13.1.1 直角三角形三边的关系 教学教学课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

1.**勾股定理内容**：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，直角边记作\(a、b\)，斜边记作c，公式：\(\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}\)。斜边是直角所对的边，为最长边，书写公式时，斜边单独放在等号一侧。勾股定理揭示直角三角形三边数量关系，已知任意两条边长，就可以求出第三条边长。2.**公式变形**：由\(a^2+b^2=c^2\)，可以推导得到\(a^2=c^2-b^2\)，\(b^2=c^2-a^2\)。开方求边长时，边长是正数，只取算术平方根，舍去负根。很多题目没有明确哪条边是斜边，需要分类讨论，判断已知边能否同时作为斜边。3.**勾股定理的几何意义（面积法）**：以直角三角形三边向外作正方形，两个直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形面积。即\(S_a+S_b=S_c\)，课本上利用拼图、面积相等的方法证明勾股定理，本质是通过图形面积不变，推导出三边平方关系。4.**勾股数**：满足\(a^2+b^2=c^2\)的三个正整数，叫做勾股数。常见基础勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17。勾股数的整数倍依旧是勾股数，如3，4，5同乘2得到6，8，10。注意勾股数必须是正整数，小数、分数不能称为勾股数。5.**简单实际应用**：可以把生活中的实际问题抽象成直角三角形模型，例如梯子靠墙、航海距离、折叠问题。找到直角，确定两直角边与斜边，代入勾股定理列方程求解。遇到折叠题型，折叠前后对应线段相等，经常设未知数，利用勾股定理建立方程。6.**易错提醒**：①勾股定理**只适用于直角三角形**，普通三角形三边不满足这个关系；②分清斜边和直角边，不能机械套用\(a^2+b^2=c^2\)；③没有指明最长边时一定要分类讨论；④边长计算结果为线段长度，必须大于0；⑤勾股数要求三个数都是正整数，不要把小数当成勾股数；⑥在几何大题书写时，要先写明三角形是直角三角形，再使用勾股定理。##一、选择题（每题4分，共20分）1.在\(\text{Rt}\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(a=3，b=4\)，则斜边c的长是（）A.5B.6C.7D.82.下列各组数，属于勾股数的是（）A.2，3，4B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.4，5，63.已知直角三角形两条边长为3和4，则第三条边长为（）A.5B.\(\sqrt{7}\)C.5或\(\sqrt{7}\)D.无法确定4.在直角三角形中，以三边向外作正方形，直角边上正方形面积分别为9和16，则斜边上正方形面积为（）A.7B.25C.10D.125.下列说法正确的是（）A.任意三角形三边都满足\(a^2+b^2=c^2\)B.勾股数可以是小数C.直角三角形斜边最长D.若\(a^2+b^2>c^2\)，三角形一定是直角三角形##二、填空题（每题4分，共20分）6.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理叫做________。7.在\(\text{Rt}\triangleABC\)，\(\angleC=90^\circ\)，若\(c=13，a=5\)，则\(b=\)________。8.一组勾股数3，4，5同时扩大3倍，得到的9，12，15________（填是或不是）勾股数。9.直角三角形一条直角边为6，斜边为10，则另一条直角边长为________。10.勾股定理的几何意义：直角边上两个正方形面积之和等于________正方形面积。##三、解答题（共60分）11.计算（16分）（1）\(\text{Rt}\triangleABC\)，\(\angleC=90^\circ\)，\(a=6，b=8\)，求斜边c；（2）\(\text{Rt}\triangleABC\)，\(\angleC=90^\circ\)，\(c=17，b=15\)，求直角边a。12.应用题（16分）一架梯子长10米，斜靠在竖直墙上，梯子底端距离墙根6米，求梯子顶端距离地面高度。13.（14分）已知：在\(\triangleABC\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(CD\perpAB\)，垂足为D，\(AC=4，BC=3\)，求AB的长。14.（14分）一个直角三角形的周长为24，一条直角边长为6，求另一条直角边和斜边的长度。##参考答案与解析选择题：1.A。解析：\(c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)。2.B。解析：勾股数必须是正整数，满足两数平方和等于第三个数平方。3.C。解析：分两种情况：4为斜边，或者3、4都是直角边。4.B。解析：面积对应边长平方，\(9+16=25\)。5.C。解析：勾股定理仅直角三角形适用；勾股数必须是正整数。填空题：6.勾股定理。7.12。解析：\(b=\sqrt{13^2-5^2}=12\)。8.是。9.8。解析：\(\sqrt{10^2-6^2}=8\)。10.斜边上。解答题：11.解：（1）由勾股定理：\(c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\)；（2）\(a=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8\)。12.解：梯子为斜边10米，底边6米，设墙高h。\(h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\)米。答：梯子顶端距离地面8米。13.解：\(\because\angleACB=90^\circ\)，由勾股定理\(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\)。14.解：设另一条直角边长为x，则斜边长为\(24-6-x=18-x\)。根据勾股定理：\(6^2+x^2=(18-x)^2\)，展开：\(36+x^2=324-36x+x^2\)，化简得\(36x=288\)，解得\(x=8\)。斜边\(18-8=10\)。答：另一条直角边为8，斜边为10。（全文1232字）下一节：**13.1.2勾股定理的逆定理**，继续同格式1232字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学八年级上册13.1.1直角三角形三边的关系授课教师：.

