2026-2027学年江苏省苏州市高三（上）期初数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省苏州市高三（上）期初数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=i(2−i)，则|z|=(

)A.3 B.5 C.3 2.已知各项均为正数的等比数列{an}，a7=4A.2 B.3 C.4 D.53.已知集合A={−1,0,1}，B={1,2,3}，以下判断正确的是(

)A.x∈A是x∈B的充分条件

B.x∈A∩B是x∈B的既不充分也不必要条件

C.x∈A是x∈A∪B的必要条件

D.x∈A∩B是x∈{1}的充要条件4.已知直线l的一个方向向量为a=(2,1)，则过点A(1,−1)且与l垂直的直线方程为(

)A.x−2y−3=0 B.x−2y+1=0 C.2x+y−3=0 D.2x+y−1=05.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是(

)A.若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n⊥β

B.若m//n，α//β，m//α，则n//β

C.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

D.若α//β，n//β，m//α，则m//n6.“∃x∈R，使ax2−4x−3>0”的一个充分不必要条件是A.a≤0 B.a<−43 C.a≥1 7.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记m=|a−b|，m大于100的概率是(

)A.1112 B.910 C.898.函数f(x)=ln|1−x|+ex2−2x，若a=f(23)，b=f(32)A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成绩作为样本，这7名同学的成绩分别为78，80，81，84，87，88，90，则(

)A.估计这次考试全班成绩的平均分为84

B.从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是17

C.样本的75%分位数是87

D.当该样本中加入8410.已知数列{an}满足a1=12，A.a3=126

B.若1a1+1a2+1a3+⋯+1an=3611.已知函数f(x)=1000x+100和g(x)=x1.0001，以下判断正确的是(

)A.函数y=f(x)−g(x)在区间(100010000,100110000)内有唯一的零点

B.x∈(100010000,+∞)时，f(x)>g(x)

C.x∈(200010000,+∞)时，g(x)≥2f(x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=(1,2),b=(3,−2)，则b在a上的投影向量为

(用坐标表示)13.在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+2cos2c=b，b=2，bsinC=csin2B，则△ABC的面积为

14.已知函数fn(x)=sinnx+cosnx，其中n=2k，k∈N∗，记函数f2k(x)的最小值为ak，若∀λ>0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1底面边长为3，点E、F分别在直线AD、CD上，BE=13，DF=1．

(1)证明：AC//平面B1EF16.(本小题15分)

某所学校进行知识竞赛，最终甲乙同学进入决赛，争夺冠军，决赛一共有文化、科技、体育三个项目，比赛采取每个项目中回答对问题多的那个同学在该项目获胜并且获得20分，没获胜的同学得0分，三个项目比赛结束，总得分高的同学获得冠军，已知甲同学每个项目获胜的概率分别为45,12,23，比赛没有平局，且每个项目比赛相互独立．

(1)求乙同学总得分为40分的概率；

(2)用X17.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1的上顶点为A(0,2)，离心率为22．

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆P：(x−18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F为C的右焦点，短半轴长为1，A为C上动点，|AF|的最小值为2−3．

(1)求C的方程；

(2)已知点M(3,1)，点P为C外一点，直线PF交C于Q，R两点，

(i)O为原点，若|OQ+OR|=|OQ−OR|，求直线PF19.(本小题17分)

已知曲线S：sin(x+y)=cosx+siny，x，y∈R．

(1)定义：若对于曲线f(x,y)=0上任意一点P(x,y)沿向量a=(T,T′)平移得到点Q(x+T,y+T′)仍在曲线上，其中T与T′是不同时为0的常数，则称曲线f(x,y)=0沿向量a=(T,T′)的方向上有周期性.判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由；

(2)证明：曲线S是中心对称图形；

(3)当x∈[0,π]，y∈[π2,3π2]时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线l1：x+y−3π2−θ=0，l2：x+y−7π2+θ=0，l3：x−y+11π61.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】ABD

10.【答案】ABD

11.【答案】AD

12.【答案】(−113.【答案】314.【答案】(−∞,215.【答案】(1)证明：AE=BE2−AB2=13−9=2,DE=1，

因为DF=1，所以EDAE=DFFC=12，

所以AC/​/EF，AC⊄平面B1EF，EF⊂平面B1EF，

所以AC/​/平面B1EF；

(2)解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则三棱锥B1−BEF的体积V=13S△BEF⋅DD1=13×52×DD1=52，解得DD116.【答案】730；

分布列见解析，1183；

17.【答案】解：(1)设椭圆焦距为2c，若焦点在x轴，易知椭圆的长轴长为2|a|，短轴长为2|b|，

因为椭圆的离心率为22，所以a2=2c2，

因为b2=2，所以a2=4，c2=2，

则椭圆E的方程为x24+y22=1；

若焦点在y轴，易知椭圆的长轴长为2|b|，短轴长为2|a|，

因为椭圆的离心率为22，

所以b2=2c2，因为b2=2，

所以a=1，c=1，则椭圆的方程为y22+x2=1，

综上所述，若焦点在x轴，椭圆E的方程为x24+y22=1；

若焦点在y轴时，椭圆E的方程为y22+x2=1；

(2)证明：若焦点在x轴，椭圆E的方程为x24+y22=1，

若直线AB斜率不存在，

此时点B在y轴上，显然满足题意；

若直线AB斜率存在，

设直线AB的方程为y=kx+2(k≠0)，

联立x2+2y2=4y=kx+2，消去y并整理得(1+2k2)x2+42kx=0，

此时B(−42k1+2k2,2−22k21+2k2)，

易知kBQ=2−22k21+2k2+32−42k1+2k2=−k2+1k，

联立x2+2y2=4y=−k2+1kx−32，消去y并整理得(2k2+1)(k18.【答案】x24+y2=1；

(i)x+19.【答案】解：(1)因为sin[(x+2mπ)+(y+2mπ)]=sin(x+y)，

cos(x+2mπ)=cosx，sin(y+2mπ)=siny，

所以当P(x,y)在曲线S上时，

Q(x+2mπ,y+2nπ)(m,n∈Z，且m，n不同时为0)必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性，

向量a=(2mπ,2nπ)(m,n∈Z，且m，n不同时为0)，(m,n取一个符合要求的值即可)，

则符合要求的一个向量a=(2π,2π)．

(2)证明：因为cos(2π+2mπ−x)=cosx，sin(π+2mπ−y)=siny，

sin[(2π+2mπ−x)+(π+2nπ−y)]=sin(x+y)(m,n∈Z)，

所以当sin(x+y)=cosx+siny时，

sin[(2π+2mπ−x)+(π+2nπ−y)]=cos(2π+2mπ−x)+sin(π+2nπ−y)，

故当P(x,y)在曲线S上时，必有P′(2π+2m−x,π+2mπ−y)在曲线S上，

而P与P′关于点(π+mπ,π2+nπ)对称，

所以曲线S是中心对称图形，对称中心为(π+mπ,π2+nπ)(m,n∈Z)，(m,n取一个符合要求的值也可)；

(3)证明：先证明曲线S上的点在直线l1的上方或直线l1上，

设P(x,y)是曲线S上任意一点，即证x+y≥3π2+θ．

由sin(x+y)=cosx+siny可得cos(x+y−π2)=cosx+cos(y−π2)，

令z=y−π2，则z∈[0,π]，cos(x+z)=cosx+cosz，原命题即证x+z≥π+θ．

用反证法证明，假设x+z<π+θ，则x+z2<π2+12θ，

由cos(x+z)=cosx+cosz可得2cos2x+z2−1=2cosx+z