2026年天津市北师大版高中数学选修第十册立体几何习题

2026年天津市北师大版高中数学选修第十册立体几何习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1/√3B.√3/2C.√11/3D.2√3/3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和α方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3/3，选项B正确。2.已知直线l：x=2+3t，y=1-4t，z=-1+5t与平面β：2x-y+3z-6=0的位置关系是（）A.平行B.相交于一点C.重合D.直线在平面上解析：直线方向向量（3，-4，5）与平面法向量（2，-1，3）的点积为3×2-4×1+5×3=15≠0，故直线与平面相交，选项B正确。3.过点P（1，0，2）且与直线l₁：x=1+t，y=2-t，z=3-2t垂直的平面方程为（）A.x-2y+z=1B.x+2y-z=3C.2x-y+z=0D.3x-y+z=2解析：直线l₁方向向量为（1，-1，-2），平面法向量与该向量平行，取（1，-1，-2），平面方程为1(x-1)-1(y-0)-2(z-2)=0，化简得x-y-2z+5=0，选项C正确。4.已知三棱锥A-BCD的顶点坐标分别为A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），D（1，1，1），则其体积为（）A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2解析：底面△BCD的面积S=1/2×1×1=1/2，高为A到平面BCD的距离，平面BCD方程为x+y-z=0，距离为|0+0-1|/√(1+1+1)=√3/3，体积V=1/3×1/2×√3/3=√3/18，选项A正确。5.空间四点A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，1，0），D（1，0，1）共面的充要条件是（）A.[AB]⊥[CD]B.[AC]∥[BD]C.[AD]⊥[BC]D.[AB]∥[AC]解析：四点共面等价于向量AB、AC、AD线性相关，计算行列式|123||210||101|=1(1×1-0×0)-2(2×1-3×0)+3(2×0-1×1)=-1≠0，故不共面，选项均错误。6.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角为θ，则cosθ=（）A.1/√15B.2/√14C.3/√10D.4/√13解析：cosθ=|n₁•n₂|/|n₁||n₂|=|1×2+1×(-1)+1×3|/√(1+1+1)×√(4+1+9)=6/√15，选项A正确。7.过点P（1，2，3）且与直线l：x=1+t，y=2-t，z=3-2t垂直相交的直线方程为（）A.x=1+t，y=2-2t，z=3-3tB.x=1-t，y=2+t，z=3+2tC.x=1，y=2，z=3D.x=2-t，y=1+t，z=4-2t解析：垂线方向向量为（-1，1，2），垂足Q满足1=1+t，2=2-t，3=3-2t，解得t=0，Q(1,2,3)，故方程为x=1-t，y=2+t，z=3+2t，选项B正确。8.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，则其侧面与底面的夹角为（）A.arctan(3/2)B.arctan(2/3)C.arctan(√2)D.arctan(√3/2)解析：侧面等腰三角形顶角为2α，底边中点E到顶点S的距离为√(3²+1²)=√10，tanα=3/√10，2α=2arctan(3/√10)，选项均错误。9.空间中三点A（1，2，3），B（2，1，0），C（1，0，1）构成一个锐角三角形的充要条件是（）A.AB²+BC²>AC²B.AB²+AC²>BC²C.BC²+AC²>AB²D.AB²+BC²=AC²解析：计算三边长度|AB|=√(1+1+9)=√11，|BC|=√(1+1+1)=√3，|AC|=√(0+4+4)=2√2，满足AB²>BC²+AC²，故为钝角三角形，选项均错误。10.已知直线l₁：x-y=0与l₂：x+y=0的公垂线方程为（）A.x=0，y=0B.x+y=0C.x-y=0D.x²+y²=1解析：两直线方向向量分别为（1，-1）和（1，1），公垂线方向向量为（0，0），方程为x=0，y=0，选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.过点A（1，2，3）且与平面α：2x-y+3z=1平行的平面方程为__________参考答案：2x-y+3z=7解析：平行平面法向量相同，代入A(1,2,3)得2×1-2+3×3=7，方程为2x-y+3z=7。2.已知直线l：x=1+t，y=2-t，z=3-2t与平面β：x+y+z=6相交于点P，则P的坐标为__________参考答案：（2，1，4）解析：代入平面方程得1+t+2-t+3-2t=6，解得t=0，P(1,2,3)。3.空间四点A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，1，0），D（1，1，1）的体积为__________参考答案：1/6解析：以A为原点，计算三棱锥ABD体积为1/3×1/2×1×√2=1/6，其余部分体积为1/6。4.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角为θ，则sinθ=__________参考答案：√14/15解析：cosθ=6/√15，sinθ=√(1-cos²θ)=√14/15。5.过点P（1，2，3）且与直线l：x=1+t，y=2-t，z=3-2t垂直的平面方程为__________参考答案：x-y-2z+5=0解析：方向向量为（1，-1，-2），平面方程为x-2y+z=1。6.正三棱锥S-ABC的底面边长为2，高为3，则其侧面积与底面积之比为__________参考答案：√3解析：底面积S₁=√3/4×2²=√3，侧面等腰三角形高为√(3²+1²)=√10，侧面积S₂=3×1/2×2×√10=√3。7.已知直线l₁：x-y=0与l₂：x+y=0的公垂线方程为__________参考答案：x=0，y=0解析：两直线方向向量分别为（1，-1）和（1，1），公垂线方向向量为（0，0）。8.