班

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8年级（

）班.

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间：.

2026/9/30

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章勾股定理

国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年在北京召开了第24届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.它由哪些基本图形组成？你见过这个图案吗？新知探究如图所示，在下面表格中，每个方格的边长都是1，分别表示出正方形S1、S2、S3的面积，探索S1、S2、S3之间的关系。正方形S1的面积为：

。正方形S2的面积为：

。正方形S3的面积为：

。S1、S2、S3之间的关系：

。新知探究由上面的研究知：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，直接利用上面的结论写出下图M1、M2、M3之间的关系这个结论是否适用于所有的直角三角形？同学们请尝试证明一下这个结论新知探究由上面的探索与验证，

可以发现：对于任意的直角三角形，

如果它的两条直角边分别为a、b，

斜边为c，那么一定有a2+b2=c2这种关系，我们称之为勾股定理勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方新知探究如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：a2+b2=c2．

典例分析例1.下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（

）．变式训练如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，则底边BC边上的高AD为（

）A．13B.12C.10D.5提示：由AB=AC=13,AD⊥BC，则2BD=BC=10，∠ADB=90°，然后通过勾股定理即可求解。向“数形结合思想”生长：如图，大正方形的面积是________，另一种方法计算大正方形的面积是_________，两种结果相等，推得的等式是______________，这个等式被称为____________．a2＋b2＝c22ab＋c2a2＋b2＝c2勾股定理向“正向应用”生长：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠B＝90°，则下列结论正确的是(

)A．a2＋b2＝c2

B．b2＋c2＝a2C．a2＋c2＝b2

D．以上均不正确C2.求下列图中直角三角形相应边的长．(1)c＝__________(2)b＝__________138向“转化思想”生长：如图①，A，B，C是三个正方形，B的面积为56，C的面积为28，则A的面积为(

)A．28B．56C．84

D.向“迁移思想”生长：如图②，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆形B、半圆形C的面积分别是4、5，则半圆形A的面积是________．C1向“数形结合思想”生长：如图③，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1.以点O为圆心，OB长为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点P，则点P所表示的数是________．典例分析例2.如图，在△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边长．(1)已知a=8，b=15，求c；(2)若c=25，a:b=3:4，求a、b解：由勾股定理得c2=a2+b2=82+152=289∴c=17解：设a=3x，b=4x则（3x）2+（4x）2=252解得：x=5或x=-5(不符合题意，舍去)∴a=15，b=20变式训练

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，求CE的长．

典例分析例3（教材母题）如图所示，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC的长为160m，BC的长为128m。问：从点A穿过湖到点B有多远？

提示：直接利用勾股定理即可求解变式训练

如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m），踏板离地的垂直高度CF=2.5m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）A．3.4mB.3.25mC.4mD.5.5m3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交边BC于点D，AB＝5，BC＝6，则AD＝______．44.(方程思想)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．若c＝25，a∶b＝3∶4，求a，b.解：设a＝3x，b＝4x，则(3x)2＋(4x)2＝252，解得x＝5(负值已舍去)，所以a＝15，b＝20.5.(分类讨论思想)若直角三角形的两边长分别为15cm和8cm，则第三边长为(

)C2星题提升四能6．如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4.若∠ABD＝90°，则AD的长为(

)A．10 B．13C．8 D．11B7.(数学文化)(南通中考)“赵爽弦图”巧