2026数学高联试题及答案

2026数学高联试题及答案一、一试填空题（每小题8分，共64分）1.设集合A={x∣x答案：[解析：A=[2,32.已知sinα+cosα=答案：−解析：平方得1+2sinαcosα=125，所以sinαcosα=−1225。于是3.若复数z满足|z−2答案：5解析：z在复平面上表示以(2,0)为圆心、半径1的圆。|z+2|表示z到4.数列{an}满足a1=答案：1023解析：累加得an=15.已知x,y∈R，且答案：9解析：展开得x2+y2+4(6.在1,答案：4解析：总取法C102=45。和为偶数需同奇或同偶，取法为7.已知椭圆C:x2a2+y答案：3解析：设F1=(−c,0)，F2=(e化简得e4−8e2+48.由数字0,答案：30解析：分末位讨论。末位为0：4×3=12个；末位为2或4：首位有3种，十位有3种，共有二、一试解答题（共56分）9.（16分）已知函数f(x)=x2+答案：4解析：设$A=f(0)=b$，$B=f(1)=1+a+b$，则$a=B-A-1$，$b=A$。由题设可知$|A|\le1$，$|B|\le1$。目标为T若A≥0，则T若A<-若B−A−-若B−A−因此T≤4。取A=1,B=−1，即f故|a|+10.（20分）已知椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F，过F的直线l答案：k解析：椭圆C中a2=4，b2=1，故c=3，左焦点F(y将其代入椭圆方程，得4设交点纵坐标为y1|因为O,F在x轴上，且A,$$S_{\triangleOAB}=\frac{1}{2}\cdot|OF|\cdot|y_1-y_2|

=\frac{2\sqrt3|k|\sqrt{k^2+1}}{4k^2+1}.$$令S=2设t=12化简得4t2−4t因此直线l的斜率为k11.（20分）设数列{an}满足a1=2答案：证明成立解析：由a1=1及递推式可知a对递推式两边平方：a因为1aa累加得a故an>2另一方面，因为an≥1a累加得a故an综上，对任意正整数n，有2三、二试解答题（共180分）12.（40分）设a,b,1答案：证明成立解析：令x=1a，y=1cyc由柯西不等式，$$\sum_{\text{cyc}}\frac{x^2}{y+z}

\ge\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}

=\frac{x+y+z}{2}.$$又由均值不等式，x故cyc原不等式得证。13.（40分）在锐角△ABC中，O为外心，H为垂心，M为B答案：证明成立解析：延长AO交外接圆于D。因为A∠于是BD⟂A又因为H为垂心，所以CH⟂AB故四边形BH由于平行四边形的对角线互相平分，而M是BC的中点，所以M也是H又因为O是直径AD的中点，所以在△AHD中，O证毕。14.（50分）设p为奇素数，n为正整数。若p∣22答案：证明成立解析：由条件可得2两边平方得2设r=ordp若r∣2n，则22n≡1因此r不能整除2n。但r是2n+r由欧拉定理，r∣2即p15.（50分）平面上有20个点，任意三点不共线。用线段连接其中某些点对，得到的图不含三角形。求最多能连多少条线段，并给出构造。答案：100解析：先将20个点分成两组，每组10个点。只连接两组之间的所有点对，组内不连边。此时共连10条线段，且任意三点不可能构成三角形。下面证