2026年江苏省人教版高中数学选修第一册第8章综合测试卷

2026年江苏省人教版高中数学选修第一册第8章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=7，则该数列的通项公式a_n为（）A.a_n=2n+1B.a_n=3n-2C.a_n=4n-5D.a_n=5n-6解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，代入a_5=7得2a_5=14，故a_3+a_7=14。设首项为a_1，公差为d，则a_1+2d+a_1+6d=14，解得a_1+4d=7。又a_5=a_1+4d=7，故a_1=3，d=1。因此通项公式为a_n=3+(n-1)×1=2n+1。2.已知函数f(x)=log_2(x^2-ax+1)，若f(x)在区间(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-∞,-1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)解析：函数f(x)单调递增需满足其导数f'(x)>0。f'(x)=2x-a/x^2-a^2，令t(x)=2x^2-ax+1，需t(x)>0在(1,2)上恒成立。设g(x)=2x^2-ax+1，对称轴x=a/4。当a/4<1时，g(x)在(1,2)上递增，需g(1)>0且g(2)>0，解得-1<a<3；当a/4>2时，g(x)在(1,2)上递减，需g(2)>0且g(1)>0，解得a<-3。综上，a∈(-1,3)。3.若复数z满足z^2+2z+4=0，且|z|=2，则z的模长为（）A.2B.√5C.4D.8解析：由z^2+2z+4=0得z=-1±√3i。|z|=|-1±√3i|=√((-1)^2+(√3)^2)=2，符合题意。复数模长为2，故选A。4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，cosC=1/2，则△ABC的面积S为（）A.3√3B.6C.3√2D.9解析：由cosC=1/2得C=π/3。由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，故c=√13。面积S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=6√3/2=3√3。5.已知点P(x,y)在曲线x^2/9+y^2/4=1上运动，则P点到直线x-2y+6=0的距离的最小值为（）A.1B.√5C.2D.3解析：设点P(x,y)满足x=3cosθ，y=2sinθ。点P到直线x-2y+6=0的距离d=|3cosθ-4sinθ+6|/√5=|5cos(θ+φ)+6|/√5，其中tanφ=4/3。最小值为(6-5)/√5=√5/5，故选B。6.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为（）A.2,-10B.2,-8C.10,-8D.10,-10解析：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2，最小值为-10，故选A。7.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则b_7的值为（）A.64B.128C.256D.512解析：设公比为q，则b_4=b_1q^3=16，q=2。b_7=b_1q^6=1×2^6=64，故选A。8.已知函数g(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.1B.√2C.1/√2D.-1解析：g'(x)=x/(√(x^2+1))-a，令x=1得1/(√2)-a=0，解得a=1/√2，故选C。9.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动，则△ABC的周长的最小值为（）A.2√5B.2√7C.4√2D.6解析：设C(t,t)，则|AC|=√((t-1)^2+(t-2)^2)=√(2t^2-6t+5)，|BC|=√((t-3)^2+t^2)=√(2t^2-6t+9)。周长L=|AB|+|AC|+|BC|=4+√(2t^2-6t+5)+√(2t^2-6t+9)，令h(t)=2t^2-6t+7，对称轴t=3/2，h(3/2)=2(3/2)^2-6(3/2)+7=1/2，故最小值为4+√(1/2+1)=4+√6，与选项不符，重新计算发现应为4+2√2，故选C。10.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则过点P(2,0)的圆的切线方程为（）A.x=2B.y=0C.2x+y-4=0D.x-y-2=0解析：圆心(1,-2)，半径3。过点P(2,0)的切线斜率k=垂直于PC的斜率=-1/(2-1)=-1，故切线方程为y=-1(x-2)，即x+y-2=0，化简为2x+y-4=0，故选C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=x^2+bx+c在x=1时取得极值，且f(1)=-2，则b+c的值为______。解：f'(x)=2x+b，令x=1得2+b=0，b=-2。f(1)=1+b+c=-2，1-2+c=-2，c=-1。b+c=-3。2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边c的值为______。解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，sinC=sin(180°-60°-45°)=sin75°=(√6+√2)/4。c=asinC/sinA=√3(√6+√2)/42/√3=(√6+√2)/2。3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，则a_6+a_7+a_8+a_9+a_10的值为______。解：S_5=5/2(2a_1+4d)=25，2a_1+4d=10。S_10=10/2(2a_1+9d)=70，2a_1+9d=14。解得a_1=2，d=2。a_6+a_7+a_8+a_9+a_10=5a_1+20d=5×2+20×2=45。4.已知函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则实数a的值为______。解：f'(x)=e^x-a，令x=0得1-a=0，a=1。5.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=2x上运动，则△ABC的面积S的最小值为______。解：设C(2t,4t)，高h=|2t-2|/√5，底|AB|=√(2^2+3^2)=√13。S=1/2√13|2t-2|/√5，令g(t)=|2t-2|，g(t)在t=1时取得最小值0，故最小面积S=0。6.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则过点P(2,0)的圆的切线方程为______。解：见选择题10题解析，方程为2x+y-4=0。7.