第4章 一元一次方程知识归纳与题型突破（单元复习 8类题型清单）（解析版）

第4章一元一次方程知识归纳与题型突破（题型清单）一、基本概念1、等式的概念：含有等号，表示相等关系的式子2、方程的概念：含有未知数的等式3、一元一次方程的概念1）只含有1个未知数；（2）未知数的最高次数为1次；（3）等式两边都是整式．二、等式的性质若a=b，则a+c=b+c、a-c=b-c、特别注意：等式两边须同时乘以或除以一个不为0的数．三、解一元一次方程1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号）2、去括号（带着符号计算，不要漏乘）3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要）4、合并同类项5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论）四、列方程解应用题的步骤①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）五、一元一次方程的应用一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=利润×100%；进价（4）工程问题(①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量（5）行程问题（路程=速度×时间（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度题型一判断是否是一元一次方程1xxx5例题：下列方程中：①2x+5=0；②x+5=0；③=；④=，一元一次方程的个数是()2252x【答案】【答案】C【分析】本题主要考查了一元一次方程的识别，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此逐一判断即可．【详解】解：①2x+5=0，是一元一次方程，符合题意；x+5=0，是一元一次方程，符合题意；,是一元一次方程，符合题意；不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；∴是一元一次方程的有3个，故选C．巩固训练1．下列等式中，是一元一次方程的是()A．2+8=10B．x+3=4C．x+2y=5D．x2-5x=-4【答案】【答案】B【分析】本题考查一元一次方程的定义“只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式”，掌握概念一一判断，即可解题．【详解】解：A、2+8=10中不含未知数，不是一元一次方程，不符合题意，B、x+3=4是一元一次方程，符合题意，C、x+2y=5含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意，D、x2-5x=-4未知数次数为2，不是一元一次方程，不符合题意，故选：B．2．下面是小红所写的式子：①5x-2；②3+5=9-1；③x=2x-8；④x=0；⑤x+2y=9，其中是一元一次方程的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】【答案】B【分析】本题考查一元一次方程的识别，根据定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程叫做一元一次方程，进行求解即可．【详解】解：①5x-2不是等式，不是一元一次方程；②3+5=9-1不含未知数，不是一元一次方程；x=2x_8是一元一次方程；④x=0是一元一次方程；⑤x+2y=9含两个未知数，不是一元一次方程；综上可知，③④是一元一次方程，共2个，故选B．题型二根据一元一次方程的定义求参数的值例题：若(a_1)xa=0是关于x的一元一次方程，则a的值为．【答案】【答案】_1【分析】根据一元一次方程的定义列出关于a的式子，求出结果即可．【详解】解：∵(a_1)xa=0是关于x的一元一次方程，解得a=_1．故答案为：_1．【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数次数为1的方程叫做一元一次方程是解题的关键．巩固训练1．已知方程(a_4)xa_3+2=0是关于x的一元一次方程，则a=．【答案】【答案】_4【分析】根据一元一次方程的定义，得出a_3=1，注意a_4≠0，进而得出答案．故答案为：_4．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义得出是解题关键．22．如果方程(a_2)xa_1+3=9是关于x的一元一次方程，则a=．【答案】0【分析】根据一元一次方程的定义进行求解即可．【详解】解：【详解】解：∵方程(a_2)xa_1+3=9是关于x的一元一次方程，解得：a=0，【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．题型三已知一元一次方程的解求参数的值例题：已知x=_1是方程3(x_2)=3k+2x的解，那么k=．77【答案】_3【分析】把x=_1代入方程求出k的值即可．【详解】解：把x=_1代入方程得：3×(_1_2)=3k+2×(_1)，解得：k7故答案为：_．3【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．巩固训练1．若x=3是方程3x+a=10的解，则a=．【答案】【答案】1【分析】直接把x=3代入方程3x+a=10中求出a的值即可．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．2．如果x=_3是关于x的方程mx_8=15+m的解，那么m=．2323【答案】_4【分析】把【分析】把x=-3代入mx-8=15+m得到关于m的方程，然后解方程即可求解．【详解】把x=-3代入mx-8=15+m得：m×(-3)-8=15+m，解得：m23故答案为：-．4【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟悉方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．题型四列一元一次方程例题：列等式表示：比a的3倍大4的数等于a的5倍，得【答案】【答案】3a+4=5a【分析】根据题意可直接进行求解．【详解】解：由题意可列等式为3a+4=5a；故答案为3a+4=5a．【点睛】本题主要考查一元一次方程，解题的关键是理解题意．巩固训练1．一个长方形场地的周长为160米，长比宽的2倍少1米．如果设这个场地的宽为x米，那么可以列出方程【答案】【答案】2(x+2x-1)=160【分析】设这个场地的宽为x米，则长为(2x-1)米，然后根据长方形的周长公式即可解答．【详解】解：设这个场地的宽为x米，则长为(2x-1)米，由题意可得：2(x+2x-1)=160．故答案为2(x+2x-1)=160．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键．2．据市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为． 【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解．【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解．