26年山东淄博第七中学高二下册期中测试数学试卷【附答案】

/数学一、单选题1.已知函数在处可导，若，则（）A. B. C. D.2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（）A.40种 B.20种 C.10种 D.6种4.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是A.-15 B.85 C.-120 D.2745.已知函数f(x)=x⋅A.1－ln2 B.ln2－1 C.ln2 D.－ln26.已知，，=，则=（）A. B. C. D.7.已知，，，则（）A. B. C. D.8.若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多选题9.设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（）A.B.若，则C.D.10.甲参加游戏获得的积分的分布列为456780.10.30.3且，则（）A. B.C. D.11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.若函数存在两个极值，则实数的取值范围为B.当时，函数在上单调递增C.当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为D.当时，若，则的最小值为三、填空题12.已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．13.若，则的值被8除的余数为____________．14.已知对定义域内任意，都有成立，则的取值范围为____________．四、解答题15.已知在处取得极值.（1）求实数a的值；（2）求在上的最值.16.在(x（1）求展开式中所有项的系数和；（2）系数的绝对值最大的项是第几项？17.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设n次传球后球在甲手中的概率为．（1）求；（2）用表示，并证明为等比数列；（3）求n次传球后球在甲手中的概率．18.某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响.（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；（3）如果，且，证明：．

数学一、单选题1.已知函数在处可导，若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据导数的定义，即可求解.解答过程：.2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：A解析：思路：由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.解答过程：从图形中可以看出，在开区间内有个零点，，在处的两边左正、右负，取得极大值；在处的两边左负、右正，取值极小值；在处的两边都为正，没有极值；在处的两边左正、右负，取值极大值．因此函数在开区间内的极小值点只有一个．故选：A．3.某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（）A.40种 B.20种 C.10种 D.6种答案：C解析：解答过程：由题意可得社区2名､社区2名或者社区3名､社区1名，所以不同的分配方案数为10．4.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是A.-15 B.85 C.-120 D.274答案：A解析：思路：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题．本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成．解答过程：的展开式中，含项为五个括号中四个取还有一个括号取常数相乘得到，故含的项的系数为故选：A.5.已知函数，则曲线在点处的切线在y轴上的截距为（）A.1－ln2 B.ln2－1 C.ln2 D.－ln2答案：D解析：解答过程：因为f′x=2x故在点处的切线方程为：y+1=(1−ln2)(令，解得y=−ln故切线在y轴上的截距为．6.已知，，=，则=（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用条件概率公式和并事件的概率公式即可求解.解答过程：代入，，.7.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：构造函数，根据导数与单调性关系即可证出，再根据对数函数单调性得到，即可得证.解答过程：令，则，而，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．故在上恒成立，即，令，则，故，．综上，．8.若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：本题为构造函数类型题，根据已知条件结构特征可知该部分是某个函数的导函数变形所得，由问题中的不等式提示可得到该函数为，再结合函数的单调性情况即可进一步求解出答案.解答过程：因为，所以，，所以构造函数，则，所以在上单调递增，因为，所以，所以不等式，因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为，故选：D.二、多选题9.设，分别为随机事件的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有（）A.B.若，则C.D.答案：ABC解析：思路：根据全概率公式、条件概率公式等知识逐项计算判断即可.解答过程：对于A，由全概率公式得，，故A正确；对于B，，所以，所以，相互独立，那么，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，表示在发生的条件下发生的概率，表示在发生的条件下发生的概率，两者之和不一定为1，例如：设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”，为“掷骰子点数大于2”，则，，和为，D错误.10.甲参加游戏获得的积分的分布列为456780.10.30.3且，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：由，求出，再依次判断选项即可．解答过程：依题意得，，，则，A项正确，，故B项正确；，故C项错误；，故D项正确．故选：ABD11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.若函数存在两个极值，则实数的取值范围为B.当时，函数在上单调递增C.当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为D.当时，若，则的最小值为答案：BC解析：思路：对A选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B选项：结合导数讨论单调性即可得；对C选项：结合单调性，可转化为当时，有成立，求出最小值即可得；对D选项：采用同构法可确定，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.解答过程：对A选项：，若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点，令，则，令，则，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，又当时，恒成立，当时，，故当，函数有两个变号零点，即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为，故A错误；对B选项：当时，，，令，则，则当时，，当时，；故在上单调递减，在上单调递增，故，故函数在上单调递增；故B正确；对C选项：当时，，，令，则，则当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增，故，故在上单调递增，则存在，使不等式成立，等价于存在，使不等式成立，则当时，有成立，由当时，，且在上单调递增，故，即实数的最小值为，故C正确；对D选项：当时，由B、C可知，、均为定义域上的增函数，由，，故有，，由，则，即，故，又，故，令，则，令，则，则当时，，当时，；故在上单调递减，在上单调递增，即，故在上单调递增，故无最小值，即无最小值，故D错误.故选：BC.方法提示：思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三、填空题12.已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．答案：##解析：思路：根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解.解答过程：因为，由，得.故答案为：.13.若，则的值被8除的余数为____________．答案：1解析：思路：利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案．解答过程：令，得，因为，所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以，又，故被除余1．14.已知对定义域内任意，都有成立，则的取值范围为____________．答案：解析：思路：设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围.解答过程：因为，所以，又，则，即，令，则，所以函数在上单调递减，所以在上恒成立，所以，即，令函数，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，因为，所以，显然恒成立；当时，单调递增，恒成立等价于恒成立，两边取对数得，故，令函数，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，综上所述，正实数的取值范围为.四、解答题15.已知在处取得极值.（1）求实数a的值；（2）求在上的最值.答案：（1）1（2）最小值为，最大值为.解析：思路：（1）由求得，并验证即可；（2）由（1）求导，确定函数单调性，即可求解.（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，即，解得.当时，，令，解得或，当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以1符合题意；（2）由（1）可知，，且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，所以函数的最小值为，最大值为.16.在的展开式中，（1）求展开式中所有项的系数和；（2）系数的绝对值最大的项是第几项？答案：（1）1（2）第6项和第7项解析：思路：（1）利用赋值法计算得解.（2）求出二项式展开式的通项公式，再由已知列出不等式组求解即得.（1）在的展开式中，令，得展开式中所有项的系数和为(−1)8=1（2）由的展开式的通项为Tr+1=C设第r＋1项系数的绝对值最大，显然0＜r＜8，则2r整理得8!r!8−解得，而，则或，所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．17.甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人．设n次传球后球在甲手中的概率为．（1）求；（2）用表示，并证明为等比数列；（3）求n次传球后球在甲手中的概率．答案：（1）P1（2）Pn（3）解析：思路：（1）根据全概率公式计算即可.（2）根据全概率公式用表示，再根据等比数列的定义进行证明.（3）根据（2）中的结果，根据等比数列通项求解.（1）第1次由甲将球传出，则第一次传球后球一定不在甲手中，所以，第二次传球后，球在甲手中，可能为甲乙甲，甲丙甲，甲丁甲，所以P2（2）记＝“经过n次传球后，球在甲手中”，n＝1，2，3，…，由P=1−Pn∴Pn−14=−13（3）Pn−118.某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响.（1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？（2）若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.答案：（1）方案一（2）解析：思路：（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可；（2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解.（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则；则，，，所以，若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则；则，，，所以因为，故选择方案一比较合适（2）设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，则，，，所以，故，所以所求概率为.19.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）已知函数的图象与的图象关于直线对称，证明：当时，；（3）如果，且，证明：．答案：（1）的单调递增区间为，单调递减为；