2026年江苏省人教版高中数学选修第二册第7章综合测试卷

2026年江苏省人教版高中数学选修第二册第7章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第二册第7章中，若函数f(x)＝ln(x2－4x＋3)的定义域为D，则集合D与集合{1,2,3,4}的交集为多少？请结合第7章对函数定义域的求解方法进行分析。A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,3}2.根据第7章关于对数函数性质的内容，若a>1，函数f(x)＝a－ln(x－1)在区间(2，+∞)上的单调性如何？请说明理由，并联系7.2节对数函数的单调性判定方法。A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增3.在7.3节中，若方程ex－2x＝1在实数范围内有解，则解的个数是多少？需要运用第7章哪些具体定理或性质进行判断？A.0个B.1个C.2个D.无穷多个4.结合7.4节关于对数不等式的解法，解不等式ln(x－3)＋ln(x－1)＞ln2需要哪些关键步骤？请写出主要解题思路，并说明为何要结合7.4节中的定理。A.先通分再利用对数性质B.先平方再分离参数C.先换元再构造函数D.直接利用对数运算规则5.根据第7章对数函数的图像变换内容，若将函数f(x)＝ln(x－1)的图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为何？请结合7.1节中的图像变换规律进行推导。A.ln(x－3)＋1B.ln(x－1)＋1C.ln(x＋1)－1D.ln(x－3)－16.在7.5节中，若函数f(x)＝ln(x－a)与g(x)＝ln(x－b)的图像关于直线x＝2对称，则a与b的关系是什么？需要运用第7章哪些对称性定理？A.a＋b＝4B.a－b＝4C.a＋b＝2D.a－b＝27.根据第7章对数函数的导数应用，若函数f(x)＝xlnx在x＝1处的切线方程为y＝kx－1，则k的值是多少？需要运用7.6节哪些具体结论？A.1B.2C.0D.－18.在7.7节中，若函数f(x)＝ln(x2－2x＋1)的极值点为x＝1，则该极值点是否为最值点？需要结合第7章哪些最值判定定理进行分析。A.是最大值点B.是最小值点C.既不是最大值也不是最小值D.无法确定9.根据第7章对数函数的积分应用，∫1ln(x－1)dx的值为多少？需要运用7.8节哪些积分技巧？A.ln|x－1|＋CB.(x－1)ln(x－1)－x＋CC.1/(x－1)ln(x－1)＋CD.无法计算10.在7.9节中，若数列{an}满足an＝ln(n＋1)－lnn，则该数列的前n项和Sn的极限为多少？需要运用第7章哪些数列极限定理？A.1B.eC.0D.不存在二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.根据第7章对数函数的图像性质，若函数f(x)＝ln(2x－1)的图像过点(2，y)，则y＝________，这一结论需要运用7.1节中的哪些性质？2.在7.3节中，若函数f(x)＝ex－2x与g(x)＝ex＋2x在x＝0处比较大小，则f(0)________g(0)（填“＞”“＜”或“＝”），这一结论需要运用7.3节中的哪些比较方法？3.根据第7章对数不等式的解法，解不等式ln(x－1)－ln(x－2)＞0的步骤包括________、________和________，这些步骤需要结合7.4节中的哪些定理？4.在7.5节中，若函数f(x)＝ln(x－a)的图像关于y轴对称，则a的值为________，这一结论需要运用7.5节中的哪些对称性定理？5.根据第7章对数函数的导数应用，函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的二阶导数值f''(0)＝________，这一结论需要运用7.6节中的哪些求导技巧？6.在7.7节中，若函数f(x)＝ln(x2－3x＋2)的拐点为x＝1，则该拐点的纵坐标为________，这一结论需要运用7.7节中的哪些曲线判定方法？7.根据第7章对数函数的积分应用，∫exlnxdx的求解过程中需要用到分部积分法，其中u＝________，dv＝________，这一结论需要运用7.8节中的哪些积分技巧？8.在7.9节中，若数列{an}满足an＝ln(n＋1)－lnn，则该数列的通项公式an＝________，这一结论需要运用7.9节中的哪些数列求和技巧？9.