专题22 导数及其应用解答题（二）（证明不等式、恒成立与有解、零点与方程的根、双变量问题）（六大考点53题）10年（2017-2026）高考数学真题分类汇编

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题22导数及其应用解答题（二）（证明不等式、恒成立与有解、零点与方程的根、双变量问题）（六大考点，53题）考点分类十年考情（2017-2026）命题规律考点01利用导数证明不等式2026天津、2025天津/全国二卷、2024全国甲卷、2023上海/天津、2022新高考Ⅱ卷、2021全国乙/新高考Ⅰ、2020浙江/江苏、2019北京/天津、2018全国Ⅰ/Ⅲ、2017全国Ⅱ/浙江/江苏1.导数大题高频压轴问，综合性强，区分度高。2.题型分为单变量不等式、数列不等式、双变量不等式证明；常用构造函数、最值放缩、拆分函数方法。3.函数以指数、对数复合型为主，常结合极值、零点辅助推导。考点02恒成立问题2026全国二卷、2025北京、2024新课标Ⅰ/全国甲/天津、2023全国甲、2022全国甲、2020全国Ⅰ/海南、2019全国Ⅰ、2017天津/全国Ⅰ/Ⅱ1.高考导数核心必考题型，常求参数取值范围。2.常规解法：分离参数、分类讨论、端点效应；分为全体区间恒成立、给定区间恒成立两类。3.常与最值、极值结合，是连接切线、单调性与压轴证明的过渡题型。考点03有解问题2021天津、2018天津1.中档衍生题型，考查频次低于恒成立，常配套出现。2.核心逻辑：存在解等价于函数最值满足对应不等式，区分“∃有解”与“∀恒成立”逻辑差异。3.多结合公切线、切线存在性背景出题。考点04零点问题2022全国乙、2021新高考Ⅱ/浙江、2020全国Ⅰ/Ⅲ、2019全国Ⅰ、2018全国Ⅱ、2017全国Ⅰ1.导数经典重难点，压轴高频考点。2.考向：零点个数判定、零点分布、零点范围证明、多零点之间关系。3.依靠单调性、极值符号、极限趋势数形结合分析。考点05图象交点与方程的根2026北京、2022天津/新高考Ⅰ、2021全国甲、2019全国Ⅱ、2018浙江1.零点问题等价变形题型，两曲线交点即方程根。2.常考交点个数、交点横坐标等量关系（等差、倒数）、直线与曲线公共点。3.可转化为单函数零点问题求解。考点06双变量问题2022浙江、2020天津1.导数压轴难点，试卷区分度拉满。2.两类典型考法：双切线切点问题、任意两个自变量比较大小/证明不等式。3.解题核心：统一变量构造新函数，消元转化为单变量函数分析。考点01利用导数证明不等式（2026·天津·高考真题）已知．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)当时，证明；(3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立．（2025·天津·高考真题）已知函数(1)时，求在点处的切线方程；(2)有3个零点，且.（i）求a的取值范围；（ii）证明．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中．(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；(2)设分别为在区间的极值点和零点.（i）设函数.证明：在区间单调递减；（ii）比较与的大小，并证明你的结论．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．(1)若正整数，证明；(2)若正整数，试比较与大小；(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.（2020·浙江·高考真题）已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；（ⅱ）．（2020·江苏·高考真题）已知关于x的函数与在区间D上恒有．（1）若，求h(x)的表达式；（2）若，求k的取值范围；（3）若求证：．（2019·北京·高考真题）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．（2019·天津·高考真题）设函数为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.（2018·全国III卷·高考真题）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．（2018·全国III卷·高考真题）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．（2018·全国I卷·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．（2017·全国II卷·高考真题）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.（2017·浙江·高考真题）已知数列满足：，证明：当时，（I）；（II）；（III）.（2017·江苏·高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b²>3a;（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．考点02恒成立问题（2026·全国二卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，；(2)当时，，求的取值范围；(3)当时，，求的最小值．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．(1)求的最大值；(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．（2024·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意成立，求实数的值；(3)若，求证：．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．（2020·全国I卷·高考真题）已知函数.（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.（2020·海南·高考真题）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．（2019·全国I卷·高考真题）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.（2017·全国II卷·高考真题）设函数.（I）讨论函数的单调性；（II）当时，，求实数的取值范围.（2017·全国I卷·高考真题）已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.考点03有解问题（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明：；（III）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.考点04零点问题（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)（2020·全国III卷·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．（2020·全国III卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围．（2020·全国I卷·高考真题）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.（2019·全国I卷·高考真题）已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．（2018·全国II卷·高考真题）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）证明：只有一个零点．（2017·全国I卷·高考真题）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.考点05图象交点与方程的根（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求的极值点个数；(3)求与交点个数．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求曲线在处的切线方程；(2)若曲线和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．（2019·全国II卷·高考真题）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为