【详解】解：设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，【点睛】本题主要考查用方程表示增长率的计算，掌握增长率的计算，方程的运用，用字母表示数（或数量关系）的原则是解题的关键．题型五等式的基本性质例题：设x,y,c是有理数，则下列结论正确的是()A．若x=y，则x+c=y_cB．若x=y，则xc=ycC．若x=y，则D．若则2x=3y【答案】【答案】B【分析】根据等式的性质一一判断即可．【详解】解：∵x=y，∴x+c=y+c或x_c=y_c，故A不符合题意；∴xc=yc，故B符合题意；故C不符合题意；∴3x=2y，故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．巩固训练1．下列运用等式的性质，变形不正确的是()A．若x=y，则x+a=y+aB．若a=b，则ac=bcC．若x=y，则D．若则a=b【答案】【答案】C【分析】根据等式的性质逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.若x=y，等号两边同时加上a，等式依然成立，即x+a=y+a变形正确，不合题意；B.若a=b，等号两边同时乘以c，等式依然成立，即ac=bc变形正确，不合题意；C.若x=y，当a=0时，变形不正确，符合题意；D.若等号两边同时乘以c，等式依然成立，即a=b变形正确，不合题意；故选C．【点睛】本题考查等式的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．2．下列结论错误的个数为()（1）若a=b，则ac_3=bc_32）若ax=ay，则x=y3）若则a=b；A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】【答案】C【分析】根据等式的基本性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或整式等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或整式等式仍成立，即可解决．【详解】解：∵a=b，∴ac_3=bc_3，故（1）正确，不符合题意；∴x=y，故（2）错误，符合题意；∴a=b，故（3）正确，不符合题意；,故（4）错误，符合题意；错误的共2个，故选C【点睛】本题考查的是等式的基本性质的应用，熟记等式的基本性质是解本题的关键．题型六解一元一次方程【答案】【答案】【分析】(1)方程移项合并，把x系数化为1，即可求解；(2)方程移项合并，把x系数化为1，即可求解．【详解】（1）移项，得x=3_5，合并同类项，得x=_2，系数化为1，得x（2）移项，得合并同类项，得系数化为1，得x【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：解方程：(1)5(x_1)_2(3x_1)=4x_1；(2)2_3(x+1)=1_2(1+0.5x)．【答案】【答案】(2)x=0【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】（1）解：5(x_1)_2(3x_1)=4x_1，去括号，得5x_5_6x+2=4x_1．移项，得5x_6x_4x=_1+5_2．合并同类项，得_5x=2．系数化为1，得x去括号，得2_3x_3=1_2_x．移项，得_3x+x=1_2+3_2．合并同类项，得_2x=0．系数化为1，得x=0．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤．例题3：解下列方程：【答案】【答案】(1)x=_8去括号，得：12x+36=45x_20x+140，（2）解：去分母，得：15x_(17_20x)=3，去括号，得：15x_17+20x=3，移项，合并，得：35x=20，系数化1，得：x【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算．巩固训练x+2x(2)_x_9x=_15_20．【答案】【答案】【详解】（1）解：合并同类项，得系数化为系数化为1，得x（2）解：合并同类项，得-10x=-35，系数化为1，得x=3.5．【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，正确的计算，是解题的关键．2．解下列方程：(1)2+x=-5(x-1)；x-3；【答案】【答案】(3)x=5(5)x=-31【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（2）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（3）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（4）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（5）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．（6）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化1即可．【详解】（1）解：2+x=-5(x-1)，去括号得：2+x=-5x+5，移项得：x+5x=5-2，解得：x去括号得：9x-6=4+4x，移项得：3x_7x+2x=3_6_7，去括号得：x_8=5x_3，解得：x解得：x=_31；移项得：x【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤与方法是解本题的关键．3．解下列方程：【答案】【答案】(1)x=3【详解】（【详解】（1）解：去分母，得：5x-1=14，移项，合并，得：5x=15，（2）去分母，得：3(x-3)+2(x-1)=24，去括号，得：3x-9+2x-2=24，（3）去分母，得：30x-5(2x-1)=20-2(x-2)，去括号，得：30x-10x+5=20-2x+4，系数化1，得：x（4）去分母，得：36x+6x-6=3x+3-4(2x-1)，去括号，得：36x+6x-6=3x+3-8x+4，系数化1，得：x【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算．题型七解一元一次方程中的错解复原问题例题2024上·河北邯郸·七年级校考期末）关于方程2x嘉嘉的解法如下．解：去分母，得18x-3(5x+4)=x-4，…①去括号，得18x-15x-12=x-4，②合并同类项，得3x-12=x-4，3(x-4)=x-4，…③两边同时除以(x-4)，得3=0④所以方程无解．(1)嘉嘉从第步开始出错（填序号理由是；(2)请正确求解该方程．【答案】【答案】(1)④,两边同时除以(x-4)时，未考虑x-4=0的情况(2)见详解．【分析】本题主要考查了解一元一次方程．（1）按照解一元一次方程的步骤分析判断即可得出答案．（2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可．【详解】（1）解：嘉嘉从第④步开始出错，理由是方程两边同时除以(x-4)时，未考虑x-4=0的情况．故答案为：④,两边同时除以(x-4)时，未考虑x-4=0的情况去分母得：18x-3(5x+4)=x-4，去括号，得18x-15x-12=x-4，移项合并同类项得：2x=8，巩固训练12024上·辽宁大连·七年级统考期末）下面是小董同学解一元一次方程3x的过程，请认真阅读并回答问题．