波浪理论课件

波浪理論船舶與海洋工程中：船舶搖擺和拍擊，船舶穩性，興波阻力。沿岸工程中：波浪對港口、防波堤的作用。離岸工程中：鑽井平臺，海工建築、海底油管等

課堂提問：為什麼海面上“無風三尺浪”

水波起制約作用的物理因素是重力，粘性力可略而不計，因此可用理想流體的勢流理論來研究波浪運動的規律。

一簡諧前進波沿ｘ軸正向移動,§7-1微振幅波的基本方程與邊界條件h—水深（從平均水平面到底部的距離）η（x,t）—自由面在平均水面以上的暫態垂直距離ａ—振幅Ｈ—波高，對於小振幅波H=2a

Ｌ—波長（兩相鄰波峰或波谷間的距離）Ｔ—週期（固定點處重複出現波峰（或波谷）的時間間隔，或波形傳播一個波長所需的間。Ｃ—

波速，或相速度（波陣面的傳播速度）

C=L/T（7－2）ｋ—

波數（2π距離內波的數目）

K=2π／L（7－3）σ—

圓頻率（2π時間內波振動的次數)

σ＝2π／T（7－4）

微振幅波理論的基本假設１.理想不可壓縮流體，重力不能忽略；２.運動是無旋的，具有速度勢；３.波浪是微振幅波（線性波），即

Ｈ<<Ｌ（7-5）速度勢φ（x，z，t），滿足

（7-6）且滿足Laplace方程：

（7-7）底部條件(不可穿透條件）:（z=-h）（7-8）自由表面邊界條件：（7-10）令z=η,自由表面上相對壓力p=0。為使邊界條件線性化，假定速度平方v２→0

而得到。由Lagrange積分：在z=0處滿足（自由面邊界條件的近似）:（7-11）小振幅波的基本方程與邊界條件為:（7-12）用分離變數法求解,令（7-13）代入拉普拉斯方程:通解所以（不可穿透）所以或波面方程為必須第一方括弧內為零,可得令則：令（a為波振幅）則自由面形狀（波面方程）為：

當h

時，（7-15）化為：無限深水即（7－14）則（7－15）（7-16）§７-波速,波長和週期自由表面η（x,t）上任一點的z方向速度分量即波面抬高速度近似等於z方向的速度分量代入上式得與聯立有：因為微振幅波的坡度也是小量,即對於微振幅波，上式近似在z=0處滿足

（7-17）將式（7-15）代入上式並求導後得：

（7-18）再與（7－17）聯立：

（7-19）將18，19兩式代入(7－17）得：（7-20）因為

（7-21）將（7-22）代入（7-20）可得：

（7-23）適用於各種水深所以（7-22）所以(7-24)若已知Ｌ,ｈ,

由（7-24）式可確定Ｃ；將C=L/T，K=2π／L代入式（7-23）可得（7-25）若已知Ｔ,ｈ,

由（7-25）式經逐次逼近可確定Ｌ。§７－３水波按水深進行分類由於雙曲函數具有漸近值所以按雙曲函數的性質將水波進行分類，其目的是為了工程應用方便。所謂深水波、淺水波，是一種相對概念。波速公式適用於各種水深表7－1水波分類淺水波：波速只是水深的函數，與波長無關

深水波：波速只是波長的函數，與水深無關中等水深波：波速是波長與水深的函數波的類型深水波中等水深波淺水波水深h<h<0<的近似值近似公式1§７-４流體質點的軌道運動軌圓半徑ｒ=aekz

深水波：流體質點沿圓周等速運動淺水波：流體質點作橢圓軌道運動長軸從波面到水底不變，短軸從底部的零值逐漸增加到波面處的波振幅ａ。中等水深波：流體質點作橢圓軌道運動長短軸均沿水深變化。證明如下：由（7－15）利用σ２=gktanh

kh

可將

改寫成:

（7-27）則速度分佈：（7-28）兩個速度分量的相位差為π/2對應a/L=1/20及a/h=1/5積分(7-28)得到質點運動軌道:將上式兩邊平方相加：(7-29)或

