12.3.3一次函数在方案决策问题中的应用-教学课件-2026-2027学年沪科版数学八年级上册

方案决策类应用题，核心是**建立一次函数模型，结合自变量取值范围和函数增减性选择最优方案**，常包含两种或多种方案对比。解题通用步骤：1.设变量：根据题意设自变量（购买数量、吨数、人数等）；2.列函数：写出每种方案对应的总费用/总利润y关于x的一次函数\(y=kx+b\)；3.求范围：结合题干不等式约束，求出自变量x的取值范围，实际问题中x一般取正整数；4.找临界点：令两个方案函数相等，解方程，求出两种方案费用相等时的自变量值；5.分类讨论：根据临界点划分区间，结合k的正负判断增减性，判断哪个方案更优；-\(k>0\)，y随x增大而增大；-\(k<0\)，y随x增大而减小；6.确定最优方案，规范作答。⚠️高频注意点：①自变量受题干限制，不是全体实数；②有不等式约束时，先求出x可取的所有整数，再代入函数求值比较；③分清“总费用最小”还是“总利润最大”。本节重点：带有不等式限制条件的方案选择，不止单纯两个方案对比，还有数量约束。##二、基础专项练习题###（一）选择题（每题4分，共20分）1.一次函数\(y=-5x+80\)，\(k=-5<0\)，在允许范围内，要使y最小，则x取（）A.最小值B.最大值C.任意值D.无法确定2.方案A：\(y_1=15x+60\)；方案B：\(y_2=20x\)。当\(y_1=y_2\)时，\(x=\)（）A.10B.12C.15D.203.一次函数\(y=10x+200\)，\(k>0\)，若要总费用最低，自变量x取（）A.最大值B.最小值C.中间值D.任意正数4.某题约束条件\(10≤x≤20\)且x为整数，\(y=6x+50\)，费用最小是（）A.110B.170C.210D.1205.方案决策问题中，若题干给出两种物品总量限制，要先求（）A.函数解析式B.自变量取值范围C.临界点D.函数增减性###（二）填空题（每题4分，共20分）1.当\(k>0\)时，一次函数\(y=kx+b\)，y随x增大而________。2.两个方案费用相等时对应的自变量的值叫做________。3.\(y=-6x+300\)，\(k<0\)，x越大，总费用越________。4.若\(y_1=7x+40\)，\(y_2=9x\)，当\(y_1=y_2\)时，\(x=\)________。5.实际问题中，物品数量、人数，自变量一般取________。###（三）解答题（每题15分，共60分）1.某文具店采购书包，商家有两种优惠方案：方案一：每个书包40元，无其他费用；方案二：先交会员费60元，每个书包30元。设购买书包x个，总费用y元。（1）写出两种方案y关于x的函数表达式；（2）购买多少个书包，两种方案费用相同；（3）要买15个书包，选哪个方案更省钱。2.学校组织学生外出研学，有甲、乙两种客车。甲客车租金200元/辆，可坐40人；乙客车租金150元/辆，可坐30人。学校共有240人出行，租用甲x辆，剩下坐乙车。（1）写出总租金y关于x的函数；（2）求自变量x的取值范围；（3）求总租金最低的租车方案和最低费用。3.工厂需要原材料不少于25吨，供应商A：每吨200元；供应商B：收服务费150元，每吨180元。设采购x吨（\(x≥25\)）。（1）写出A、B两家费用函数；（2）x取何值，B供应商更划算。4.某商店购进A、B两种纪念品共50件，A每件进价20元，B每件进价15元，要求A至少购进10件。设购进A纪念品x件，总进价y元。（1）写出总进价y与x的函数关系式并写出x范围；（2）求总进价最低的购进方案及最低总进价。##三、参考答案与详细解析###选择题1.**B**。解析：\(k<0\)，x越大，y越小。2.**A**。解析：\(15x+60=20x\)，解得\(x=12\)。3.**B**。解析：\(k>0\)，x越小，函数值越小。4.**B**。解析：\(k=6>0\)，x最小取10，\(y=6\times10+50=110\)。5.**B**。解析：有总量约束，优先求出自变量取值范围。###填空题1.**增大**2.**临界点**3.**小**4.\(\boldsymbol{20}\)。解析：\(7x+40=9x\)，\(2x=40\)，\(x=20\)。5.**正整数**###解答题1.解：（1）方案一：\(\boldsymbol{y_1=40x}\)；方案二：\(\boldsymbol{y_2=30x+60}\)（2）令\(40x=30x+60\)，解得\(\boldsymbol{x=6}\)。买6个书包费用相等。（3）当\(x=15\)，\(y_1=40\times15=600\)；\(y_2=30\times15+60=510\)。\(\boldsymbol{选方案二更省钱}\)。2.解：（1）甲x辆可坐40x人，剩余\((240-40x)\)人，乙车辆数：\(\dfrac{240-40x}{30}\)\(y=200x+150\times\dfrac{240-40x}{30}\)，化简：\(\boldsymbol{y=200x+1200-200x=1200}\)。总租金固定1200元，只要刚好坐满240人即可。（2）\(240-40x≥0\)，\(x≥0\)且为整数。x可取\(0,3,6\)。（3）无论\(x=0,3,6\)，租金都是1200元。3.解：（1）A：\(\boldsymbol{y_A=200x}\)；B：\(\boldsymbol{y_B=180x+150}(x≥25)\)（2）\(200x>180x+150\)，\(20x>150\)，\(x>7.5\)。结合条件\(x≥25\)，所以**当\(x≥25\)吨时，B更划算**。4.解：（1）购进B为\((50-x)\)件。\(y=20x+15(50-x)\)，化简\(\boldsymbol{y=5x+750}\)；由题意：\(\boldsymbol{10≤x≤50}\)，x为整数。（2）\(k=5>0\)，y随x增大而增大。所以x取最小值10时，y最小。\(x=10\)，B：\(50-10=40\)件；最低进价\(y=5\times10+750=800\)元。答：购进A纪念品10件，B纪念品40件，总进价最低800元。##四、易错点总结1.忽略题干不等式约束，漏掉自变量取值范围；2.判断增减性后，选反x最值，把费用最大当成最小；3.列函数时，固定费用（会员费、服务费）漏写；4.租车/采购类，要保证人数、总量满足需求，不能出现不够的情况；5.临界点求出后，没有结合题目自带的x范围，直接下结论。沪科版（新教材）数学八年级上册12.3.3一次函数在方案决策问题中的应用授课教师：.

