波函数和薛定谔方程课件

波函數

和Schrodinger

方程§1波函數的統計解釋（一）波函數（二）波函數的解釋（三）波函數的性質

3個問題？

描寫自由粒子的平面波如果粒子處於隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態就不能用平面波描寫，而必須用較複雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態的波函數，它通常是一個復函數。稱為de

Broglie

波。此式稱為自由粒子的波函數。(1)

是怎樣描述粒子的狀態呢？(2)

如何體現波粒二象性的？(3)

描寫的是什麼樣的波呢？（一）波函數返回§1

電子源感光屏（1）兩種錯誤的看法1.波由粒子組成如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分佈。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。

電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現出衍射花紋。這說明電子的波動性並不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現象，單個電子就具有波動性。

波由粒子組成的看法誇大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。PPOQQO

事實上，正是由於單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩定性以及能量量子化這樣一些量子現象。2.粒子由波組成電子是波包。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續分佈的某種物質波包。因此呈現出干涉和衍射等波動現象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什麼是波包？波包是各種波數（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那麼自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處於一個社區域內。例如在一個原子內，其廣延不會超過原子大小≈1Å

。

電子究竟是什麼東西呢？是粒子？還是波？ “電子既不是粒子也不是波”，既不是經典的粒子也不是經典的波， 但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統一。” 這個波不再是經典概念的波，粒子也不是經典概念中的粒子。經典概念中1.有一定品質、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2．有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經典概念中1.實在的物理量的空間分佈作週期性的變化;波意味著2．干涉、衍射現象，即相干疊加性。1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;電子源感光屏QQOPP我們再看一下電子的衍射實驗2.

入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.結論：衍射實驗所揭示的電子的波動性是： 許多電子在同一個實驗中的統計結果，或者是一個電子在許多次相同實驗中的統計結果。

波函數正是為了描述粒子的這種行為而引進的，在此基礎上，Born提出了波函數意義的統計解釋。

r點附近衍射花樣的強度

正比於該點附近感光點的數目，

正比於該點附近出現的電子數目，

正比於電子出現在

r

點附近的幾 率。在電子衍射實驗中，照相底片上

據此，描寫粒子的波可以認為是幾率波，反映微觀客體運 動的一 種統計規律性，波函數Ψ(r)有時也稱為幾率幅。 這就是首先由Born

提出的波函數的幾率解釋，它是量子 力學的 基本原理。

假設衍射波波幅用Ψ(r)

描述，與光學相似， 衍射花紋的強度則用|Ψ(r)|2

描述，但意義與經典波不同。

|Ψ(r)|2

的意義是代表電子出現在r

點附近幾率的大小， 確切的說， |Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在

r點處，體積元ΔxΔy Δz中 找到粒子的幾率。波函數在空間某點的強度（振幅 絕對值 的平方）和在這點找到粒子的幾率成比例，（三）波函數的性質

在t時刻，r點，dτ=dx

dy

dz

體積內，找到由波函數Ψ(r,t) 描寫的粒子的幾率是：dW(r,t)=C|Ψ(r,t)|2dτ，

其中，C是比例係數。根據波函數的幾率解釋，波函數有如下重要性質：（1）幾率和幾率密度在t時刻r點，單位體積內找到粒子的幾率是：ω(r,t)={dW(r,t)/dτ}=C|Ψ(r,t)|2

稱為幾率密度。在體積V內，t時刻找到粒子的幾率為：W(t)=∫V

dW=∫Vω(r,t)dτ=C∫V|Ψ(r,t)|2dτ（2） 平方可積由於粒子在空間總要出現（不討論粒子產生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即：

C∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=1,從而得常數

C之值為：

C=1/∫∞|Ψ(r,t)|2dτ這即是要求描寫粒子量子狀態的波函數Ψ必須是絕對值平方可積的函數。若∫∞|Ψ(r,t)|2dτ

∞,

則C

0,這是沒有意義的。注意：自由粒子波函數不滿足這一要求。關於自由粒子波函數如何歸一化問題，以後再予以討論。（3）歸一化波函數

這與經典波不同。經典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態。經典波無歸一化問題。

Ψ(r,t)和CΨ(r,t)所描寫狀態的相對幾率是相同的，這裏的C是常數。 因為在t時刻，空間任意兩點r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：由於粒子在全空間出現的幾率等於一，所以粒子在空間各點出現的幾率只取決於波函數在空間各點強度的相對比例，而不取決於強度的絕對大小，因而，將波函數乘上一個常數後，所描寫的粒子狀態不變，即

Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態可見，Ψ(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數有一常數因數不定性。歸一化常數若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大於零的常數），則有∫∞|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1也就是說，(A)-1/2Ψ(r,t)是歸一化的波函數，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因數。注意：對歸一化波函數仍有一個模為一的因數不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數，那末，exp{iα}Ψ(r,t)

