案】【分析】【详解】（i）设事件为随机抽取A罐，事件随机抽取B罐，事件为取到一个红球，则，，，，所以；（ii）根据第一次交换后，白球在B罐还是在A罐，分两种情况讨论：情况一：第一次交换后，白球在B罐第一次交换时，从A罐中摸出白球的概率为，从B罐中摸出红球的概率为，此时白球在B罐中，概率为；第二次交换时，需从B罐中摸出白球（此时B罐中有1个白球，2个红球），概率为，从A罐中摸出红球（此时A罐中有3个红球），概率为，所以第二次交换白球回到A罐中的概率为；所以，在这种情况下，两次交换后，白球还在A罐中的概率为；情况二：第一次交换后，白球在A罐第一次交换时，从A罐中摸出红球的概率为，从B罐中摸出红球的概率为，此时白球在A罐中，概率为；第二次交换时，需从A罐中摸出红球（此时A罐中有1个白球，2个红球），概率为，从B罐中摸出红球（此时B罐中有3个红球），概率为，所以第二次交换白球还在A罐中的概率为；所以，在这种情况下，两次交换后，白球还在A罐中的概率为；综上所述，根据概率加法原理，两次交换后，白球还在A罐中的概率为.16．（2026·天津西青·三模）小杨同学每天的运动计划主要是两种方式：室内健身和户外运动．第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．若第一天选择室内健身，则第二天继续选择室内健身的概率为；若第一天选择户外运动，则第二天选择室内健身的概率为．小杨同学第二天去室内健身的概率为______；若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为______．【答案】/【详解】设第一天选择室内健身为事件，第一天选择户外运动为事件，第二天选择室内健身为事件.则由题意得：，，，，由全概率公式得：，.17．（2026·天津北辰·二模）2026年教育部全面推进“人工智能+教育”，某科技馆开展AI助手体验活动.三人一组，每人可向AI助手提问.甲、乙、丙三人体验AI问答系统.活动分两环节，第一环节“抢麦提问”，只有一人能抢到麦克风，三人抢到麦克风的概率均为，抢到者向AI提问，AI给出正确答案的概率分别为甲是，乙、丙均是.第二环节“独立测试”，三人各自在平板电脑上完成一道必答题，他们各自答对的概率分别为甲是，乙、丙均是，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响.则在第一环节提问中得到正确答案的概率______；记在第二环节独立测试中得到正确答案的人数为X，则X的数学期望为_______.【答案】【详解】在第一环节提