高中一年级数学函数零点与二分法近似求解教学设计

高中一年级数学函数零点与二分法近似求解教学设计一、教学内容与课时定位本课选自人教A版高中数学必修第一册第四章第五节第二课时，课题为用二分法求方程的近似解。本课是在学生学习了函数的零点与方程的解、函数零点存在定理之后，对零点求法的一次深化。前一课时解决了零点有无的问题，本课则回答零点在哪里、如何找到它的问题，由定性判断走向定量求解，思维要求明显递进。本课建议用一至两课时完成。第一课时完成二分法原理的生成、步骤的规范归纳与第一道例题的完整求解；若安排两课时，第二课时可用于变式练习、误差分析以及在计算器或信息技术环境下的拓展操作。二、教学目标知识与技能目标方面，学生能够说出二分法的基本思想，理解其适用条件是函数图象在零点所在区间上连续且区间端点函数值异号；学生能够按照取中点、算函数值、缩小区间、判断精度的流程，规范地求出函数在指定区间内零点的近似值，并能用表格形式完整记录每一步的区间变化。过程与方法目标方面，学生经历从具体数字游戏到抽象算法的建模过程，体会逼近思想、区间套思想和逐步求精的思想方法，感受算法化思维在解决问题中的价值，为后续学习程序框图和算法初步埋下伏笔。情感态度与价值观目标方面，学生体会到数学家面对无法求出精确解的方程时迎难而上的智慧，理解近似解不等于随意解，体会精确度这一概念背后严谨的科学态度。三、教学重难点教学重点是二分法的基本原理和求零点近似值的操作步骤，要求每一位学生都能独立完成一道完整题目。教学难点有三个。其一，对精确度概念的理解，学生容易把精确度为0.1误解为近似值与准确值之差小于0.1，而实际上二分法保证的是区间长度小于精确度；其二，何时停止计算的判断，尤其是当区间端点已经精确到所要求的小数位时如何取舍近似值；其三，逼近思想的数学化表达，即为什么不断取中点就一定能无限接近零点。四、学情分析高一学生刚接触函数零点存在定理，对连续不断的曲线必有零点这一直观性质基本接受，但运用还不够熟练。学生在初中已经熟悉中点概念和正负数运算，具备学习二分法的运算基础。学生可能遇到的困难集中在三点：一是缺乏算法意识，不习惯用固定的、机械的步骤去解决问题，总想一步到位；二是表格记录不规范，容易算错中点或抄错函数值；三是对精确度的理解停留在生活语言层面，需要教师用数轴和具体数字帮助其建立严格概念。五、教学方法与媒体准备采用问题驱动、合作探究与讲练结合相结合的方法。教师准备多媒体课件，动态演示区间不断缩小的过程；为各小组准备计算器和印好的探究记录表。教学全程以问题链推进，让学生在解决问题的过程中自己长出二分法。六、教学过程（一）情境导入：从游戏走向问题上课伊始，教师组织一个猜数游戏。教师心里想了一个1到100之间的整数，请学生猜，教师只回答偏大或偏小。第一轮让学生自由猜，往往要八次九次才能猜中；随后教师引导，如果每次都猜剩下范围的中间那个数，会有什么效果。学生现场试验，发现最多七次就能锁定答案。教师追问：刚才的游戏里隐含了一种什么样的策略。学生归纳出每次排除一半、范围缩小一半的表述。教师顺势板书：取中点，缩半排除。紧接着教师抛出新问题：方程lnx＋2x－6＝0有解吗。学生利用函数零点存在定理，设f(x)＝lnx＋2x－6，计算f(2)与f(3)，发现f(2)＝ln2－2约等于－1.307，小于0，f(3)＝ln3约等于1.099，大于0。又因为函数在(2，3)上连续，所以该方程在区间(2，3)上有解。教师追问：那么这个解到底是多少呢。学生尝试用代入法解方程，发现此方程无法用已有的代数方法求出精确解。认知冲突就此形成，本课课题自然呈现：用二分法求方程的近似解。（二）探究新知：二分法思想的建构教师引导学生把猜数游戏的策略迁移到求零点问题上。思路一：零点在(2，3)内，取中点2.5，用计算器算出f(2.5)＝ln2.5－1约等于－0.084，小于0。因为f(2.5)小于0而f(3)大于0，零点必在(2.5，3)内，区间长度由1缩小到0.5。思路二：继续取中点2.75，f(2.75)约等于0.512，大于0，于是零点在(2.5，2.75)内。学生分小组接力计算，教师巡视指导，各组把每一步填在探究记录表中，表格栏目为中点值、中点函数值、零点所在区间、区间长度。当区间小到一定程度，如(2.53125，2.5390625)，教师提出关键问题：我们还要一直算下去吗。学生讨论后意识到，实际应用并不需要无限精确下去，只要近似值与准确解足够接近即可，这就需要一个停止标准。教师规范给出精确度的定义：给定精确度ε，当零点所在区间的长度a与b之差的绝对值小于ε时，我们可以停止计算，取区间内任意一个值（通常取端点）作为零点的近似值。