2025-2026学年山东济宁市高二第一学期质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东济宁市2025-2026学年高二第一学期质量检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】由题可得，所以.故选：B.2.在等差数列中，，则（）A.8 B.10 C.12 D.13【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，即所以，所以，故选：B.3.将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连续抛两次骰子样本总量为，由点数均为正整数，可得当时，，当时，，当时，，当时，，不符合题意舍去，当时，，不符合题意舍去，当时，，不符合题意舍去，所以满足题设条件的样本点有，即的概率，故选：C.4.已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】由题可得，所以.故选：A5.在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图所示：.故选：C.6.已知圆，圆，则它们公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】将，化为标准方程得到；则圆心，半径；将，化为标准方程得到；则圆心，半径；圆心距，因为，所以两圆内切，公切线有1条.故选：A.7.已知直线，直线相交于点，则的最大值为（）A. B. C.8 D.18【答案】D【解析】因为，所以，又直线：，则过定点，直线：，则过定点，因为且交于，所以，所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为的圆，所以点的轨迹方程为，表示该圆上的点到原点的距离的平方，又圆上点到原点的最大距离为，所以的最大值为.故选：D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，且为的中位线，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，所以，所以，故选A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分9.记数列的前项和为，若，且数列是等比数列，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为，所以，设的公比为q，则，即，解得所以，即，得到，选项A正确；，由，选项B错误；当时，，当时，也满足上式，故，选项C错误；，选项D正确；故选：AD.10.已知曲线的两个焦点分别为，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（）A.当时，曲线的长轴长为4B.当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为C.当时，使为直角三角形的点有6个D.当时，若，则【答案】BCD【解析】当时，曲线表示椭圆，若，焦点在x轴上，长轴长；若，焦点在y轴上，长轴长，选项A错误；当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线：，渐近线为，已知渐近线为，所以，所以，此时，焦距为，选项B正确；当时，曲线C为椭圆，焦点，直角在或：过​作x轴垂线，各交椭圆于2点，共4个点；直角在P：以为直径作圆，与椭圆方程联立解得，共2个点，所以使为直角三角形的点有6个，选项C正确；当时，曲线C为双曲线：，由双曲线的定义得到，根据对称性不妨假设左焦点为，右焦点为，因为右支上的点到左焦点的最小距离为，故P在左支，所以，所以，选项D正确；故选：BCD.11.已知正方体的棱长为1，点为正方体表面上的动点，则下列说法中正确的是（）A.若点在上，则四面体的体积为定值B.在面（含边界）内，存在点使得C.若点在面（含边界）内，且满足的面积为，则点的轨迹为椭圆的一部分D.若点在面（含边界）内，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，因为平面，平面，所以平面，因为点在上，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，如图以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，所以到平面的距离为又为边长为等边三角形，所以，所以四面体的体积为，故A正确；对于B，根据A可知设，所以，若，则，即，解得，不满足，所以在面（含边界）内，不存在点使得，故B错误；对于C，设点到的距离为，则，又，所以，所以点到的距离为，设，，所以，即，所以点的轨迹为椭圆的一部分，故C正确；对于D，设，则，设平面的法向量为，则，解得，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.假设，且与相互独立，则__________．【答案】0.7或【解析】因为与相互独立，所以，所以，故答案为：0.713.曲线在点处的切线与直线平行，则__________．【答案】【解析】因为，所以，则，直线的斜率为，依题意可得，解得.故答案为：.14.数学课上，小明同学给出了一种用数字1，2生成新数列的方法：每次都在相邻的两数之间插入一个数，若相邻两数的和为奇数，则插入数字1；若相邻两数的和为偶数，则插入数字2．即第一次生成数列；第二次生成数列；第三次生成数列；如此继续下去，记第次生成数列的项数为，第次生成数列的所有项的和为，则__________，__________．【答案】①.2026②.【解析】第一空；由题可得，则第四次生成数列为：，得，，得，所以，则数列是首项为、公比为2的等比数列，所以，即，得得．第二空：由题可得,,,,,依次类推，当为奇数时，，当为偶数时，，则当且为奇数时，，令，得，得，得，得，而，则当为奇数时，数列为等比数列，且首项为，公比为4，由于为奇数，则，得，当为偶数时，，故，故答案为：2026，四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）直线与圆相交于两点，且，求的值．解：（1）方法1：设所求方程为，则，解得，所以圆的方程是．方法2：由，则线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即．联立，解得，所以圆心，圆的半径，所以圆的方程是．（2）圆心到直线的距离，所以，解得或．16.在数列中，，，记．（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）设为的前项和，求数列的前项和．