专题07 数列 2026年高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题07数列答案版考点01等差数列1．C2．B3.（答案不唯一，满足即可）4．考点02等比数列1．2．考点03数列的递推公式与求和1．C2．A3．【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式；（2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，所以，即，解得或（公比不能为0，舍去），所以（2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项，根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成，小于的正偶数有个，由得，，所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个，所以.（ii）当时，中小于等于的项有个，又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个，所以，所以，从到共有项，又为奇数时，所以，所以令①，则②，①-②得，所以，所以考点04数列中的新定义1．【答案】(1)数表不具有性质，数表具有性质；(2)(3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个．因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①，对，，令先取行距为、列距为的矩形．由①，对及，有由于，所以②，下面比较第行与第行的值．对，取第、行和第、列．此时行距为，列距为，由①得由②知，故③，令则由③得，所以再取第、行和第、列．此时行距为，列距为，由①得即由于且，所以．从而④，同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤，结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥，当时，由，显然有当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有再由⑥，两边同乘，并利用，得命题得证．【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质.（2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达.（3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，先验证差为2的下标组合，再通过递推推广到所有下标，完成证明.【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为．要满足|行距列距|，列距只能为．取第、行和第、列，四个顶点之和为所以不具有性质．对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距．因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形．第、行对应的四个顶点之和为第、行对应的四个顶点之和为所以具有性质．（2）设第行元素之和为先考察第行与第行．令对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得因此x2=-同理，考察第行与第行，可得所以整个数阵所有元素之和为设数阵中的个数为．数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得下面说明可以达到．取该数阵中共有个．对于数阵，可能的行距、列距组合只有当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为；当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为；当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为．所以该数阵具有性质，且的个数为．因此，的个数最多为（3）略一、单选题1．B2．B3．D4．D5．C6．A7．C8．B二、多选题9．ABD10．ACD11．BC12．ABD三、填空题13．50214．（或）15．四、解答题16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）当时，，当时，，经检验，时符合上式，所以，．由上可知，，设的公差为，则，所以，，即．（2）由(1)得，则数列的前项和为：，，，，所以，数列的前项和．17．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助与的关系计算即可得；（2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可.【详解】（1）因为，所以当时，；当时，，又因为，满足上式，所以的通项公式为；（2）由（1）知，，所以，所以．18．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和；（2）化简的表达式，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设的公比为，则，而，得，已知，所以，所以，则.（2），．19．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由，，分别求得求解；（2）由，得到，从而，再利用裂项相消法求解；（3）由，得到，再由，得到，然后递推求解.【详解】（1）因为，所以，所以．（2）因为，所以，则，所以，由恒成立，可得，则，得，则，即的取值范围为．（3）证明：由，可得，则，两式相减得．由，得，则．由，得，则，即．20．【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【分析】（1）根据题意计算求解即可；（2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解.【详解】（1）由题意可知数列，得，则；（2）（i）设等比数列的公比为