(7-30)

(7-31)為橢圓中心中等水深波:a,β隨h增加而減小，即橢圓越小越扁，在ｚ０=-ｈ時，β=０，

水質點沿底部作水準往復運動。淺水波：(7-32)軌道為橢圓，長軸不變，短軸隨水深逐漸減小，在底部為零，波面處為振幅ａ

深水波:將α、β中的雙曲函數展開當L/2≤ｈ＜∞時，有ｅ-ｋｈ→０，因此

(7-33)深水波傳播速度與波長、週期的變化關係：LCT50607080901001101301201408.839.6810.4511.1911.8612.5013.1113.7014.2614.805.666.206.707.157.598.008.398.769.129.46這組數據表明：波長增加，週期增加，傳播速度增加。在無風的海域，其他海區的波浪傳播到無風海域形成湧浪，這就是無風三尺浪的原因。§７-５前進水波中的壓力分佈在拉格朗日積分式（7-９）中忽略v2/2項可得(7-34)將（7-15）代入上式得有限水深相對壓強：式中acos(kx-σt)＝η為波面方程。適於z0(7-35)因此定義壓力反應係數方程（７-35）簡化為：

(7-36)方程（7-35）或(7-36)只適於z0

的區域討論：

當z>0時，（７-35）對於ｚ的正值無效。因小振幅波的近似，即自由麵條件（動力學條件）式（7-11）中用ｚ=０代替了ｚ=η上式第一項為波動壓強，第二項為靜水壓強。1.當z0時（初始平面以下所有深度），kp

１2.當ｚ＝０時(7-37)壓力分佈與ｚ取正值的靜水壓力分佈規律相符3.當ｚ＝－ｈ時，(7-38)即底部的靜水壓力為ｐ/γ＝ｈ＋η在波谷下（η為負):底部壓力大於靜水壓力

因為（7－39）在波峰下（η為正):底部壓力小於靜水壓力

若已知水平面以下某處的壓強，可以反過來預測波高。

底部壓強隨時間和位置的變化將引起流體在砂床這類疏鬆介質中的流動。實際流體中會引起波能的粘性耗散。(7-40)§７-６波群與波群速波群(WaveGroup)：多種不同頻率的波疊加在一起形成的波。設η１和η２為兩個簡諧波為：而k≈k′，σ≈σ′，a,T相同，（7－41）迭加後得合成波:因ｋ≈ｋ′，σ≈σ′，上式可近似為使合成波列具有波長２π/ｋ，週期２π/σ和波速（相速度）Ｃ＝σ/ｋ；(7-42)合成波由兩部分組成：sin(kx-σt):

負責調製合成波的波長與週期振幅調製波具有較合成波列大得多的波長和週期:負責調製合成波列的振幅

振幅調製波的振幅在2a之間隨時間和空間作週期性變化。波長為,傳播速度為,週期為振幅調製波的傳播速度不相同。速度,與合成波列的傳播振幅調製波將合成波列分成振幅由小到大，又由大到小的一群。包絡線將合成波分成一個個波群。群波的長度為：合成波列稱為波群（wavegroup)

合成波列具有兩個速度:相速度C群速度Cg合成波列以相對速度(C-Cg)進入振幅調製波的節點,振幅從零逐漸加大到2a,又逐漸減小到零。

群速度：振幅調製波的傳播速度為這一群波的前進速度。振幅調製波以群速度Cg傳播Cg等於波能的傳遞速度（待續）群速度：(7-43)由(7-23)式兩邊對k求導得：所以：上述結果代入（７-３１）式：利用(７-２3)以及sinh2x=2sinhxcoshx，適用於深水波:(7-45)（因為）波群速為單獨水波前進速度之半上式簡化成:(7-44)極淺水波(因

):

(7-46)

波群速與單獨水波前進速度相等§７-７船波

Kelvin計算了以等速U前進的壓力點的興波情況,波系見下圖,圖中為波峰線。橫波波長:

(7-47)橫波和散波互相干擾並隨同壓力點一起前進。

船首、船尾形成前、後駐點。駐點處流體的動能轉變成壓能,該處壓力升高,可認為該點的造波作用與壓力點相同。船舶航行首尾各有一Kelvin波系見下圖：船舶所遭受的興波阻力與首、尾兩個橫波系之間的干擾有很大關系。興波阻力係數曲線上的“峰”和“穀”就是這一干擾的結果,見下圖：設計船舶時,應使在設計航速時船舶處於興波阻力係數“穀點”的位置,有利干擾興波。§７-８波能的傳遞及興波阻力水波運動是流體動能與勢能之間的平衡結果，討論波能的傳遞與興波阻力的研究很有關系。1.波浪的總能量為動能與勢能之和，動能與勢能相等。2.波能與波幅的平方成正比，與水深無關。3.波能的傳播速度就是群速度。結論：對於余弦波，一個波長的勢能為：(7-48)動能：Ｓ:一個波長內由自由表面、底面及兩側面組成的閉邊界線.利用Green公式，將面積分(單位寬度的體積分)變為線積分:(7-49)ｎ為邊界外法線,左右垂直側面上積分路線相反，積分互相抵消。水底:（７-49）式中只剩下沿自由表面OAB的積分對於微振幅波，取值近似由ｚ=０代替ｚ=η因此(7-50)

由式（7-26）(7-51)(7-52)因σ２＝gk

tanh

kh,則將（7-51），（7-52）代入（７-50）：所以(7-53)比較（7-48）和（7-53）得

進行波動能與勢能相等一個波長的波總能量為(7-54)單位長度波浪的總能量：在一個週期時間內，通過ｚ軸傳播的能量等於壓力對ｚ軸所做的功，即：波能傳遞結論：波能的傳播速度就是群速度證明：(7-55)由（7-26）式得（7-56）所以（7-57）由（７-34）式得當ｚ＝const.這時ρgz為常數，隨時間變化能量傳播，只與有關

由（7-56）式有：(7-58)將式（7-57）和（7-58）代入（7-55）：因為z軸處，x=0所以積分所以單位長度波能群速(7-59)所以表明：單位時間通過ｚ軸的能量，等於單位長度波能乘上群速度，即波能傳遞速度等於群速度。興波阻力

船舶在水面航行，興起波浪，一部分波能由船舶提供，這就是興波阻力。船舶遭受的阻力有：粘性阻力和興波阻力，興波阻力是理想流體作用於船舶上的壓差力。船到波隨，船波波速就等於船速ｔ時間內船後新增波浪長度由老波以波群速傳來一部分能量由於Ｖ=Ｃ，故另一部分由船舶克服興波阻力做功而提供則能量平衡方程式為：總能量

(7-60)對於深水則（7－61）這一結論不僅適用於余弦波，其他波動同樣適用深水中船舶所遭受的興波阻力是波能的一半興波阻力的大小與振幅的平方成正比在極淺水中，波浪前進的最大速度不能超過臨界速度，若船的航行速度大於，則沒有波浪可以跟隨它，興波阻力也就不可能產生。例７.1某小船在無限深水的波浪中每分鐘搖擺

30次，求波長Ｌ，圓頻率σ，波數ｋ，以及波形傳播速度Ｃ解:船航速為零，單純由波浪引起的搖擺則週期圓頻率波數波長波速例７.3水深ｈ=10ｍ，自由面上有一沿ｘ軸正向傳播的平面小振幅波，波長Ｌ=30ｍ求：１）波幅ａ＝０.1m時的自由面形狀;２）波的傳播速度；３）波幅ａ＝0.1m衡位置在水平面以下0.5ｍ處流體質點的運動軌跡；４）水平面以下1ｍ，2ｍ處流體的平均壓力；５）波系的群速度。解:1）由式（7-16）波數圓頻率由（７-20）為波面方程為２）波的傳播速度(相速度)３）由（７-20）式流體質點的軌跡方程其中取Z0=0.5m，a=0.1m，h