根据第7章对数函数的图像变换，将函数f(x)＝lnx的图像先关于x轴对称，再向右平移1个单位，所得函数的解析式为________，这一结论需要运用7.1节中的哪些变换规律？10.在7.10节中，若级数∑n=1∞ln(1＋1/n)发散，则该级数的发散类型为________，这一结论需要运用7.10节中的哪些级数判定方法？三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.根据第7章对数函数的定义，若a>1，则函数f(x)＝ln(ax)的图像一定过定点(1，0)，这一结论是否正确？需要结合7.1节中的哪些性质进行验证。2.在7.3节中，若函数f(x)＝ex与g(x)＝2x在x趋于正无穷时比较极限，则lim(x→+∞)f(x)/g(x)＝1，这一结论是否正确？需要结合7.3节中的哪些极限性质进行验证。3.根据第7章对数不等式的解法，解不等式ln(x－1)＋ln(x－2)＞ln3的步骤包括先通分再利用对数性质，这一说法是否正确？需要结合7.4节中的哪些定理进行验证。4.在7.5节中，若函数f(x)＝ln(x－a)的图像关于直线x＝1对称，则a的值为2，这一结论是否正确？需要结合7.5节中的哪些对称性定理进行验证。5.根据第7章对数函数的导数应用，函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为y＝x，这一结论是否正确？需要结合7.6节中的哪些求导技巧进行验证。6.在7.7节中，若函数f(x)＝ln(x2－2x＋1)的极值点为x＝1，则该极值点是最小值点，这一结论是否正确？需要结合7.7节中的哪些最值判定定理进行验证。7.根据第7章对数函数的积分应用，∫1ln(x－1)dx＝ln|x－1|＋C，这一结论是否正确？需要结合7.8节中的哪些积分技巧进行验证。8.在7.9节中，若数列{an}满足an＝ln(n＋1)－lnn，则该数列的前n项和Sn趋于无穷大，这一结论是否正确？需要结合7.9节中的哪些数列极限定理进行验证。9.根据第7章对数函数的图像变换，将函数f(x)＝lnx的图像先关于y轴对称，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为ln(－x)＋1，这一结论是否正确？需要结合7.1节中的哪些变换规律进行验证。10.在7.10节中，若级数∑n=1∞ln(1＋1/n)收敛，则该级数的收敛类型为调和级数，这一结论是否正确？需要结合7.10节中的哪些级数判定方法进行验证。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.根据第7章对数函数的定义，请简述对数函数f(x)＝logax（a>0，a≠1）的图像特征，并说明这些特征如何影响函数的单调性和定义域。2.在7.3节中，请简述如何利用导数判断函数f(x)＝ex－2x的单调性，并说明该函数在实数范围内是否存在极值点。3.根据第7章对数不等式的解法，请简述解不等式ln(x－1)－ln(x－2)＞0的步骤，并说明每一步需要运用哪些具体定理。4.在7.5节中，请简述如何判断函数f(x)＝ln(x－a)的图像关于直线x＝c对称，并举例说明该对称性在实际解题中的应用。5.根据第7章对数函数的导数应用，请简述如何利用导数求函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的切线方程，并说明该切线方程的几何意义。6.在7.7节中，请简述如何判断函数f(x)＝ln(x2－2x＋1)的极值点，并说明该极值点是否为最值点。7.根据第7章对数函数的积分应用，请简述如何利用分部积分法计算∫exlnxdx，并说明该积分过程中需要注意哪些技巧。8.在7.9节中，请简述如何求数列{an}＝ln(n＋1)－lnn的前n项和Sn，并说明该数列的极限性质。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)＝10ln(x＋1)＋5（x>0），其中x为产量。请根据第7章对数函数的单调性，分析当产量x增加时，成本函数的变化趋势，并说明该函数是否存在最小值点。2.在7.4节中，若函数f(x)＝ln(x－1)－ln(x－2)与g(x)＝ln3在区间(2，+∞)上比较大小，请根据对数不等式的解法，说明f(x)与g(x)的大小关系，并给出详细解题步骤。3.根据第7章对数函数的图像变换，请将函数f(x)＝ln(x－1)的图像先关于x轴对称，再向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为何？请结合7.1节中的图像变换规律进行推导，并说明该变换的几何意义。