专题16 排列组合与二项式定理 2022-2026年高考数学真题分类汇编（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题16排列组合与二项式定理考点分类五年考情（2022-2026）命题规律考点01排列组合2026全国二卷、2026上海卷2025上海卷2024年新课标Ⅱ卷、2024上海卷2023年新课标Ⅰ卷、2023年新课标Ⅱ卷、2023年全国甲卷、2023年全国乙卷、2023上海卷2022年新高考全国Ⅱ卷、2022上海卷考查有限制条件的排列，题目常通过相邻、不相邻、特殊元素优先、位置限制等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用。组合问题则多与实际场景结合，如分配问题、选组问题，强调对无序性本质的理解。考点02二项式定理2026北京卷、2026天津卷、2026上海卷2025北京卷、2025天津卷、2025上海卷2024年全国甲卷、2024北京卷、2024天津卷、2024上海卷2023北京卷、2023天津卷、2023上海卷2022年新高考全国Ⅰ卷、2022北京卷、2022天津卷、2022上海卷、2022浙江卷考查二项式定理特定项与系数计算，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项式系数的区别。还有系数和问题，利用赋值法求各项系数和、奇数项、偶数项系数和。考点01排列组合1．（2026·全国二卷·高考真题）把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（

）A．10种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】C【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可.【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组，安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在B组.若丙在A组，丁在B组：此时A组已有{甲,乙,丙}，还差1人；B组已有{丁}，还差3人，则从剩余4人中选1人进A组，方案数为.若丁在A组，丙在B组：同理，方案数为.所以当甲、乙在A组时，方案数为种.情况2：甲、乙两人都在B小组，甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致，安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为，所以当甲、乙在B组时，方案数为种.故所有分配方案共有种.2．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.故选：B.3．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】C【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B6．（2026·上海·高考真题）在5个人中选3个人去演讲，若甲一定去，则一共有____________种选法.【答案】6【分析】结合组合知识求解即可.【详解】由题意，甲一定去，则从剩下的4人中任选2人即可，则一共有种选法.故答案为：6.7．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．【答案】288【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，故有种排法.故答案为：2888．（2024·上海·高考真题）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值为__________．【答案】329【分析】确定奇数最多1个，再分个位数为0和不为0，结合排列、组合求解即可.【详解】由题意可知，集合中每个元素都互异，且元素中最多有一个奇数，（若有2个以上奇数，则不满足任意两者之积皆为偶数），剩余全是偶数.先研究集合中无重复数字的三位偶数；（1）若个位为0，这样的偶数有个；（2）若个位不为0，这样的偶数有个；所以集合元素个数最大值为个．故答案为：3299．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．【答案】24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法；每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：，，，，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.10．（2023·上海·高考真题）空间内存在三点A、B、C，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为______．【答案】9【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解.【详解】因为空间中有三个点，且，不妨先考虑在一个正四棱锥中，哪三个点可以构成等边三角形，同时考虑三边的轮换对称性，可先分为两种大情况，即以下两种：第一种：为正四棱锥的侧面，如图1，此时分别充当为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的;不妨以为例，此时符合要求的另两个点如图1所示，显然有两种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有6种；

第二种：为正四棱锥的对角面，如图2，此时分别充当底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的;不好以为例，此时符合要求的另两个点图2所示，显然只有一种情况，考虑到三边的轮换对称性，故而总情况有3种；综上所述：总共有9种情况.故答案为：9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到为正三角形，从而考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，结合三边的轮换对称性即可得解.11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；综上所述：不同的选课方案共有种.故答案为：64.12．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________【答案】17【分析】先分类再分步，按千位为3,4,2分为三类，再逐次安排百位和十位，即可计算出满足条件的四位数个数.【详解】千位为和时，组成的四位数都比2134大，有个，千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有个，千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个，则组成的四位数比2134大的一共有17个.故答案为：17.考点02二项式定理1．（2026·北京·高考真题）已知的展开式中的的系数是280，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【详解】二项式的展开式的通项为，其中.令，解得，则项的系数为.∵，，且已知的系数为，∴，即，解得.2．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】的二项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：A.3．（2023·北京·高考真题）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.【详解】对于，由二项展开式的通项得，令解得，则所求系数为，故选：D4．（2022·北京·高考真题）若，则（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用赋值法可求的值.【详解】令，则，令，则，故，故选：B.5．（2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________．【答案】【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数.【详解】由题意，在中，通项，当即时，，∴展开式中的系数为.6．（2026·天津·高考真题）展开式中的系数为__________．【答案】【分析】根据二项式定理得到展开式的通项公式即可求解.【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为，当时，，因此的系数为.7．（2026·上海·高考真题）的二项展开式中，的系数为____________.【答案】【分析】写出二项展开式的通项公式，令，解出，代入即可得到答案.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为.故答案为：.8．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．【答案】【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.【详解】令，则，又，故，令，则，令，则，故故答案为：.9．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________．【答案】【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可.【详解】展开式的通项公式为，当时，，即展开式中的系数为.故答案为：10．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为_________．【答案】【分析】利用通项公式求解可得.【详解】由通项公式，令，得，可得项的系数为.故答案为：.11．（2025·上海·高考真题）已知的展开式中常数项为20，则实数m的值为______．【答案】1【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，进而可求解.【详解】展开式的通项为，令解得，∴．∴．故答案为：112．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为_________．【答案】10【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得，所以的展开式项的系数为.故答案为：1013．（2024·上海·高考真题）展开式中的系数为______.【答案】15【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.【详解】展开式中令的项为，所以展开式中的系数为15.故答案为：1514．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______．【答案】5【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解.【详解】由题展开式通项公式为，且，设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.故答案为：5.15．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______．【答案】20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为的展开式的通项为，令，可得，所以常数项为.故答案为：20.16．（2023·上海·高考真题）已知，其中，若存在，使得成立，则的最大值是_____________．【答案】49【分析】根据二项式展开式的通项特征可得，即可根据为奇数求解.【详解】由题设，左边的通项公式为，；所以，由题设得，因为，要使得成立，则为奇数，即为奇数，且恒成立，则等价为，又是正奇数，故的最大值为49，故答案为：4917．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________．【答案】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.18．（2023·上海·高考真题）设，则________________．【答案】17【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和的系数即可.【详解】二项式展开式的通项为，当，即时