解：18x+3(x-1)=18-2(2x-1)，第一步18x+3x-3=18-4x-2，第二步x第四步(1)①以上求解过程中，第步进行的是移项，移项的依据是；②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；(2)求该一元一次方程的解；(3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议（一条即可【答案】【答案】(1)详见解析(3)详见解析【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．（1）①根据移项的基本方法即可求解；②根据解方程的步骤即可判断；（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；（3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需要变号．【详解】（1）解：①以上求解过程中，第三步进行的是移项，移项的依据是等式性质1；②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是等式右边括号里的第二项没有变号；故答案为：①第三步，等式性质1；②第二步，去括号后，等式右边括号里的第二项没有变号；（2）解：3x（3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需要变号等（答案不唯一22023上·山东威海·六年级统考期末）计算：(1)下面是解方程的主要过程解：原方程化为去分母，得3(20x_3)_5(10x_4)=15②,移项，得60x_50x=15+9_20合并同类项，得10x=4（合并同类项法则把未知数x的系数化为1，得x=0.4．请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上；(2)仿照上例解方程不需要指出每步的依据）【答案】【答案】(1)③④①②【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．（1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可；（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可．【详解】（1）解：解：原方程化为，去分母，得3(20x_3)_5(10x_4)去括号，得60x_9_50x+20=15④,合并同类项，得10x=4（合并同类项法则故答案为：③④①②;（2）解：原方程化为：去分母，得：2(2x+1)_(5x_1)=6，去括号，得：4x+2_5x+1=6，移项，得：4x_5x=6_1_2，合并同类项，得：_x=3，把未知数x的系数化为1，得：x=_3．题型八用一元一次方程解决实际问题例题2024上·辽宁大连·七年级统考期末）某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相(1)求具体应先安排多少人工作？(2)在增加5人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？(3)若该车间有10台A型和11台B型机器可以生产这种产品，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，且每箱装的产品数相同．某天有6台A型机器和m台B型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满29箱．若能，请计算出m的值；若不能，请说明理由．【答案】【答案】(1)具体应先安排17人工作(2)应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母(3)一天不能恰好装满29箱【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．（1）设应先安排x人工作，根据题意得即可求解；（2）设应安排y名工人生产螺钉，(22-y)名工人生产螺母，根据题意得2000(22-y)=2x1200y，即可求解；（3）先求出每箱装的产品个数，再分别求出A、B型机器一天的产量，最后列出关于m的一元一次方程即可求解．【详解】（1）解：设应先安排x人工作，根据题意得，:应先安排17人工作；（2）设应安排y名工人生产螺钉，(22-y)名工人生产螺母，根据题意得，2000(22-y)=2x1200y，22-y=12，::应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母，（3）设每箱装z个产品，根据题意得，解得：z=12，A型机器一天生产的产品个数：B型机器一天生产的产品个数：根据题意列方程得：6×20+19m=29×12，:一天不能恰好装满29箱．巩固训练12023上·安徽淮南·七年级校考阶段练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．【答案】大、小和尚分别有【答案】大、小和尚分别有25人、75人【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用：先设小和尚有x人，大和尚有(100-x)人，根据100个馒头进行列式计算，即可作答．【详解】解：依题意，设小和尚有x人，大和尚有(100-x)人，解得x=75，那么100-75=25（人故大、小和尚分别有25人、75人．22024上·甘肃酒泉·七年级统考期末）合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折．(1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用；(2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？(3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？【答案】【答案】(1)y甲=1.6x+216；y乙=1.5x+231(2)到甲店购买更合算，见解析(3)购买150本笔记本时，两家店的费用一样【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键．（1）根据题意列代数式即可；（2）求出分别需要的费用，比较大小即可得到答案；（3）设购买x本笔记本，根据题意列出方程即可得到答案．（2）解：到甲店购买所需费用为8x0.9x30+2x0.8x60=312（元到乙店购买所需费用为8x30+2x0.75x(60-30÷5)=321（元312<321，:到甲店购买更合算；设购买x本笔记本时，两家店的费用一样，依题意，得：8x0.9x30+2x0.8x=8x30+2x0.75(x-6)，答：购买150本笔记本时，两家店的费用一样．32024上·浙江嘉兴·七年级校联考期末）某超市第一次用10500元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：甲乙进价（元/件）4060售价（元/件）50(1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？(2)该超市第一次购进的甲、乙两种商品售完后，第二次又以第一次的进价购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件