12.1.2 定义、定理与证明 教学教学课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

#华东师大版数学八年级上册12.1.2定义、定理与证明专项练习（1232字）##核心知识点梳理1.**定义**：对名称或术语的含义进行描述、作出规定，就是给出它们的定义。定义是判断一件事物是不是该名称的依据，例如：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。定义既可以当作性质使用，也可以当作判定使用。2.**命题再回顾**：判断一件事情的语句叫命题，分为真命题和假命题。真命题包含公理、定理、定义；假命题只需举出一个反例即可推翻。3.**公理（基本事实）**：从长期实践中总结出来，不需要再证明，并且作为判断其他命题真假原始依据的真命题，叫做公理。例如两点确定一条直线，两点之间线段最短。4.**定理**：用逻辑推理的方法证明是正确的真命题，叫做定理。定理可以作为继续推理的依据。定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。5.**证明**：根据条件、定义、公理、定理以及已经证明过的定理，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。证明的每一步都要有依据，不能凭空猜想。证明一个命题是假命题不需要完整推理，举出反例即可。6.**证明步骤与易错提醒**：①分清命题的条件和结论，画出对应图形，写出已知、求证；②每一步推理后面注明依据，依据只能是定义、公理、定理、已知条件；③不能循环论证，不能把结论当作条件来证明命题；④区分定义、公理、定理三者：定义是名词解释，公理无需证明，定理需要推理证明。##一、选择题（每题4分，共20分）1.下列属于定义的是（）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.含有未知数的等式叫做方程D.两直线平行，内错角相等2.下列说法正确的是（）A.真命题就是定理B.公理需要证明之后才能使用C.定理一定是真命题D.假命题也可以作为推理依据3.证明命题“同角的余角相等”，推理的依据不可能是（）A.余角定义B.等式性质C.已知条件D.猜想4.下列命题属于公理的是（）A.同角的补角相等B.两点确定一条直线C.三角形内角和为180°D.对顶角相等5.在几何证明的书写中，每一步推理后面标注的内容是（）A.题目结论B.图形编号C.推理依据D.解题思路##二、填空题（每题4分，共20分）6.对名称和术语的含义加以描述，作出规定，就是________；经过推理证实的真命题叫做________。7.命题“对顶角相等”是______（填“公理”或“定理”）。8.证明一个真命题，需要进行演绎推理；证明一个命题是假命题，只需举出一个________。9.“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，这句话属于________（填公理/定理/定义）。10.在证明过程中，不能用来作为推理依据的是________（填“已知”“猜想”“定义”）。##三、解答题（共60分）11.判断下列语句是定义、公理还是定理（16分）（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；（2）过两点有且只有一条直线；（3）两直线平行，同位角相等；（4）无限不循环小数叫做无理数。12.判断下列说法的正误，并简单说明理由（16分）（1）所有的真命题都是定理；（2）公理是不需要证明的真命题。13.（14分）补全下面证明过程，并在括号内填写推理依据。已知：∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°。求证：∠2=∠3。证明：∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠2是∠1的余角（________）。∵∠1+∠3=90°（已知），∴∠3是∠1的余角（________）。∴∠2=∠3（________________）。14.（14分）写出命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的已知、求证（同一平面内），并简单写出证明思路。##参考答案与解析选择题：1.C。解析：C是对方程这个名词的规定，属于定义；A是公理，B、D是定理。2.C。解析：定理一定是真命题；真命题不一定是定理；公理无需证明；假命题不能作为推理依据。3.D。解析：猜想不能当作证明依据。4.B。解析：两点确定一条直线是基本事实（公理），其余均为定理。5.C。解析：几何证明每一步后面标注推理依据。填空题：6.定义；定理。7.定理。解析：对顶角相等需要推理证明，不是公理。8.反例。9.公理。10.猜想。解析：猜想没有经过证明，不能作为推理依据。解答题：11.解：（1）定义；（2）公理；（3）定理；（4）定义。12.解：（1）错误。真命题只有经过证明，并且可以作为推理依据时，才称为定理，并非所有真命题都是定理。（2）正确。公理是从实践总结得到的基本事实，不需要进行逻辑证明，可以直接用来推理。13.解：余角的定义；余角的定义；同角的余角相等。14.解：已知：在同一平面内，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c。求证：a∥b。证明思路：由垂直定义得到两个直角，同位角相等；再根据“同位角相等，两直线平行”，证得a平行于b。（全文1232字）下一节：**12.2全等三角形**，继续保持相同格式、1232字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学八年级上册12.1.2定义、定理与证明授课教师：.

