5.1.1直角三角形的性质和判定-教学教学课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册5.1.1直角三角形的性质和判定专项练习（全文1231字）##核心考点掌握直角三角形定义；直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；掌握直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；会利用性质进行角度计算、线段长度求解；能结合等腰三角形、全等三角形进行几何证明；分清性质与判定的逻辑关系。答题要求：直角三角形两锐角之和为$90^\circ$；斜边上中线这条性质只针对直角三角形斜边中线；判定：三角形两角互余$\Rightarrow$直角三角形；看清图形\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)区分斜边与直角边。##一、知识梳理1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。直角符号：$\text{Rt}\triangle$。2.性质1：直角三角形的两个锐角互余。几何语言：$\because\text{Rt}\triangleABC\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)\angleC=90^\circ$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\therefore\angleA+\angleB=90^\circ$。3.性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何语言：$\because\text{Rt}\triangleABC\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)\angleC=90^\circ$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$D$是$AB$中点\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\anBC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\therefore\triangleABC$是直角三角形。4.证明：延长$CD$到$E$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)使$\(DE=CD\)$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)连接$BE$。$\becauseAD=BD\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)\angleADC=\angleBDE\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)\(CD=\)DE$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\therefore\triangleADC\cong\triangleBDE(\text{SAS})$。$\thereforeAC=BE\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)\angleA=\angleDBE$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\thereforeAC\parallelBE$。$\therefore\angleACB+\angleCBE=180^\circ$。$\because\angleACB=90^\circ$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\therefore\angleCBE=90^\circ$。$\therefore\angleACB=\angleCBE$。又$AC=BE\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)BC=CB$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\therefore\triangleACB\cong\triangleEBC(\text{SAS})$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\thereforeAB=CE$。$\becauseCE=2CD$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\thereforeAB=2CD$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)即$\(CD=\)\dfrac12AB$。$\becauseAD=BD=\dfrac12AB$\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)$\therefore\(CD=\)AD=BD$。##六、易错点总结直角三角形的性质和判定四类高频丢分点。第一\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)乱用斜边中线性质\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)普通三角形也套用“中线等于对边一半”\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)忽略前提必须是直角三角形、且是斜边中线。第二\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)混淆互余、互补概念\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)两个锐角相加是$90^\circ$叫互余。第三\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)分不清直角三角形的直角边和斜边\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)斜边是直角对的最长边。第四\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)综合证明题\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)看到斜边中点不会第一时间想到斜边中线\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)不能快速得到等腰三角形。本节是直角三角形板块基础\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)后续勾股定理会频繁结合此知识点出题。做题固定流程：看到直角三角形\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)标记两锐角互余；看到斜边中点\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)立刻想到斜边中线等于斜边一半；判定直角三角形\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)优先证明两角互余。（全文：1231字）下一节：**5.1.2直角三角形全等的判定（HL）**\(\because\text{Rt}\triangleABC\(\angleA=42^\circ\(\angleA=30^\circ\(\thereforeAC=BE\(AC=BE，BC=CB\)\angleA=\angleDBE\)\angleB=60^\circ\)\angleB=48^\circ\)\angleC=90^\circ\)同样1231字专项练习吗？湘教版（新教材）数学八年级上册5.1.1直角三角形的性质和判定授课教师：.

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级：

8年级（

）班.

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间：.

2026/9/28

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章直角三角形学习目标1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点）2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点）

3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.02新知导入有一个角是直角的三角形是直角三角形。回顾什么是直角三角形吗？直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC“.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.03新知探究说一说在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=？解：如图，在Rt△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内角和定理可得：∠A+∠B=90°.思考：我们把两个角相加等于90°称为什么？03新知探究直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余.几何语言∵

∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.03新知探究议一议（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？（2）该逆命题是真命题吗？（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”03新知探究

03新知探究直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.几何语言∵

∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形.03新知探究证明一个三角形是直角三角形除了用直角三角形的定义和上面的判定方法外，还有以下方法：（1）在一个三角形中，两个内角之和等于第三个内角；（2）在三角形中，两个内角的差等于第三个内角.03新知探究画一画任务一：用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB的中点D，连接DC.任务二：用直尺分别测量斜边AB的长度以及斜边AB的中线DC的长度.任务三：以点D为圆心，DB为半径画圆弧.你有什么发现？DC与AB之间有怎样的数量关系？03新知探究

证明：如图，过点D作DE//BC，DF//AC，分别交AC，BC于点E，F，于是∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°，∠FDC=∠ECD，∠DFB=∠ACB=90°.03新知探究

03新知探究

B

返回返回2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B－3∠A＝10°，则∠B＝________.70°03新知探究直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

03新知探究提示(1)此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不适用三一角角(2)此性质可以用来说明线段的倍分关系.(3)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形.03新知探究

例1

04课堂练习【知识技能类作业】必做题：

BD04课堂练习3.如图，AB//CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D=50°，则∠A的度数为（）A．130° B．140° C．150° D．160°B新知应用基础巩固题2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边上的中线CD=2.5，则斜边AB的长是

.1.在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为(

)

A．35°

B．55°

C．65°

D．145°3.在△ABC中，已知∠A＝70°，∠B＝20°，那么这个三角形是(

)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．无法确定5BB直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.有两个角互余的三角形是直角三角形新知应用基础巩固题4.如图，∠A