也是歸一化波函數（其中α是實數），與前者描述同一幾率波。（4）平面波歸一化IDirac

—函數

定義：或等價的表示為：對在x=x0

鄰域連續的任何函數f（x）有：

—函數亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,則

性質：0x0x（4）平面波歸一化IDirac

—函數

定義：或等價的表示為：對在x=x0

鄰域連續的任何函數f（x）有：

—函數亦可寫成Fourier積分形式：令k=px/

,dk=dpx/

,則

性質：0x0xII平面波歸一化寫成分量形式t=0時的平面波考慮一維積分若取A122

=1，則A1=[2

]-1/2,於是平面波可歸一化為函數三維情況：其中注意：這樣歸一化後的平面波其模的平方仍不表示幾率密度，依然只是表示平面波所描寫的狀態在空間各點找到粒子的幾率相同。作業補充題§2態疊加原理（一） 態疊加原理（二） 動量空間（表像）的波函數（一） 態疊加原理微觀粒子具有波動性，會產生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在於波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產生衍射。 因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數決定體系的狀態，稱波函數為狀態波函數，所以量子力學的波疊加原理稱為態疊加原理。考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態。空間找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2電子源感光屏電子穿過狹縫１出現在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現在Ｐ點的幾率密度相干項正是由於相干項的出現，才產生了衍射花紋。一個電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態，Ψ是這兩種狀態的疊加。

其中C1

和C2是複常數，這就是量子力學的態疊加原理。態疊加原理一般表述： 若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態，則這些態的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn

+...(其中C1,C2,...,Cn

,...為複常數)。 也是體系的一個可能狀態。處於Ψ態的體系，部分的處於Ψ1態，部分的處於Ψ2態...，部分的處於Ψn，...一般情況下，如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態，那末它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是該體系的一個可能狀態.例：電子在晶體表面反射後，電子可能以各種不同的動量p

運動。具有確定動量的運動狀態用de

Broglie

平面波表示根據疊加原理，在晶體表面反射後，電子的狀態Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。

dΨΨp（二） 動量空間（表像）的波函數Ψ(r,t)是以座標

r

為引數的波函數，座標空間波函數，座標表像波函數；C(p,t)

是以動量

p

為引數的波函數，動量空間波函數，動量表像波函數；二者描寫同一量子狀態。波函數Ψ(r,t)可用各種不同動量的平面波表示，下麵我們給出簡單證明。展開係數令則Ψ可按Фp展開若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的§3力學量的平均值和算符的引進（一）力學量平均值 （1）座標平均值 （2）動量平均值（二）力學量算符 （1）動量算符 （2）動能算符 （3）角動量算符 （4）Hamilton算符（一） 力學量平均值在統計物理中知道，當可能值為離散值時:一個物理量的平均值等於物理量出現的各種可能值乘上相應的幾率求和；當可能值為連續取值時：一個物理量出現的各種可能值乘上相應的幾率密度求積分。基於波函數的幾率含義，我們馬上可以得到粒子座標和動量的平均值。先考慮一維情況，然後再推廣至三維。（1）座標平均值為簡單計，剩去時間ｔ變數（或者說，先不考慮隨時間的變化）設ψ(x)

是歸一化波函數，|ψ(x)|2

是粒子出現在x點的幾率密度，則對三維情況，設ψ(r)是歸一化波函數，|ψ(r)|2是粒子出現在r點的幾率密度，則x的平均值為（2）動量平均值一維情況：令ψ(x)是歸一化波函數，相應動量表像波函數為（二）力學量算符簡言之，由於量子力學和經典力學完全不同，它是用波函數描寫狀態，所以力學量也必須改造成與經典力學不同的算符形式（稱為第一次量子化）。（1）動量算符

既然ψ(x)

是歸一化波函數，相應動量表像波函數為c(px)

一一對應，相互等價的描述粒子的同一狀態，那末動量的平均值也應可以在座標表像用ψ(x)表示出來。但是ψ(x)不含px變數，為了能由ψ(x)來確定動量平均值，動量

px必須改造成只含引數x

的形式，這種形式稱為動量

px的算符形式，記為一維情況：比較上面二式得兩點結論：體系狀態用座標表像中的波函數ψ(r)描寫時，座標x的算符就是其自身，即說明力學量在自身表像中的算符形式最簡單。而動量px

在座標表像（非自身表像）中的形式必須改造成動量算符形式：三維情況：

由歸一化波函數ψ(r)求力學量平均值時，必須把該力學量的算符夾在ψ*(r)和ψ(r)之間,對全空間積分，即F是任一力學量算符（2）動能算符（3）角動量算符（4）Hamilton算符作業補充題§4Schrodinger