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8年级（

）班.

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2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第12章全等三角形

我们已经学过线段、角、平行线等许多名词，我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.例如：我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义，这样的语句叫做这些名词的定义.讨论：你能举出其他类似的例子吗?新知探究基础定义在数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，

这样的真命题叫做定理。定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。注意：定理是命题，命题不一定是定理，而且定理是真命题。典例分析例1.下列语句中，属于定理的是（

）A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角C．内错角相等 D．同角的补角相等D解析：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，命题是假命题，故不是定理C、“内错角相等”缺少“两直线平行”，是假命题，故不是定理D、同角的补角相等，是定理。合作学习通过观察，先猜想结论，再验证：1.如图所示，一组直线a、b、c、d是否互相平行？2.当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2-3n+7的值分别是7，5，5，7，11，17，它们都是质数，那么，命题“对于自然数n，代数式n2-3n+7的值都是质数”是真命题吗？同学们可以讨论一下新知探究通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明基础定义思考“证明三角形的内角和为180”．要求：已知和求证，并尝试证明．新知探究例2.证明三角形的内角和为180°．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°证明：过点A作EF∥BC，如图，∵EF∥BC∴∠B=∠1，∠C=∠2∵∠1+∠BAC+∠2=180°∴∠A+∠B+∠C=180°12EF1．下列语句中，是定义的是(

)A．点A到点B的距离是3cmB．两直线平行，同位角相等C．直角都相等D．有两边相等的三角形是等腰三角形1星题夯实四基D2．小明用两块三角板拼接时发现，若∠1和∠2都是∠3的补角，则∠1＝∠2，这一结论属于(

)A．定义

B．基本事实C．定理

D．假命题C3．下列说法中，错误的是________．(填序号)①所有的定义都是命题；②所有的基本事实都是命题；③所有的定理都是命题；④所有的命题都是定理．④变式训练命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．已知：如图，a⊥b，a⊥c，求证：b∥c证明：∵a⊥b，∴∠1=90°，∵a⊥c，∴∠2=90°，∴∠1=∠2∴b∥c变式训练求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数．已知：n，n+1是两个连续的自然数，求证：n（n+1）是偶数证明：当n是奇数时，n+1就是偶数所以n（n+1）是偶数当n是偶数时，n（n+1）是偶数综上所述，n(n+1)是偶数。即两个连续自然数的积是偶数。典例分析例3补全下列推理过程：如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试说明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知）∴∠BFE=∠BDA=90°（垂线的定义）∴EF∥AD（

）∴∠2=∠3（

）∵∠1=∠2（已知）∴

（等量代换）∴DG∥AB（

）同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等∠1=∠3内错角相等，两直线平行变式训练补全下列推理过程：如图，已知AB∥CE，∠A=∠E，试说明：∠CGD=∠FHB两直线平行，内错角相等解：∵AB∥CE（已知）∴∠A=∠ADC（

）∵∠A=∠E（已知）∴∠E=∠ADC（

）∴AD∥EF（

）∴∠CGD=∠GHE(

)∵∠FHB=∠GHE(

)∴∠CGD=∠FHB等量代换同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等对顶角相等4.(教材改编题)如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB＝∠COD，推理的依据是(

)A．同角的补角相等

B．同角的余角相等C．对顶角相等

D．垂直的定义B5．补全下面的证明过程，并填上推理的依据．已知：如图，点F在线段AD上，点B，C，E共线，∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D.求证：∠E＝∠DFE.证明：∵∠B＋∠BCD＝180°(已知)，∴AB∥CD(__________________________)．∴∠B＝________(_________________________)．同旁内角互补，两直线平行∠DCE两直线平行，同位角相等又∵∠B＝∠D(已知)，∴________＝________(____________)，∴AD∥BE(________________________)，∴∠E＝∠DFE(__________________________)．∠