此时教师板书给出二分法的完整定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)小于0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。教师特别强调定义中的三个关键词：连续、异号、一分为二，并用反例帮助学生理解——若区间端点函数值同号，二分法无法启动；若函数在区间内不连续，中点判断可能失效。（三）步骤归纳：把思想变成算法教师引导学生回顾刚才的操作流程，师生共同归纳用二分法求函数零点近似值的步骤：第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)小于0，确定精确度ε。第二步，求区间(a，b)的中点c，即c等于a与b之和的一半。第三步，计算f(c)。若f(c)等于0，则c就是零点；若f(a)·f(c)小于0，则令b等于c，零点在(a，c)内；若f(c)·f(b)小于0，则令a等于c，零点在(c，b)内。第四步，判断新的区间长度是否小于精确度ε。若是，则得到零点近似值；若否，回到第二步重复操作。教师用流程图的形式在课件上呈现这一循环结构，并点明这正是一个典型的算法，只要按步骤执行，任何人、任何机器都能得到相同的结果，这就是算法思想的威力。（四）例题示范：规范书写与易错警示例题为：借助计算器，用二分法求方程2^x＋3x＝7的近似解，精确度为0.1。教师带领学生先变形，设f(x)＝2^x＋3x－7，方程的解即函数f(x)的零点。计算f(1)＝－2，小于0；f(2)＝3，大于0，故零点在(1，2)内。教师示范表格书写：取中点1.5，f(1.5)约等于0.328，大于0，零点在(1，1.5)，区间长度0.5。取中点1.25，f(1.25)约等于－0.871，小于0，零点在(1.25，1.5)，区间长度0.25。取中点1.375，f(1.375)约等于－0.281，小于0，零点在(1.375，1.5)，区间长度0.125。取中点1.4375，f(1.4375)约等于0.021，大于0，零点在(1.375，1.4375)，区间长度0.0625。此时区间长度0.0625小于0.1，停止计算。零点的近似值可取1.375（也可取该区间内任一值）。教师特别提醒：精确度0.1要求的是区间长度小于0.1，而不是计算到某一步为止看小数位；两个概念在这里最容易混淆，务必区分。接着教师板书本题的全过程标准答案，对书写格式提出要求：每一步必须写明中点、函数值的符号判断、新区间三个要素。（五）课堂练习与分层检测基础层：用二分法求函数f(x)＝x³－x－1在区间(1，2)内零点的近似值，精确度为0.1。学生独立完成，同桌互查区间长度是否满足停止条件。提高层：判断下列哪些函数在给定区间上能用二分法求零点：一是f(x)＝x²－2在(1，2)上；二是f(x)＝x²＋1在(－2，2)上；三是f(x)＝1/x在(－1，1)上。学生辨析后得出结论：第二个函数端点同号无法启动二分法，第三个函数在区间内不连续也不适用。此题直击二分法适用条件，巩固难点。拓展层：思考用二分法求零点时，每次缩小区间一半，从长度1的区间出发，至少经过多少次操作才能保证区间长度小于0.001。学生建立不等式，借助计算器得出操作10次后区间长度约为0.00098，体验指数式缩小的速度，感悟二分法的高效。（六）课堂小结教师请学生用一句话概括本课收获，然后师生共同梳理三条主线。知识线：二分法的定义、适用条件、操作步骤与精确度的含义。思想线：逼近思想与函数方程思想，把求不到的精确解转化为可以无限接近的近似解。方法线：算法化处理问题的方式，步骤固定、人人可复现。教师可补充数学史，简要介绍二分法在方程数值解法中的地位，以及它在现代计算机求根程序中的实际应用，让学生看到课本知识的科学纵深。（七）作业设计必做题为课本本节配套习题，要求用表格完整呈现计算过程，并在一道题旁写出选择新区间的理由。选做题为：用二分法研究方程lgx＝3－x在(1，3)内的解，精确度0.01，并统计共计算了多少个中点。实践题为：利用电子表格软件或计算器编程功能，让机器自动完成二分法迭代，体会人工计算与算法自动化的差别。七、板书设计主板书分三个区域。左侧为课题与二分法定义，突出连续、异号、中点三个关键词；中间为例题的表格化计算过程，保留完整的四步迭代，供学生模仿；右侧为步骤流程的要点提炼与精确度概念的对比辨析，写明停止条件是区间长度小于精确度。副板书用于课堂练习的即时板演与纠错。八、教学反思预设本课的核心不是算得有多快，而是让学生理解为什么这样能逼近答案。教学中需要警惕三种倾向：一是