4.在7.6节中，若函数f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的切线与直线y＝2x＋1平行，请根据对数函数的导数应用，求该切线方程，并说明该切线的几何意义。5.根据第7章对数函数的积分应用，请计算∫1ln(x－1)dx，并说明该积分过程中需要注意哪些技巧，以及该积分的实际应用场景。6.在7.9节中，若数列{an}满足an＝ln(n＋1)－lnn，请求该数列的前n项和Sn，并说明该数列的极限性质，以及该极限在实际问题中的意义。7.根据第7章对数函数的导数应用，请求函数f(x)＝ln(x2－2x＋1)的极值点，并说明该极值点是否为最值点，以及该极值点的几何意义。8.在7.10节中，若级数∑n=1∞ln(1＋1/n)发散，请根据级数判定方法，说明该级数的发散类型，并给出详细解题步骤。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：根据7.1节对数函数的定义域求解方法，需满足x2－4x＋3>0，解得x∈(－∞，1)∪(3，+∞)，与{1,2,3,4}的交集为{3}，故选D。2.A解析：根据7.2节对数函数的单调性判定方法，当a>1时，ln(x－1)在(2，+∞)上单调递增，再结合指数函数的单调性，f(x)＝a－ln(x－1)在(2，+∞)上单调递增，故选A。3.B解析：根据7.3节关于方程ex－2x＝1的解法，需判断f(x)＝ex－2x与g(x)＝1的交点个数。由f'(x)＝ex－2>0，f(x)在R上单调递增，且f(0)＝1，故有唯一解，故选B。4.C解析：根据7.4节关于对数不等式的解法，需先通分得ln[(x－3)(x－1)]＞ln2，再换元t＝(x－2)，构造函数g(t)＝lnt，由g(t)在(0，+∞)上单调递增，得t>√2，即x－2>√2，故选C。5.A解析：根据7.1节中的图像变换规律，先向左平移2个单位得ln(x－1)，再向上平移1个单位得ln(x－1)＋1，故选A。6.A解析：根据7.5节关于对称性定理，若f(x)＝ln(x－a)与g(x)＝ln(x－b)关于x＝2对称，则2－a＝b－2，即a＋b＝4，故选A。7.B解析：根据7.6节关于导数应用，f'(x)＝1/x，f'(1)＝1，f''(x)＝－1/x2，f''(1)＝－1，切线方程为y＝f'(1)(x－1)＋f(1)＝x－1，故k＝2，故选B。8.C解析：根据7.7节关于最值判定定理，f(x)在x＝1处有极值点，但由f''(1)＝－2<0，该极值点为最大值点，故选C。9.B解析：根据7.8节关于积分技巧，∫1ln(x－1)dx＝(x－1)ln(x－1)－x+C，故选B。10.A解析：根据7.9节关于数列极限定理，an＝ln(n＋1)－lnn＝ln(1＋1/n)，Sn＝ln2－ln1＋ln3－ln2＋…＋ln(n＋1)－lnn＝ln(n＋1)，lim(n→∞)Sn＝ln(∞)＝1，故选A。二、填空题1.1解析：根据7.1节中的图像性质，f(x)＝ln(2x－1)过点(2，y)，则y＝ln(2×2－1)＝ln3，故填1。2.＜解析：根据7.3节中的比较方法，f(0)＝1，g(0)＝1，但f'(x)＝e^x－2，g'(x)＝e^x＋2，f'(0)＝－1，g'(0)＝3，故f(0)＜g(0)，故填＜。3.通分、利用对数性质、解不等式解析：根据7.4节中的定理，需先通分得ln[(x－1)/(x－2)]＞ln3，再利用对数性质得(x－1)/(x－2)＞3，最后解不等式得x∈(－∞，1)∪(5/2，+∞)，故填通分、利用对数性质、解不等式。4.1解析：根据7.5节中的对称性定理，若f(x)＝ln(x－a)关于y轴对称，则a＝0，故填1。5.1解析：根据7.6节中的求导技巧，f'(x)＝1/(x＋1)，f''(x)＝－1/(x＋1)^2，f''(0)＝－1，故填1。6.0解析：根据7.7节中的曲线判定方法，f(x)在x＝1处有拐点，且f''(1)＝0，f'''(1)≠0，拐点纵坐标为f(1)＝ln1－ln1＝0，故填0。7.xlnx，e^x解析：根据7.8节中的积分技巧，∫exlnxdx需用分部积分法，设u＝lnx，dv＝e^xdx，则du＝1/xdx，v＝e^x，故填xlnx，e^x。8.1－1/n解析：根据7.9节中的数列求和技巧，an＝ln(n＋1)－lnn＝ln(1＋1/n)，Sn＝ln2－ln1＋ln3－ln2＋…＋ln(n＋1)－lnn＝ln(n＋1)，故an＝1－1/n，故填1－1/n。9.lnx＋1解析：根据7.1节中的图像变换规律，先关于x轴对称得－lnx，再向右平移1个单位得ln(x－1)，故填lnx＋1。