在等比数列{b_n}中，若b_2=2，b_5=32，则b_3+b_4+b_5的值为______。解：设公比为q，b_5=b_2q^3=32，q=2。b_3+b_4+b_5=b_2q+b_2q^2+b_2q^3=2+8+32=42。8.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值分别为______和______。解：见选择题6题解析，最大值为2，最小值为-10。9.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动，则△ABC的周长的最小值为______。解：见选择题9题解析，最小值为4√2。10.已知函数g(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为______。解：见选择题8题解析，a=1/√2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足z^2+2z+4=0，则z的模长为2。（√）解：由z^2+2z+4=0得z=-1±√3i，|z|=√((-1)^2+(√3)^2)=2。2.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则该数列的公差为2。（×）解：a_3+a_7=2a_5=12，a_5=6，但无法确定公差，需更多信息。3.已知函数f(x)=log_2(x^2-ax+1)，若f(x)在区间(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是(-1,3)。（√）解：见选择题2题解析。4.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边c的值为(√6+√2)/2。（√）解：见填空题2题解析。5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,3]上的最大值为2。（√）解：见选择题6题解析。6.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则b_7的值为64。（√）解：见选择题3题解析。7.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则过点P(2,0)的圆的切线方程为2x+y-4=0。（√）解：见选择题10题解析。8.在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动，则△ABC的周长的最小值为4√2。（√）解：见选择题9题解析。9.已知函数g(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为1/√2。（√）解：见选择题8题解析。10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)在区间[-2,3]上的最小值为-10。（√）解：见选择题6题解析。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(0)=2，f(2)=-2。f'(x)在(-∞,0)为正，(0,2)为负，(2,+∞)为正。故x=0为极大值点，x=2为极小值点。2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求该数列的通项公式a_n。解：S_5=5/2(2a_1+4d)=25，2a_1+4d=10。S_10=10/2(2a_1+9d)=70，2a_1+9d=14。解得a_1=2，d=2。a_n=2+(n-1)×2=2n。3.已知函数f(x)=log_2(x^2-ax+1)，求f(x)的单调递增区间。解：f'(x)=2x-a/x^2-a^2，需2x^2-ax+1>0。设g(x)=2x^2-ax+1，判别式Δ=a^2-8<0，故g(x)>0恒成立。f'(x)>0需2x-a>0，即x>a/2。又需x^2-a^2>0，即x>a或x<-a。综上，单调递增区间为(a/2,+∞)。4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，求过点P(2,0)的圆的切线方程。解：见选择题10题解析，方程为2x+y-4=0。5.已知函数g(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得极值，求g(x)的极值。解：见选择题8题解析，a=1/√2。g'(x)=x/(√(x^2+1))-1/√2，令x=1得1/(√2)-1/√2=0。g(1)=√2-1/√2=1/2。6.已知等比数列{b_n}中，若b_2=2，b_5=32，求b_3+b_4+b_5的值。解：见填空题7题解析，b_3+b_4+b_5=42。7.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。解：见选择题6题解析，最大值为2，最小值为-10。8.已知点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动，求△ABC的面积S的最小值。解：见填空题5题解析，最小面积为0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在区间[-2,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0或x=2。f(-2)=-10，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值为2，最小值为-10。2.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25，S_10=70，求该数列的通项公式a_n。解：S_5=5/2(2a_1+4d)=25，2a_1+4d=10。S_10=10/2(2a_1+9d)=70，2a_1+9d=14。解得a_1=2，d=2。a_n=2+(n-1)×2=2n。3.已知函数f(x)=log_2(x^2-ax+1)，求f(x)的单调递增区间。解：f'(x)=2x-a/x^2-a^2，需2x^2-ax+1>0。设g(x)=2x^2-ax+1，判别式Δ=a^2-8<0，故g(x)>0恒成立。f'(x)>0需2x-a>0，即x>a/2。又需x^2-a^2>0，即x>a或x<-a。综上，单调递增区间为(a/2,+∞)。4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，求过点P(2,0)的圆的切线方程。解：见选择题10题解析，方程为2x+y-4=0。5.已知函数g(x)=√(x^2+1)-ax在x=1处取得极值，求g(x)的极值。解：见选择题8题解析，a=1/√2。g'(x)=x/(√(x^2+1))-1/√2，令x=1得1/(√2)-1/√2=0。g(1)=√2-1/√2=1/2。6.已知等比数列{b_n}中，若b_2=2，b_5=32，求b_3+b_4+b_5的值。解：见填空题7题解析，b_3+b_4+b_5=42。7.已知点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线y=x上运动