专题08 立体几何与空间向量 2026年高考数学真题分类汇编（答案版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题08立体几何与空间向量考点01几何体中的面积与体积问题1．2．3．【答案】(1)(2)证明见解析，体积为【分析】（1）作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小.（2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积.【详解】（1）过作平面ABCD于,连接，过分别作于于,连接,如图为在平面上的投影,由于平面，所以，由于平面，所以平面.由于平面，所以.所以,同理,,四边形为正方形,所以，为在平面上的投影,又因平面平面,所以和平面所成角即，,故和平面所成角为.（2）连接、交于,连接、交于,如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且,所以四边形为平行四边形,所以，因为平面,平面，所以平面.由正棱台性质,与上下底面均垂直,则，因为，平面，所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和,即:考点02空间中的位置关系1．D2．BC考点03空间向量的应用1．A2．【答案】(1)由题意证明如下：如图，作出符合题意的图形，连接，在中，，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.(2)距离为1.【分析】（1）通过证明，即可得出结论；（2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离.方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离.【详解】（1）略（2）法一：由题意及（1）得，在直三棱柱中，，设，四边形与四边形是矩形，∴，，，建立空间直角坐标系，如下图所示，得到，，，，，∴，面的一个法向量为，∵直线与平面所成的角为，设直线与平面所成的角为∴解得，∴，，，，，∵面，∴由几何知识得，到面的距离为.法二：由题意及（1）得，在直三棱柱中，，，四边形与四边形是矩形，∴，，，∵，平面，平面，平面，∴平面，，∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角，直线与平面所成的角为，在中，，分别为，中点，，∴直线与平面所成的角为，即，在Rt中，，，，∴，在Rt中，，，为等腰直角三角形，过点作，则点为中点，，，由几何知识得，到面的距离即为.3．【答案】(1)解法一：取的中点，连接，，因为分别为，的中点，则，且，又因为为矩形，且为的中点，则，且，可得，且，可知为平行四边形，则，且平面，平面，所以平面；解法二：设，的中点分别为，，连接，，，，因为分别为，的中点，则，，且平面，平面，所以平面，又因为分别为，的中点，则，且平面，平面，所以平面，又因为分别为，的中点，则，可得，可知四点共面，因为，平面，则平面平面，且平面，所以平面；解法三：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，且，，可得，，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，因为，即，因为平面，所以平面.(2)【分析】（1）解法一：作辅助线，可证，根据线面平行的判定定理分析证明；解法二：作辅助线，可证平面平面，根据面面平行证明线面平行；解法三：建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行；（2）若选①：解法一：作辅助线，根据线段长相等可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；解法二：设，根据题意可得，利用空间向量求面面夹角；若选②：解法一：作辅助线，根据垂直关系分析可知为的中点，且平面与平面的夹角为，即可得结果；解法二：设，根据题意可得，利用空间向量求面面夹角；若选③：根据平面平面分析可知点不唯一，不合题意.【详解】（1）略（2）由（1）可知，则，若选①：解法一：设，，的中点分别为，可知为线段的中垂线，则，因为，由题意可知：平面，即平面，则，，可得，符合题意，取的中点，连接，设，因为，则，又因为平面，平面，则，且，平面，则平面，即平面，且平面平面，可得平面，且平面，可得，过点作，且，平面，则平面，可得，可知平面与平面的夹角为，由题意可知：，，则，，则，，所以平面与平面的夹角余弦值为；解法二：设，因为，则，解得，即，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，因为平面平面，可知平面的法向量为，则，所以平面与平面的夹角余弦值为；若选②：解法一：取的中点，连接，设，因为，则，又因为平面，平面，则，且，平面，则平面，即平面，且平面平面，可得平面，取的中点，连接，，可知，设，可知点为的中点，因为，，可得平面，则，因为平面且平面，可得，过点作，且，平面，则平面，可得，可知平面与平面的夹角为，由题意可知：，，则，，则，，所以平面与平面的夹角余弦值为；解法二：设，则，因为，则，解得，即，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，因为平面平面，可知平面的法向量为，则，所以平面与平面的夹角余弦值为；若选③：由（1）可知：平面平面，因为，平面即为平面，即平面平面，可得平面，此时点不唯一，不合题意.4．【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,.连接,则四点共面,平面即平面.由，，可得与相似,所以，则可得,所以.长方体中，平面，因为平面，所以.又,平面，所以平面.方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系.则.所以.所以，所以，即.又,平面，所以平面.(2)(3)【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；（2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值；（3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积；方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积；方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积.【详解】（1）略（2）方法一：过点作//,交于点，则有，，连接，则四点共面，平面即平面.