10.调和级数解析：根据7.10节中的级数判定方法，∑n=1∞ln(1＋1/n)≈∑n=1∞1/n，故为调和级数，故填调和级数。三、判断题1.正确解析：根据7.1节中的图像性质，f(x)＝ln(ax)过定点(1，0)，因为ln(a×1)＝lna＝0，故正确。2.正确解析：根据7.3节中的极限性质，lim(x→+∞)f(x)/g(x)＝lim(x→+∞)e^x/2x＝lim(x→+∞)e^x/2＝1，故正确。3.正确解析：根据7.4节中的定理，解不等式ln(x－1)－ln(x－2)＞0需先通分得ln[(x－1)/(x－2)]＞0，再利用对数性质得(x－1)/(x－2)＞1，最后解不等式得x∈(－∞，1)∪(3，+∞)，故正确。4.错误解析：根据7.5节中的对称性定理，若f(x)＝ln(x－a)关于直线x＝1对称，则1－a＝1，即a＝0，故错误。5.正确解析：根据7.6节中的求导技巧，f'(x)＝1/(x＋1)，f'(0)＝1，f(0)＝ln1＝0，切线方程为y＝f'(0)(x－0)＋f(0)＝x，故正确。6.错误解析：根据7.7节中的最值判定定理，f(x)在x＝1处有极值点，但由f''(1)＝－2<0，该极值点为最大值点，故错误。7.错误解析：根据7.8节中的积分技巧，∫1ln(x－1)dx＝(x－1)ln(x－1)－x+C，故错误。8.正确解析：根据7.9节中的数列极限定理，an＝ln(n＋1)－lnn＝ln(1＋1/n)，Sn＝ln2－ln1＋ln3－ln2＋…＋ln(n＋1)－lnn＝ln(n＋1)，lim(n→∞)Sn＝ln(∞)＝1，故正确。9.错误解析：根据7.1节中的图像变换规律，将f(x)＝lnx先关于x轴对称得－lnx，再向右平移2个单位得－ln(x－2)，再向上平移1个单位得－ln(x－2)＋1，故错误。10.错误解析：根据7.10节中的级数判定方法，∑n=1∞ln(1＋1/n)≈∑n=1∞1/n，故为调和级数，发散，故错误。四、简答题1.对数函数f(x)＝logax（a>0，a≠1）的图像特征包括：过定点(1，0)，当a>1时单调递增，当0<a<1时单调递减，图像关于直线x＝1对称。这些特征影响函数的单调性和定义域，当a>1时，定义域为(0，+∞)，当0<a<1时，定义域仍为(0，+∞)，但单调性相反。2.根据7.3节，f(x)＝ex－2x的单调性需通过f'(x)＝ex－2判断。由f'(x)>0得x>ln2，f'(x)<0得x<ln2，故f(x)在(ln2，+∞)上单调递增，在(－∞，ln2)上单调递减。由f''(x)＝ex>0，f(x)无极值点。3.解不等式ln(x－1)－ln(x－2)＞0的步骤：①通分得ln[(x－1)/(x－2)]＞0；②利用对数性质得(x－1)/(x－2)＞1；③解不等式得x∈(－∞，1)∪(3，+∞)。这些步骤需结合7.4节中的对数性质和不等式解法。4.判断f(x)＝ln(x－a)关于直线x＝c对称的方法：①设f(x)＝ln(x－a)与g(x)＝ln(x－b)关于x＝c对称；②由对称性得c－a＝b－c，即a＋b＝2c；③若c＝1，则a＋b＝2，故a＝2－b。5.求f(x)＝ln(x＋1)在x＝0处的切线方程：①f'(x)＝1/(x＋1)，f'(0)＝1；②f(0)＝ln1＝0；③切线方程为y＝f'(0)(x－0)＋f(0)＝x，该切线的几何意义是函数在x＝0处的局部线性近似。6.判断f(x)＝ln(x2－2x＋1)的极值点：①f(x)＝ln[(x－1)2]，定义域为R；②f'(x)＝2(x－1)/[(x－1)2]＝2/(x－1)，f'(1)不存在；③由f'(x)的符号变化可知x＝1处有极值点，但由f''(1)＝－2<0，该极值点为最大值点。7.计算∫exlnxdx：①设u＝lnx，dv＝e^xdx，则du＝1/xdx，v＝e^x；②由分部积分法得∫exlnxdx＝xelnx－∫e^xdx＝xelnx－e^x+C，该积分过程需注意选择u和dv的顺序。8.求级数∑n=1∞ln(1＋1/n)的发散类型：①展开ln(1＋1/n)≈1/n－1/(2n^2)＋…，与1/n同阶；②由调和级数发散，可知该级数发散；③该级数的发散类型为调和级数，需结合7.10节中的级数判定方法。五、应用题1.分析成本函数C(x)＝10ln(x＋1)＋5的变化趋势：①C'(x)＝10/x(x＋1)，C'(x)>0，故C(x)在(0，+∞)上单调递增；②C''(x)＝－10[(x＋1)－x/x(x＋1)^2]＝－10/(x(x＋1)^2)<0，故C(x)为凸函数；③由C(0)＝5，可知C(x)无最小值点，但存在