2025年广东省北师大版高中数学选修第二册第9章函数性质习题

2025年广东省北师大版高中数学选修第二册第9章函数性质习题一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间(-2,2)上的最大值是（）A.2√3B.4C.0D.-4解析：本题考查函数极值与最值的判断。首先求导f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=4，故最大值为4。选项A为f(-1)的值，选项C为f(0)的值，选项D为f(-2)的值，均不符合题意。2.若函数f(x)=x²+2ax+1在(-∞,1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.a≥-1B.a≤-1C.a∈(-∞,-2)∪(0,∞)D.a∈(-2,0)解析：函数f(x)的对称轴为x=-a，开口向上。在(-∞,1)上单调递减需满足-a≥1，即a≤-1。选项A为a≥-1，与题意矛盾；选项C包含a>0的情况，不符合单调性要求；选项D为-2<a<0，与对称轴位置矛盾。正确答案为B。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.3C.0D.-3解析：利用绝对值三角不等式|a|+|b|≥|a+b|，当且仅当ab≥0时取等号。f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为|(-1)-2|=3，当x∈[-2,1]时取到。选项A为|1-1|=0，选项C为|0-0|=0，选项D为|(-3)-1|=4，均不符合题意。4.函数f(x)=ln(x²-2x+3)在区间(0,3)上的值域是（）A.(0,ln3)B.(ln2,ln3)C.(ln3,+∞)D.(0,+∞)解析：令t=x²-2x+3=(x-1)²+2，在(0,3)上t∈(2,3]。故f(x)的值域为(ln2,ln3]。选项A为(0,ln3)，不包含ln2；选项C为(lnt,+∞)，与t的取值范围矛盾；选项D为(0,+∞)，不满足对数函数性质。正确答案为B。5.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充分必要条件是（）A.f(1-x)=f(1+x)B.f(1-x)=-f(1+x)C.f(1-x)=1-f(1+x)D.f(1-x)=0解析：图象关于点(a,b)对称需满足f(x)-b=-[f(2a-x)-b]，即f(x)+f(2a-x)=2b。本题中a=1,b=0，得f(x)+f(2-x)=0，即f(1-x)=-f(1+x)。选项A为f(1-x)=f(1+x)，与题意矛盾；选项C为f(1-x)=1-f(1+x)，与f(1-x)+f(1+x)=0矛盾；选项D为f(1-x)=0，仅当x=0时成立。正确答案为B。6.函数f(x)=x²e^(-x)的单调递增区间是（）A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(0,1)解析：f′(x)=2xe^(-x)-xe^(-x)=xe^(-x)(2-x)。令f′(x)>0得x∈(-∞,0)∪(2,+∞)，但需结合原函数定义域x∈R。选项A为(-∞,1)，包含x=0的减区间；选项B为(1,+∞)，包含x=2的减区间；选项C为(-∞,0)∪(2,+∞)，正确；选项D为(0,1)，包含x=0的减区间。正确答案为C。7.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x+π/4)的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.8π解析：f(x)=√2sin(x+π/4+π/4)=√2sin(x+π/2)=√2cosx，故最小正周期为2π。选项A为sinx的周期；选项C为tanx的周期；选项D为sin(2x)的周期，均不符合题意。正确答案为B。8.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0,2。计算f(-1)=4，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0。由零点判定定理，f(x)在(-1,0)和(0,2)各有一个零点，在(2,3)有一个零点，共3个零点。正确答案为C。9.函数f(x)=xlnx在区间(0,1)上的凹凸性是（）A.凹向上B.凹向下C.先凹上后凹下D.先凹下后凹上解析：f′(x)=lnx+1，f′′(x)=1/x>0，故在(0,1)上凹向上。选项B为f′′(x)<0的情况；选项C为f′′(x)先正后负的情况；选项D为f′′(x)先负后正的情况。正确答案为A。10.函数f(x)=|x³-2x|在(-2,2)上的拐点个数为（）A.0B.1C.2D.3解析：令g(x)=x³-2x，g′(x)=3x²-2，g′′(x)=6x。g(x)在x=±√(2/3)处变号，故f(x)在x=±√(2/3)处有拐点。选项A为f(x)无极值点的情况；选项B为f(x)只有一个极值点的情况；选项C为f(x)有两个极值点的情况。正确答案为C。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[0,5]上的最大值与最小值之差为________。解：f′(x)=3x²-12x+9=3(x-1)²，令f′(x)=0得x=1。计算f(0)=1，f(1)=5，f(5)=56，故最大值为56，最小值为1，差为55。参考答案：552.函数f(x)=x²lnx在x=1处的切线方程为________。解：f′(x)=2xlnx+x，f′(1)=1，f(1)=0，切线方程为y=x-1。参考答案：y=x-13.函数f(x)=e^(-x)sinx在区间(0,π)上的零点个数为________。解：令e^(-x)sinx=0得sinx=0，x∈(0,π)有解x=π。参考答案：14.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于点(1,0)对称的充要条件是________。解：由对称性定义f(1-x)=-f(1+x)。参考答案：f(1-x)=-f(1+x)5.函数f(x)=ln(1+x²)在区间(-1,1)上的凹凸性为________。解：f′(x)=2x/(1+x²)，f′′(x)=2(1-x²)/(1+x²)²。在(-1,1)上f′′(x)>0，故凹向上。参考答案：凹向上6.函数f(x)=x²e^(-x)在区间(-2,2)上的最大值是________。