空间中三点A（1，2，3），B（2，1，0），C（1，0，1）构成一个锐角三角形的充要条件是__________参考答案：AB²>BC²+AC²解析：计算三边长度|AB|=√11，|BC|=√3，|AC|=2√2，满足AB²>BC²+AC²。9.过点P（1，2，3）且与平面α：2x-y+3z=1平行的平面方程为__________参考答案：2x-y+3z=7解析：平行平面法向量相同，代入A(1,2,3)得2×1-2+3×3=7，方程为2x-y+3z=7。10.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，则其侧面与底面的夹角为__________参考答案：arctan(3/√2)解析：侧面等腰三角形顶角为2α，tanα=3/√2，α=arctan(3/√2)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.空间中三点A（1，2，3），B（2，1，0），C（1，0，1）共线的充要条件是AB=BC（×）解析：三点共线需满足向量AB与AC共线，即AB=λAC，但AB≠BC，故错误。2.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角为θ，则cosθ=6/√15（√）解析：cosθ=|1×2+1×(-1)+1×3|/√(1+1+1)×√(4+1+9)=6/√15，正确。3.过点P（1，2，3）且与直线l：x=1+t，y=2-t，z=3-2t垂直的平面方程为x-y-2z+5=0（√）解析：方向向量为（1，-1，-2），平面方程为x-2y+z=1，化简得x-y-2z+5=0，正确。4.正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，则其侧面与底面的夹角为arctan(3/2)（×）解析：侧面等腰三角形顶角为2α，tanα=3/√2，α=arctan(3/√2)，故错误。5.空间四点A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，1，0），D（1，1，1）共面的充要条件是[AB]⊥[CD]（×）解析：四点共面等价于向量AB、AC、AD线性相关，与垂直无关，故错误。6.已知直线l₁：x-y=0与l₂：x+y=0的公垂线方程为x+y=0（×）解析：公垂线方向向量为（0，0），方程为x=0，y=0，故错误。7.过点P（1，2，3）且与平面α：2x-y+3z=1平行的平面方程为2x-y+3z=7（√）解析：平行平面法向量相同，代入A(1,2,3)得2×1-2+3×3=7，方程为2x-y+3z=7，正确。8.空间中三点A（1，2，3），B（2，1，0），C（1，0，1）构成一个锐角三角形的充要条件是AB²>BC²+AC²（×）解析：计算三边长度|AB|=√11，|BC|=√3，|AC|=2√2，满足AB²>BC²+AC²，但该条件为钝角三角形判定，故错误。9.正三棱锥S-ABC的底面边长为2，高为3，则其侧面积与底面积之比为√3（√）解析：底面积S₁=√3/4×2²=√3，侧面等腰三角形高为√(3²+1²)=√10，侧面积S₂=3×1/2×2×√10=√3，故正确。10.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，则其侧面与底面的夹角为arctan(3/√2)（√）解析：侧面等腰三角形顶角为2α，tanα=3/√2，α=arctan(3/√2)，故正确。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+3z=0的夹角为θ，求cosθ的值。解：平面α法向量为n₁=(1，1，1)，平面β法向量为n₂=(2，-1，3)，cosθ=|n₁•n₂|/|n₁||n₂|=|1×2+1×(-1)+1×3|/√(1+1+1)×√(4+1+9)=6/√15。2.求过点P（1，2，3）且与直线l：x=1+t，y=2-t，z=3-2t垂直的平面方程。解：直线l方向向量为v=(1，-1，-2)，平面法向量与v平行，取n=(1，-1，-2)，平面方程为1(x-1)-1(y-2)-2(z-3)=0，化简得x-y-2z+5=0。3.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为2，高为3，求其侧面积与底面积之比。解：底面积S₁=√3/4×2²=√3，侧面等腰三角形高为√(3²+1²)=√10，侧面积S₂=3×1/2×2×√10=√3，故比值为S₂/S₁=√3/√3=1。4.判断空间四点A（0，0，0），B（1，2，3），C（2，1，0），D（1，1，1）是否共面。解：计算向量AB=(1，2，3)，AC=(2，1，0)，AD=(1，1，1)，行列式|123||210||101|=6≠0，故四点不共面。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为3，求其侧面与底面的夹角。解：底面中心O到顶点S的距离为√(3²+1²)=√10，侧面等腰三角形顶角为2α，tanα=3/√2，α=arctan(3/√2)，故侧面与底面的夹角为α=arctan(3/√2)。2.求过点P（1，2，3）且与平面α：2x-y+3z=1平行的平面方程。解：平行平面法向量相同，取n=(2，-1，3)，平面方程为2(x-1)-1(y-2)+3(z-3)=0，化简得2x-y+3z-7=0。3.已知直线l₁：x=1+t，y=2-t，z=3-2t与平面β：x+y+z=6相交于点P，求P的坐标。解：代入平面方程得1+t+2-t+3-2t=6，解得t=0，P(1,2,3)。4.求空间四点A（1，2，3），B（2，1，0），C（1，0，1），D（1，1，1）构成的四面体的体积。解：以A为原点，计算三棱锥ABD体积为1/3×1/2×1×√2=1/6，其余部分体积为1/6，故总积为1/6。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.B3.C4.A5.D6.D7.B8.C9.A10.A解析：1.点面距离公式；2.直线与平面位置关系；3.平面法向量；4.三棱锥体积公式；5.共面条件；6.平面夹角公式；7.直线与平面垂直相交；8.正四棱锥几何性质；9.三角形类型判定；10.公垂线方程。二、填空题1.2x-y+3z=72.(2，1，4)3.1/64.√14/155.x-y-2z+5=02.√37.x=0，y=08.AB²>BC²+AC²9.2x-y+3z=710.arctan(3/√2)