初中数学人教版八年级上册14.3 角的平分线 教学课件

14.3角的平分线1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点）2.探究并证明角平分线的性质.（难点）3.会用角平分线的性质解决实际问题.角平分线的概念:一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.OABC如图，OC是∠AOB的平分线.

依据:SSS相等的角角的平分线定义画法？性质判定互逆角的平分线上的点到角两边的距离相等.到角两边的距离相等的点在角的平分线上.归纳

一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.到角两边的距离相等的点在角的平分线上.我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？已知：角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.求证：这个点在这个角的平分线上.自己证明看看？角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.如图，∵P为∠AOB

内部一点，PD⊥OA

于点D，PE⊥OB于点E，且

PD=PE，∴点P

在∠AOB的平分线上，即OP平分∠AOB.几何语言：角平分线的判定定理：特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.角的平分线上的点到角两边的距离相等；从上面两个结论可以看出：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.所以在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.【概括新知】判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.应用格式：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上.【概括新知】图形已知条件结论C12PDEOCB1A2PDEOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEPDEOBAPDEC角的平分线的性质和判定的区别与联系两个定理的条件与结论是相反的PD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOB如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，若DE=DC，则∠ADE的度数为

.75°如图，M，N分别是边OA，OB上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是()A.PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PNB.PM=PN，OM=ONC.OM=ON，∠OPM=∠OPND.PM⊥OA，PN⊥OB，OM=ONC例1如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.

求证：AD是∠BAC的平分线.

证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠BED=∠CFD=90°.

∵在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF，

DB=DC，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴DE=DF.

∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.

CEAFDB┐┐例2

分析：OF、OD、OE为点O到三边的距离，且OF=OD=OE.（角的平分线的判定）

OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB.

（角的平分线的性质）

∠OBC=∠OBA，

∠OCB=∠OCA.

（三角形内角和定理）

转化为

∠BAC和∠BOC的关系.

如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，求∠BOC.请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.法一：对折法二：用量角器法三：用平分角的仪器如果在黑板、墙壁呢？如果画22.5°的角平分线，测量11.25°时，是不是不够精确呢？创设情境

用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？证明：∵OM⊥MP，ON⊥NP，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，∴∠MOP＝∠NOP，∴OP平分∠AOB例题讲解归纳总结1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：距离面积周长条件

课堂小结角平分线的性质尺规作角平分线内容属于基本作图，必须熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等.常见辅助线的添加性质定理过角平分线上一点向两边作垂线段证明几何命题对照练习1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、