方程（一） 引（二） 引進方程的基本考慮（三） 自由粒子滿足的方程（四） 勢場V(r)中運動的粒子（五） 多粒子體系的Schrodinger方程

這些問題在1926年Schrodinger

提出了波動方程之後得到了圓滿解決。

微觀粒子量子狀態用波函數完全描述，波函數確定之後，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分佈也都被完全確定，波函數完全描寫微觀粒子的狀態。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)在各種情況下，找出描述系統的各種可能的波函數；(2)波函數如何隨時間演化。（一） 引（二） 引進方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以後任何時刻t

粒子的狀態r

和p

。因為初條件知道的是座標及其對時間的一階導數，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發。（1）經典情況（2）量子情況3．第三方面，方程不能包含狀態參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態所滿足，而不能為各種可能的狀態所滿足。1．因為，t=t0

時刻，已知的初態是ψ(r,t0)

且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態的波函數所滿足的方程只能含ψ對時間的一階導數。2．另一方面，ψ要滿足態疊加原理，即，若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，那末。ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含ψ,ψ對時間的一階導數和對坐標各階導數的一次項，不能含它們的平方或開方項。（三） 自由粒子滿足的方程

這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態參量E。將Ψ對坐標二次微商，得：描寫自由粒子波函數:應是所要建立的方程的解。將上式對t微商，得：(1)–(2)式滿足上述構造方程的三個條件討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關係式E=p2/2μ

寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。(1)–(2)式返回（四）勢場V(r)中運動的粒子該方程稱為Schrodinger

方程，也常稱為波動方程。若粒子處於勢場V(r)

中運動，則能動量關係變為：將其作用於波函數得：做（4）式的算符替換得：（五）多粒子體系的Schrodinger

方程

設體系由N個粒子組成，品質分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數記為ψ(r1,r2,...,rN

;t)第i個粒子所受到的外場Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger

方程可表示為：多粒子體系Hamilton量對有Z個電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對第i個電子的Coulomb吸引能為：假定原子核位於座標原點，無窮遠為勢能零點。例如：§5粒子流密度和粒子數守恆定律（一）定域幾率守恆（二）再論波函數的性質（一）定域幾率守恆

考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產生和湮滅問題，粒子數保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，即在討論了狀態或波函數隨時間變化的規律後，我們進一步討論粒子在一定空間區域內出現的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在t時刻r點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：證：考慮Schrodinger

方程及其共軛式：取共軛在空間閉區域τ中將上式積分，則有：閉區域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內的增量J是幾率流密度，是一向量。所以(7)式是幾率（粒子數）守恆的積分表示式。令Eq.（7）τ趨於∞，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數應該是平方可積的，波函數在無窮遠處為零，則式右面積分趨於零，於是Eq.（7）變為：其微分形式與流體力學中連續性方程的形式相同使用Gauss定理單位時間內通過τ的封閉表面S流入（面積分前面的負號）τ內的幾率S

討論：表明，波函數歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產生也未消滅。（1）這裏的幾率守恆具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，並伴隨著某種流來實現這種變化。（2）以μ乘連續性方程等號兩邊，得到：量子力學的品質守恆定律同理可得量子力學的電荷守恆定律：表明電荷總量不隨時間改變品質密度和品質流密度向量電荷密度和電流密度向量（二）再論波函數的性質1.由Born的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已知後，就知道了粒子在空間的幾率分佈，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態的一切力學量就都知道了。所以波函數又稱為狀態波函數或態函數。3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態後，由Schrodinger方程即可確定以後時刻的狀態。（1）波函數完全描述粒子的狀態（2）波函數標準條件1.根據Born統計解釋ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時刻出現在r點的幾率，這是一個確定的數，所以要求ψ(r,t)應是r,t的單值函數且有限。式右含有ψ及其對坐標一階導數的積分，由於積分區域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數的全部範圍，即空間任何一點都應是有限、連續且其一階導數亦連續。概括之，波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。2.根據粒子數守恆定律:（3）量子力學基本假定I、II量子力學基本假定I

波函數完全描述粒子的狀態量子力學基本假定II

波函數隨時間的演化遵從Schrodinger

方程§6定態Schrodinger方程（一）定態Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定態問題的步驟（四）定態的性質（一）定態Schrodinger方程現在讓我們討論有外場情況下的定態Schrodinger

方程：令：於是：V(r)與t無關時，可以分離變數代入等式兩邊是相互無關的物理量，故應等於與

t,r無關的常數

該方程稱為定態Schrodinger

方程，ψ(r)也可稱為定態波函數，或可看作是t=0