2027版三维设计 高中总复习数学第二章第1节　函数的概念及其表示

第1节函数的概念及其表示课标要求1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表

法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.目录/CONTENTS夯实必备知识01研透核心考点02课时跟踪检测0301PART夯实必备知识

知识梳理

1.

函数的概念及其表示（1）函数的概念（2）函数的表示法：

、图象法和列表法；解析法

（3）同一个函数：如果两个函数的

相同，并且

⁠

完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一

个函数.提醒：两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函

数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2.定义域

对应关系

2.

分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的

取值区间，有着不同

的

，这样的函数叫做分段函数.提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段

定义域的并集，值域是各段值域的并集.不同

对应关系

3.

复合函数对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表

示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的

⁠

，记作y＝f（g（x））.提醒：函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值

范围.复合

函数

1.

求函数的定义域时尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域

的变化.2.

直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.

诊断自测

1.

判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数.

（

×

）（2）对于函数f：A→B，其值域是集合B.

（

×

）

（4）若A＝R，B＝{x｜x＞0}，f：x→y＝｜x｜，其对应是从A到B的

函数.

（

×

）××√×2.

（2025·江苏常州金坛区二模）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜

－2≤x≤2}，值域为N＝{y｜0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能

是（

）√解析：

函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝

{y｜0≤y≤2}，可知A图象不满足函数的定义域；B图象不满足函数的定

义域和值域；C图象满足题目要求；D图象不是函数的图象.故选C.

A.62B.63C.64D.65√

√

5.

已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值

域为

⁠.解析：由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，f

（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函数f（x）的值域

为{－1，1，3，5，7}.{－1，1，3，5，7}

02PART研透核心考点函数的定义域（基础自学过关）

√

2.

（2025·山东烟台期中）若函数y＝f（2x）的定义域为{x｜x＜2}，则

函数y＝f（x－1）的定义域为（

）A.

{x｜0＜x＜4}B.

{x｜x＜4}C.

{x｜x＜5}D.

{x｜1＜x＜5}√解析：

由x＜2得2x＜4，又2x＞0，所以0＜2x＜4，所以f（x）的定义

域为{x｜0＜x＜4}，所以0＜x－1＜4，因此1＜x＜5，故函数y＝f（x－

1）的定义域为{x｜1＜x＜5}.故选D.

解析：由题得，ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立.当a＝0时，显然成

立；当a≠0时，有Δ＝a2＋12a＜0，解得－12＜a＜0.综上所述，实数a

的取值范围是（－12，0].（－12，0]

1.

求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运

算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域

应使实际问题有意义.2.

求复合函数定义域的方法（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的

定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为

g（x）在x∈[a，b]上的值域.函数的解析式（师生共研过关）

求下列函数的解析式：（1）已知f（1－sin

x）＝cos2x，求f（x）的解析式；解：（换元法）

设1－sin

x＝t，t∈[0，2]，则sin

x＝1－t，∵f（1－sin

x）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].

（3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f

（x）的解析式；

（4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.解：（解方程组法）

∵2f（x）＋f（－x）＝3x，

①∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x，

②由①②解得f（x）＝3x.

求函数解析式的4种方法训练1

（1）〔一题多解〕（2026·重庆江津中学月考）已知f（x2＋1）＝x4

－1，则函数f（x）的解析式为（

D

）A.

f（x）＝x2－2xB.

f（x）＝x2－1（x≥1）C.

f（x）＝x2－2x＋2（x≥1）D.

f（x）＝x2－2x（x≥1）解析：

法一（换元法）

设x2＋1＝t≥1，则x2＝t－1，所以f（t）＝

（t－1）2－1＝t2－2t，所以f（x）＝x2－2x（x≥1）.故选D.

法二（配凑法）

f（x2＋1）＝x4－1＝（x2＋1）·（x2＋1－2），所以f

（x）＝x（x－2）＝x2－2x（x≥1）.故选D.

D（2）已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f

（x）＝

⁠；

2x2－x＋1

（3）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1

时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝

⁠

⁠.