解：f′(x)=xe^(-x)(2-x)，令f′(x)=0得x=0,2。计算f(-2)=4e²，f(0)=0，f(2)=4e^(-2)，f(2)最大。参考答案：4e^(-2)7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点是________。解：当x∈[-2,1]时f(x)取最小值，最小值点为x=-2或x=1。参考答案：x=-2或x=18.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x+π/4)的周期为________。解：f(x)=√2sin(x+π/2)=√2cosx，周期为2π。参考答案：2π9.函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的零点分布为________。解：f′(x)=3x²-6x，零点分布为(-1,0)∪(0,2)∪(2,3)。参考答案：(-1,0)∪(0,2)∪(2,3)10.函数f(x)=xlnx在区间(0,1)上的单调性为________。解：f′(x)=lnx+1，在(0,1)上lnx<0，故f′(x)<1，单调递减。参考答案：单调递减三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）解：f′(x)=3x²≥0，故正确。2.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f′(c)必为0。（）解：极值点处导数为0或导数不存在，但题干未说明导数存在，故错误。3.函数f(x)=x²lnx在x=0处连续但不可导。（）解：lim(x→0+)x²lnx=0，故在x=0处连续；f′(0)=1，故可导，错误。4.函数f(x)=sinx在R上无界。（）解：|sinx|≤1，故有界，错误。5.函数f(x)=e^(-x)在R上单调递减。（）解：f′(x)=-e^(-x)<0，正确。6.函数f(x)=x³-3x+1的图象关于原点对称。（）解：f(-x)=-x³+3x-1≠-f(x)，错误。7.函数f(x)=ln(1+x²)在R上凹向上。（）解：f′′(x)=2(1-x²)/(1+x²)²，在(-∞,-1)∪(1,+∞)上f′′(x)<0，凹向下，错误。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在(-∞,+∞)上单调递增。（）解：分段函数在(-∞,-2)上递减，(-2,+∞)上递增，错误。9.函数f(x)=xlnx在(0,+∞)上单调递增。（）解：f′(x)=lnx+1，在(0,1)上递减，(1,+∞)上递增，错误。10.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x+π/4)是偶函数。（）解：f(-x)=sin(-x+π/4)+cos(-x+π/4)=sin(x-π/4)+cos(x-π/4)≠f(x)，错误。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.证明函数f(x)=x³-3x在(-∞,+∞)上存在唯一一个零点。证明：f(x)是奇函数，f(0)=0，故x=0是零点。f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-1)=-2，f(1)=-2，f(0)=0，故唯一零点为x=0。2.求函数f(x)=x²lnx在(0,+∞)上的凹凸区间。解：f′(x)=2xlnx+x，f′′(x)=2lnx+3。令f′′(x)=0得x=e^(-3/2)。当x∈(0,e^(-3/2))时f′′(x)<0，凹向下；当x∈(e^(-3/2),+∞)时f′′(x)>0，凹向上。3.求函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x+π/4)的最小正周期。解：f(x)=√2sin(x+π/2)=√2cosx，周期为2π。4.求函数f(x)=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的极值点。解：f′(x)=3x²-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0得x=0,2。计算f(-1)=4，f(0)=2，f(2)=-4，f(3)=0，故极大值点为x=0，极小值点为x=2。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.某工厂生产某种产品，成本函数为C(x)=x²+10x+100（万元），收入函数为R(x)=50x-0.01x²（万元），其中x为产量（单位：万件）。求该产品的边际利润函数，并确定产量为何值时利润最大。解：利润函数P(x)=R(x)-C(x)=-0.01x²+40x-100，边际利润函数为P′(x)=-0.02x+40。令P′(x)=0得x=2000。计算P′′(x)=-0.02<0，故x=2时利润最大。2.求函数f(x)=x³-6x²+9x+1在区间[-1,5]上的最大值与最小值。解：f′(x)=3x²-12x+9=3(x-1)²，令f′(x)=0得x=1。计算f(-1)=5，f(1)=5，f(5)=56，故最大值为56，最小值为5。3.求函数f(x)=x²lnx在区间(0,1)上的最大值与最小值。解：f′(x)=2xlnx+x，令f′(x)=0得x=e^(-1)。计算f(1/e)=1/e^2，f(0)=0，f(1)=0，故最大值为0，最小值为1/e^2。4.求函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x+π/4)在区间[0,π/2]上的最大值与最小值。解：f(x)=√2sin(x+π/2)=√2cosx，在[0,π/2]上单调递减。计算f(0)=√2，f(π/2)=0，故最大值为√2，最小值为0。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.B3.B4.B5.B6.C7.B8.C9.A10.C二、填空题1.552.y=x-13.14.f(1-x)=-f(1+x)5.凹向上2.4e^(-2)7.x=-2或x=18.2π9.(-1,0)∪(0,2)∪(2,3)3.单调递减三、判断题1.√2.×3.×4.×5.√6.×7.×8.×9.×10.×四、简答题1.证明：f(x)是奇函数，f(0)=0，故x=0是零点。f′(x)=3x²-3，令f′(x)=0得x=±1。f(-1)=-2，f(1)=-2，f(0)=0，故