2027人教版高考数学复习讲义：第9节　概率与统计

第9节概率与统计

题型分析概率与统计是统计学的重要内容，是历年高考的重点、热点，试题多

以社会最新时事为背景，以数据分析、统计决策为载体，考查概率运算、分布列、

均值、方差、回归分析、独立性检验等综合问题，高考中概率与统计的综合应用

常涉及的问题主要有：(1)统计图表与概率的综合问题；(2)回归分析与概率的综合

问题；(3)独立性检验与概率的综合问题.

题型一频率分布直方图与概率

例1(2025·呼和浩特调研)某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500

人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用按比例分配的分层随机

抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).

(1)应收集多少个女生样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如

图所示)，其中样本数据分组的区间为[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，

[10，12].请估计该校学生每周平均体育运动时间不低于4个小时的概率；

(3)视样本数据的频率为概率，现从全校随机抽取4名学生，记X为这4名学生中

运动时间不低于4个小时的人数，求X的分布列以及数学期望.

思维建模频率分布直方图与概率的综合问题有两个考查方向：(1)通过阅读频率

分布直方图，寻找规律的统计类或综合类问题，用样本估计总体，特别是平均数、

方差的计算等；(2)以综合事件为载体，通过对事件进行分解求事件发生的概率，

也可能通过随机变量的分布研究期望和方差，进行统计决策等.

训练1(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾

病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为

代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占

该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求

此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的

年龄位于该区间的概率，精确到0.0001.)

题型二回归分析与概率

例2(2025·青岛调研)“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年国家相继

出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新

能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景.某公司对A充电桩进行生产投资，所获得

6－－

的利润有如下统计数据，并计算得∑(xi－x)·(yi－y)＝30.

i＝1

A充电桩投资

3467910

金额x/百万元

所获利润y/

1.5234.567

百万元

(1)已知可用一元线性回归模型拟合y与x的关系，求其线性回归方程；

2

(2)规定若所获利润y与投资金额x的比值不低于，则称对应的投入额为“优秀

3

21

投资额”，记2分，若所获利润y与投资金额x的比值低于且大于，则称对应

32

1

的投入额为“良好投资额”，记1分，若所获利润y与投资金额x的比值不超过，

2

则称对应的投入额为“不合格投资额”，记0分.现从表中6个投资金额中任意选

2个，用X表示记分之和，求X的分布列及数学期望.

^^^

附：在线性回归方程y＝bx＋a中，

n－－

^∑（xi－x）（yi－y）^－^

＝i＝1，＝－

bn－aybx.

2

∑（xi－x）

i＝1

思维建模破解概率与回归分析的综合问题的关键：(1)求两个变量的平均值；

(2)能根据已知数据求方程；(3)能利用概率公式、离散型随机变量的分布列等处理

数据.

训练2(2025·石家庄调考)为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿

童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2020年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋

读书活动”.如表是对2020年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计：

年份20202021202220232024

年份代码x12345

年借阅量y(册)y1y23692142

5

(参考数据：∑yi＝290)

i＝1

(1)在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为X，求X的

分布列和数学期望E(X)；

^^

(2)通过分析散点图的特征后，计划分别用①y＝35x－47和②y＝5x2＋m两种模型

作为年借阅量y关于年份代码x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模

型②的回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好.

题型三独立性检验与概率

例3(15分)(2025·东北地区调研)中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接

千年庆典神州世纪游活动,凭借哈尔滨的冰雪时节优势,而推出的大型冰雪艺术精

品工程,展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力.“南方小土豆”勇闯

冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情,其中雪上运动深受游客的追捧.某新闻

媒体机构随机调查男、女性游客各100名,统计结果如表所示:

对滑雪的游客性别

合计

喜爱情况男性游客女性游客

喜欢603595

不喜欢4065105

合计100100200

(1)在犯错误的概率不超过0.001的前提下,能否认为游客是否喜欢滑雪与性别

有关?

(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训,对四个基本滑雪动作(起步、滑行、转弯、

制动)进行指导.根据统计,每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到

优秀的概率分别为,,,,且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立.若这四个

2111

3232

基本滑雪动作至少有三个达到优秀,则可荣获“优秀学员”称号.

(ⅰ)求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率;

(ⅱ)现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩,其中有30人参加滑雪培训,且均为

滑雪初学者,每个人滑雪身体条件相当,令X为荣获“优秀学员”称号的人数,求

X的数学期望,并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大.

附2,

:χ=2n=a+b+c+d.

�(𝑎−𝑏)

(�+�)(�+�)(�+�)(�+�)α=P(χ2≥k)0.050.010.001

k3.8416.63510.828

[思路分析]解决本题时,从题干中提取以下信息:

(1)列联表;(2)每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率

分别为,,,,且这四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立;(3)四个基本滑雪

2111

动作至少32有3三2个达到优秀,则可荣获“优秀学员”称号;(4)参考公式和参考数据.

规范解答解由题可得2❶分

[]χ=2=≈12.53.(3)

200×(60×65−40×35)5000

因为P(χ2≥10.828=0.001,由于121.0503×>1100×.8925×81,0所5以在399犯错误的概率不超过0.001的

前提下,即可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关.❷

→依据规则得出结论(4分)

(2)(ⅰ)令事件Ai(i=1,2,3,4)分别表示起步、滑行、转弯、制动达到优秀,令滑雪初

学者荣获“优秀学员”称号为事件B,则事件Ai(i=1,2,3,4)之间相互独立,

事件B包含四个基本滑雪动作均达到优秀和四个基本滑雪动作中有三个达到优

秀,❸

→分析所求事件的构成,关键是事件B

故P(B)=P(A1A2A3A4)+P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)+

❸

1231234

=×××+×××�+×××�+×××+�×××�(���=�.)(7分)

2111211121112111211111

→3依2据3相2互1独−立3事件2、32互3斥事1件−的2概3率2公3式2求1得−323231−236

所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是.❹

11

→给出结论36(8分)

(ⅱ)由题意知,X~B,❺

11

→识别概率分布模型30,即,36二项分布模型.(9分)

因此P(X=r)=(r=0,1,2,…,30),

�30−�

�1125

30

E(X)=30×=C.❻3636

1155

→利用公式36E6(X)=np计算期望值(11分)

设有k人荣获“优秀学员”称号的概率最大,

�30−��−131−�

�1125�−11125

C30≥C30,

36�3630−�36�+13629−�

�1125�+11125

C30≥C30,

解得36≤k≤36.❼3636

305341

→根据36题意3建6立不等式组并求解(14分)

因为k∈N*,所以k=9,

故9人荣获“优秀学员”称号的概率最大.❽

→给出最后结论.(15分)

[满分规则]

❶得步骤分

④⑧每个结论给出得1分;

❷得关键分

①中与临界值比较大小,③中列出P(B)的构成,⑤中指出分布模型,皆可得1~2分.

❸得计算分

①中χ2值,③中P(B)的值,⑥中期望值以及⑦中方程组的解可得1~3分.

训练3(2024·宁波调研)在杭州亚运会的志愿者选拔工作中，某高校承办了亚运会

志愿者选拔的面试工作，面试成绩满分100分，现随机抽取了80名候选者的面试

成绩分五组，第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，

第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个组

的频率成等差数列，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值，并估计这80名候选者面试成绩的平均值(同一组中的数据用该组

区间的中点值作代表)和中位数(中位数精确到0.1)；

(2)已知抽取的80名候选人中,男生和女生各