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2026/9/29

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第12章函数与一次函数123会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法，能进行解决问题过程的反思.在实际问题中建立函数模型，选择合理方案解决问题，能够结合实际问题的数学信息，进行合情推理提升建立数学模型的能力，发展应用意识.02复习旧知利用函数图象，解二元一次一次方程组

两函数图象的交点为

（5，2）

02创设情境人生面临很多选择，我们都知道要选择最好的，最有价值的，最划算的，最喜欢的.这节课，我们来看看去旅游，怎样选择是最划算的.03新知探究学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠.设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题.03新知探究(1)当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？(2)当参加老师的人数为多少时，选择甲旅行社合算？(3)如果总共有50位老师参加，那么选择哪家旅行社合算？解:(1)当两个函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知人数为30人.(2)由图象知，当有30人以下时，y1＜y2，所以选择甲旅行社合算.(3)由图象知，当有50人参加时，y1＞y2，所以选择乙旅行社合算.03新知探究归纳1.根据函数图象选择方案主要有两步:(1)将实际问题数量化，根据实际问题建立数学模型，列出相关变量的两个函数表达式；(2)根据题意在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，求出图象的交点坐标，在交点的左右判断即可(或将表达式转化成一元一次方程或一元一次不等式求解).2.在解决与函数图象有关的问题时，交点分别在两个函数图象上，这也是解决问题的突破口.1．[太原期末]校园游泳馆为鼓励同学们畅享运动，新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x时两种消费卡所需费用分别为y甲，y乙元，y甲，y乙与x之间关系的图象如图所示，当游泳次数为30次时选择________种消费卡更合算．乙2．“生活即教育，行为即课程”，为了将劳动教育融入立德树人的全过程，学校举办“劳动实践周”，实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，为了更好地开展这些活动，学校现需采购园艺工具包，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案(如下表)，且都送货上门．方案运费工具包价格方案一50元12.5元/件方案二0元15元/件若学校购买x件工具包，按方案一购买的付款总金额为y1元，按方案二购买的付款总金额为y2元．(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式；解：由题意，得y1＝12.5x＋50，y2＝15x.(2)当付款总金额为________元时，方案一、方案二购买的工具包数量相同；300(3)若学校计划用900元钱购买工具包，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的工具包较多？解：当y1＝900时，12.5x＋50＝900，解得x＝68，当y2＝900时，15x＝900，解得x＝60.因为68>60，所以学校选择方案一购买的工具包较多．03新知探究例、某单位想在节假日期间组织职工到外地H处旅游.当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元.经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客8折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后,给予每位游客6折优惠.该单位应选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较少?旅游总费用随游客人数的变化而变化

比较大小即可03新知探究

方法一在同一平面直角坐标系中，作出两个函数的图象（图12-18）

400050

03新知探究观察图12-18,可得：①当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用一样；②当人数为1～49时，选择甲旅行社费用较少；③当人数为50以上时，选择乙旅行社费用较少.03新知探究

03新知探究

3.【立德树人·传统文化】书法，作为中华民族的文化瑰宝，涵盖了执笔、运笔、点画、结构、布局等内容，是我国基础教育的重要内容．学校要举办“翰墨书香”书法大赛，需在某超市购买一批毛笔和宣纸，毛笔每支的价格为19元，宣纸每张的价格为3.6元，该校准备购买毛笔600支，购买宣纸x张(x>600)，该超市给出以下两种优惠方案．方案A：每购买1支毛笔，赠送1张宣纸；方案B：毛笔不打折，但购买的宣纸超出600张的部分打八折．设方案A的总费用为y1元，方案B的总费用为y2元．(1)请分别求出y1，y2与x之间的函数表达式；解：由题意，得方案A：y1＝19×600＋3.6×(x－600)＝3.6x＋9240(x>600)；方案B：y2＝19×600＋3.6×600＋3.6×(x－600)×0.8＝2.88x＋11832(x>600)．(2)若该校准备购买宣纸5000张，则选择哪种方案更划算？请说明理由．解：若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算．理由：当x＝5000时，方案A：y1＝3.6x＋9240＝27240(元)，方案B：y2＝2.88x＋11832＝26232(元)，因为26232<27240，所以y2<y1，所以若该校准备购买宣纸5000张，则选择方案B更划算．4.【立德树人·传统文化】灯彩(洛阳宫灯)作为国家