1）

分段函数（师生共研过关）

A.

f（x）的定义域为RB.

f（x）的值域为（－∞，4]D.

f（x）＜1的解集为（－1，＋∞）BC

解析：法一

当x≤－1时，x＋1≤0，2x≤－2，f（x＋1）＝1，f

（2x）＝1，则f（2x）＞f（x＋1）不成立；当－1＜x≤0时，x＋1＞

0，2x≤0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝1，由f（2x）＞f（x＋1），

得3x＋1＜1＝30，则x＜－1，与－1＜x≤0矛盾，舍去；当x＞0时，x＋1

＞1，2x＞0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝32x，由f（2x）＞f（x＋

1），得32x＞3x＋1，则2x＞x＋1，得x＞1.综上，满足f（2x）＞f（x＋

1）的x的取值范围是（1，＋∞）.

（1，＋∞）法二

画出f（x）的大致图象，如图所示，若f（2x）＞f

（x＋1），则2x＞0＞x＋1或2x＞x＋1＞0，解得x＞1.

1.

根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其

次选定相应的解析式代入求解.2.

已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的

解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的

自变量的取值范围.提醒：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论.

－2或5

[－3，－

1）∪[4，＋∞）

（－∞，－1]

03PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]

1.

（2026·安徽宿州多校联考）下列四个函数中，与y＝2x表示同一个函

数的是（

）A.

y＝2｜x｜123456789101112131415√

123456789101112131415

B.3√

1234567891011121314153.

如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉

一个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果进水速度是均匀的（单位

时间内注入的水量不变），水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间

t变化的图象可能是（

）√123456789101112131415解析：

由题意可知，当向游泳池内注水时，游泳池内的水呈“直棱

柱”状，且直棱柱的高不变，刚开始水面面积逐渐增大，水面的高度增长

得越来越慢，当水面经过点D后，水面的面积为定值，水的高度匀速增

长，故符合条件的函数图象为选项A.

123456789101112131415

A.

（－∞，1）∪（1，2]B.

[－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2]√

123456789101112131415

√

123456789101112131415

A.

f（x）＝x2－1（x∈R）B.

f（x）的最小值为－1C.

f（2x－3）的定义域为[2，＋∞）√√123456789101112131415

1234567891011121314157.

若函数y＝f（2x）的定义域为[－2，4]，则y＝f（x）－f（－x）的

定义域为

⁠.

[－4，4]

1234567891011121314158.

已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：x123f（x）231x123g（x）321则f（g（1））的值为

；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值

是

⁠.1

2

123456789101112131415解析：∵g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3）＝1.当x＝1时，f（g

（1））＝1，g（f（1））＝g（2）＝2，不满足f（g（x））＞g（f

（x））；当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）

＝1，满足f（g（x））＞g（f（x））；当x＝3时，f（g（3））＝f

（1）＝2，g（f（3））＝g（1）＝3，不满足f（g（x））＞g（f

（x）），∴当x＝2时，f（g（x））＞g（f（x））成立.1234567891011121314159.

（13分）求下列函数的解析式：（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））＝25x＋12；

123456789101112131415（2）已知f（x）满足f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2）；

123456789101112131415

A.2B.4√

12345678910111213141511.

（2026·山东潍坊模拟）存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有

（

）A.

f（｜x｜）＝x3B.

f（sin

x）＝x2C.

f（x2＋2x）＝｜x｜D.

f（｜x｜）＝x2＋1√123456789101112131415解析：

对于A，当x＝1时，f（｜1｜）＝f（1）＝1；当x＝－1时，f

（｜－1｜）＝f（1）＝－1，不符合函数定义，故A错误；对于B，令x＝

0，则f（sin

x）＝f（0）＝0；令x＝π，则f（sin

π）＝f（0）＝π2，不

符合函数定义，故B错误；对于C，令x＝0，则f（0）＝0；令x＝－2，则

f（（－2）2＋2×（－2））＝f（0）＝2，不符合函数定义，故C错误；对

于D，f（｜x｜）＝x2＋1＝｜x｜2＋1，x∈R，｜x｜≥0，则存在x≥0

时，f（x）＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f（x）＝x2＋1

（x≥0）满足：对任意x∈R都有f（｜x｜）＝x2＋1，故D正确.故选D.

12345678910111213141512.

〔多选〕已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段组成，则

（

）A.

f（f（3））＝1C.

函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2D.

f（x）的解析式可表示为f（x）＝x－3＋2｜x－3｜

（x∈[0，4]）√√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

2

123456789101112131415

解：

令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1，当t＝0时，即f（a）＝0，显然a≤0，因此a＋