如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，所以，所以.取的中点P，则，所以，，所以.所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角.又，所以平面与平面的夹角的余弦值为.方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系.则.所以，设平面的法向量为，则，故可取.由（1）知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为.方法三：由题意可知：，，，则，则，过点作，设，，连接，由（1）可知：平面，则平面，可得，，且，平面，可得平面，则，可知平面与平面的夹角为，因为，，，则，可得，，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为；（3）方法一：由，，得，所以.所以的面积为.由（2）知，平面的一个法向量为，点C到平面的距离为.所以三棱锥的体积，所以三棱锥的体积为.方法二：点A到平面的距离为.因为//，所以到的距离相等，所以的面积等于的面积，即.所以三棱锥的体积为.方法三：由题意可知：，，，，则的面积，由（2）可知点到平面的距离为，所以三棱锥的体积.5．【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，则，设点，则，，．(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直；（2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解．【详解】（1）略（2）四棱锥体积，解得，，则，，设平面的法向量为，则，令，则，设平面的法向量为，则，令，则，设二面角为，则，由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为．6．【答案】(1)证明：因为且，，且，所以平面.因为平面，所以.又，，平面，平面，平面，所以平面，故.(2)【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可；（2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角.【详解】（1）略（2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，可得，，，.因为且，所以.所以，，.设平面的法向量，则，可得，令，则：，，即.设与平面所成的角为：所以，所以与平面所成的角为.法二：在中，，在中，，由（1）知，则.在中，.在中，.，为直角三角形，则.设点到平面的距离为，与平面所成角为，由得：，即，解得：.所以.一、单选题1．B2．A3．D4．C5．A6．D7．B8．C二、多选题9．AB10．AD11．BCD12．ABD三、填空题13．14．/15．四、解答题16．【答案】(1)证明见解析(2)．【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明（2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值.【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则，在与中，易得，，因为，所以，因为平面，平面，所以平面，同理，，因为平面，平面，所以平面，又因平面，故平面平面.（2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向，过点和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，因，，则，即令，则，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得.（2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距.【详解】（1）因为，，故，故.因为平面平面，平面平面，平面，故平面，而平面，故.（2）由（1）可得平面，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，因为，故，所以，故，而，设平面的法向量为，则即，取，故到平面的距离为.18．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明和均为等腰三角形，利用三线合一性质得到和，进而证明平面，最后利用线面垂直的性质得证；（2）根据（1）中的垂直关系及勾股定理逆定理证明，从而建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角的正弦值。【详解】（1）因为，所以为等边三角形，则.同理，因为，所以为等边三角形，则，所以.因为为的中点，所以.又因为,为的中点，所以.因为平面，所以平面,因为平面，所以.（2）不妨设由（1）可知.在中，，，所以.因为为的中点，所以，.在中，，所以在中，，所以.由（1）知平面，且平面，所以，故两两垂直.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系则所以,.因为，所以所以.设平面的法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则,所以直线与平面所成角的正弦值为19．【答案】(1)设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，点的轨迹为.(2)(3)【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据题设中的几何条件即可求解；（2）根据空间两点的距离公式及二次函数即可求解最小值；（3）根据点的轨迹即可求解．【详解】（1）建立空间直角坐标系：，，，．则，，设，则，其中，且，点到平面的距离为．点到平面的距离为．点到平面的距离为．因为，，依次成等差数列，所以．即，解得，设上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为，由，可知，点的轨迹为线段.（2）,，所以当时，取得最小值，最小值为.（3）因为，点的轨迹为，所以，即轨迹的长度为.20．【答案】(1)连接，由题意知，，而，是的中点，所以，又，，所以四边形为平行四边形，故，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面(2)(3)，证明如下：是四面体的表面积，，令与面所成角为，，，，因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是