第2章 有理数知识归纳与题型突破（14类题型清单）（原卷版）

第2章有理数知识归纳与题型突破（题型清单）一、正数和负数（1）概念正数：大于0的数叫做正数.负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数.注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数.（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.）（2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量.二、有理数1．有理数的分类：（1）按定义分类2）按性质分类：2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．诠释1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π.（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．诠释：(1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．(2)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“一”号即可．(3)多重符号的化简：数字前面“一”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作a．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．三、有理数的运算（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(-3）×(-2）×(-6）=－36，而（－3）×(-2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：(_3)2=9，(_3)3=_27．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac四、有理数的大小比较比较大小常用的方法有1）数轴比较法2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法4）作商比较法5)倒数比较法．五、科学记数法把一个大于10的数表示成ax10n的形式（其中1≤a<10，n是正整数此种记法叫做科学记数法．例如：200000=2x105．题型一相反意义的量例1.（2024·湖北宜昌·模拟预测）若长江水位升高1m时水位变化记作+1m，那么水位下降0.5m时水位变化巩固训练1.（2024·陕西榆林·三模）两千多年前，中国人就开始使用负数．若某仓库运进小麦3吨，记为+3吨，那么仓库运出小麦2吨应记为()2.（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）我国部分地区的日温差较大，“早穿棉袄午穿纱”这句谛语描绘的就是某地这种奇妙的气温变化现象．若某市某日上午温度上升15C记作+15C，那么傍晚温度下3.（2024·湖北荆州·模拟预测）某地冬季里某一天的气温为_3℃,那么“_3℃”的含义是()A．零下3摄氏度B．零上3摄氏度C．降低3摄氏度D．升高3摄氏度题型二求一个数的相反数、绝对值例22024·四川达州·中考真题）有理数2024的相反数是()A．2024B．_2024C．D．_20242024巩固训练11.（23-24七年级上·浙江金华·期中）_3的绝对值是，_的相反数是．22.（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）_3.5的相反数为；_5的绝对值是；绝对值是2的数是．3.（23-24七年级上·广东广州·期中1题型三化简多重符号例3.（23-24六年级下·全国·假期作业）的相反数是．巩固训练1.（23-24七年级上·湖北孝感·期末）化简__(_5)的结果是．3.（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若__(__a)=_1，a的相反数为，若a_3与a+1互为相反数，则a为题型四绝对值的非负性例4.（23-24六年级下·全国·假期作业）若|3_a|+|b__1|=0，则a=，b=．巩固训练1.（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足则b+c的值是．2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知a为有理数，则a_2+4的最小值为．bc=.题型五有理数大小的比较例5.（2024六年级下·上海·专题练习）比较大小填“>”或“<”或“=”)．巩固训练1.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小：__（填“>”或“<”2.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比较大小___（填“>”“<”或“=”）3.（23-24六年级下·上海杨浦·期中）比较大小：__2_(|(_2l（请用“<”、“>”或“＝”填空题型六数轴的三要素及其画法例623-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是()巩固训练1.（23-24七年级上·天津·期中）如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是()2.（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是()3.（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）下面是四名同学画的数轴，其中正确的是()题型七用数轴上的点表示有理数例7.（2024六年级下·上海·专题练习1）在数轴上标出下列各数，并用小于号连接下列各数．12（2）在数轴上，原点左边的点表示什么样的有理数？答巩固训练1.（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）给出下面六个数：32(1)先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来．(2)用“<”将上面的各数连接起来．2.（23-24七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，数轴上点A表示的数是_3，点B表示的数是4．(1)在数轴上标出原点O．(2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”连接起来．2.5，_4，_1.5，3.（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴的单位长度为1，点B表示的数是4．(1)在数轴上标出原点，点A表示的数是．2(2)在数轴上表示出下列各数：_5，_21，__3，并将这些数及点A，B表示的数用“<”号连接起来．2题型八数轴上两点之间的距离例8.（23-24七年级下·上海·阶段练习）数轴上，点A、B所对应的实数分别是2和_3，则A、B两点的距离巩固训练1.（2024·江苏徐州·二模）如图，数轴上A、B两点之间的距离为．2.（2024·陕西西安·三模）如图，点A是数轴上的点，若点B在数轴上点A的左边，且AB=4，则点B表示的数是．3.（22-23七年级上·江西宜春·期中）在数轴上有P，M，N三点，点P在点M左侧，M，N两点所表示的数分别是1，_8，点P到与点M，N其中一点距离等于点P到另一点距离的2倍，则满足条件的点P所表示的数是．题型九有理数的加减中的简便运算例9.（2023·江苏·七年级假期作业）计算：巩固训练1.（2023·浙江·七年级假期作业）计算下列各式：2.（2023·全国·七年级假期作业）计算题：3.（2023·浙江·七年级假期作业）计算：题型十有理数的乘除混合运算例10.（2023·江苏·七年级假期作业）计算：巩固训练1.（2023·全国·七年级假期作业）计算：2.（2023·全国·九年级专题练习）计算3.（2023·全国·七年级假期作业）计算：题型十一含乘方的有理数四则混合运算巩固训练1.（2023秋·陕西渭南·七年级统考期末）计算：2.（2023·全国·七年级假期作业）计算：题型十二有理数的混合运算中错题复原问题例12.（2023秋·山东东营·六年级统考期末）课代表发下作业本之后，小刚同学发现有一个题做错了，检查了多遍也没有找出错误的原因，你能帮他纠错吗？原题是：计算：这是小刚的计算过程：解：原式第一步第二步=2_8+12第三步观察小刚的计算过程回答下列问题：(1)小刚在进行计算第一步时运用了律；(2)他在计算中出现了错误，你认为他在第步出错了？(3)请你给出正确的解答过程．巩固训练1.在计算时，小明的解法如下：解：原式（第一步）=_5_1（第二步）(1)小明的解法是错误的，主要错在第步，错因是；(2)请在下面给出正确的解答过程．2.阅读下列解题过程：解：原式（第一步）=(_15)÷(_25)（第二步）（第三步）解答问题：(1)上面解答过程有两个错误，第一处是第步，错误的原因是；第二处是第步，错误的原因是．(2)请你正确解答本题．并请你根据平时的学习经验，就有理数的计算过程还需要注意的事项给同学们提出一条建议．3.（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）解答下列各题(1)计算(2)认真阅读材料，解决问题：计算：分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算；解：原式的倒数是：故原式请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：题型十三用科学记数法表示绝对值大于1的数例13.（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为5923000牛．将5923000用科学记数法表示应为．巩固训练1.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）据国家卫健委6月20日通报，截至2021年6月19日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗101万剂次．其中，101万用科学记数法表A．1.01×10472.（2023秋·山西太原·七年级校考期末）2016年5月下旬，中国大数据博览会在贵阳举行，参加此次大会的约有89000人，将89000用科学记数法表示为．3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京召开，“一带一路”建设进行5年多来，中资金融机构为“一带一路”相关国家累计发放贷款约2500亿元，重点支持了基础设施、社会民生等项目．数据2500亿用科学记数法表示为．题型十四有理数混合运算中的实际应用例14.（2023·浙江·七年级假期作业）现有15箱苹果，以每箱25千克为标准，超过的部分用正数来表示，不足的部分用负数来表示，记录如下表标准质量的差（单位：千克）-2-1.5-1023箱数1322241请解答下列问题：(1)这15箱苹果中，最重