（1）证明：因为，所以，则，又，即，所以数列是首项，公差为的等差数列．所以，即，所以，即数列的通项公式为．（2）解：因为，所以，所以所以.17.“石头､剪刀､布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是：双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局．假设每局比赛中，每人出各种手势的可能性相同．（1）若甲､乙两人进行一局比赛，求甲获胜的概率；（2）若甲､乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率．解：（1）用分别表示甲､乙两人出拳手势，则可以用表示一局比赛的结果，以分别表示出拳手势为石头､剪刀､布，则甲､乙两人进行一局比赛的结果包含的基本事件有：共9种，记事件“甲､乙进行一局比赛甲获胜”，则包含基本事件有共3种，所以，即甲获胜的概率为；（2）记事件“甲､乙两人进行三局比赛，甲获胜局数多于乙获胜局数”，则包含甲胜三局，甲胜两局负一局，甲胜两局平一局，甲胜一局平两局四种情况，由（1）可知，一局比赛甲获胜概率为，同理乙获胜概率为，平局概率为，所以，甲胜三局的概率，甲胜两局负一局的概率，甲胜两局平一局的概率，甲胜一局平两局的概率，所以，即甲获胜局数多于乙获胜局数的概率为.18.如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中，为的中点，为上的动点．（1）求证：平面；（2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）当到平面的距离为时，与平面的交点为，求的长．（1）证明：由已知，以D为原点，DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，各点坐标为：,向量,，所以，，所以，因为，且平面，所以平面.（2）解：当F为PC中点时，，则，设平面的法向量为，则，令，得到，由（1）知平面，所以取平面法向量；设平面与平面夹角为，则.（3）解：因为为上的动点，所以设，所以，，平面的法向量为，则，令，则.因为到平面的距离为，所以，化简得到，解得或（舍去），所以，，设，令，则，所以，即，所以，即，化简得到，所以，所以.19.椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线与椭圆交于两点，为椭圆的右焦点，且．①证明：直线过定点；②设点关于原点的对称点为，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为．证明：为定值．（1）解：依题意：因为，所以，因，所以，则，所以椭圆的标准方程为；（2）（i）证明：当直线的斜率不存在时，，此时直线的方程为．当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由，消得，由，得所以由（1）可知，，则，同理，所以，化简得，代入（式得：，即，，所以或．当时，直线过定点，与直线斜率不存在时为相矛盾，不合题意．当时，直线过定点，满足，符合题意．所以，直线过定点；（ii）解：连接，由椭圆的对称性，为的中点，因为，所以为的重心，所以为的中点，即，所以，由，所以．所以为定值．山东济宁市2025-2026学年高二第一学期质量检测数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】由题可得，所以.故选：B.2.在等差数列中，，则（）A.8 B.10 C.12 D.13【答案】B【解析】设等差数列的公差为，则，即所以，所以，故选：B.3.将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】连续抛两次骰子样本总量为，由点数均为正整数，可得当时，，当时，，当时，，当时，，不符合题意舍去，当时，，不符合题意舍去，当时，，不符合题意舍去，所以满足题设条件的样本点有，即的概率，故选：C.4.已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】由题可得，所以.故选：A5.在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如图所示：.故选：C.6.已知圆，圆，则它们公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】将，化为标准方程得到；则圆心，半径；将，化为标准方程得到；则圆心，半径；圆心距，因为，所以两圆内切，公切线有1条.故选：A.7.已知直线，直线相交于点，则的最大值为（）A. B. C.8 D.18【答案】D【解析】因为，所以，又直线：，则过定点，直线：，则过定点，因为且交于，所以，所以点P的轨迹是圆心为AB中点、半径为的圆，所以点的轨迹方程为，表示该圆上的点到原点的距离的平方，又圆上点到原点的最大距离为，所以的最大值为.故选：D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】设切点为N，连接ON，作作，垂足为A，由，且为的中位线，可得，即有，在直角三角形中，可得，即有，由双曲线的定义可得，可得，所以，所以，故选A.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分9.记数列的前项和为，若，且数列是等比数列，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因为，所以，设的公比为q，则，即，解得所以，即，得到，选项A正确；，由，选项B错误；当时，，当时，也满足上式，故，选项C错误；，选项D正确；故选：AD.10.已知曲线的两个焦点分别为，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（）A.当时，曲线的长轴长为4B.当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为C.当时，使为直角三角形的点有6个D.当时，若，则【答案】BCD【解析】当时，曲线表示椭圆，若，焦点在x轴上，长轴长；若，焦点在y轴上，长轴长，选项A错误；当时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线：，渐近线为，已知渐近线为，所以，所以，此时，焦距为，选项B正确；当时，曲线C为椭圆，焦点，直角在或：过​作x轴垂线，各交椭圆于2点，共4个点；直角在P：以为直径作圆，与椭圆方程联立解得，共2个点，所以使为直角三角形的点有6个，选项C正确；当时，曲线C为双曲线：，由双曲线的定义得到，根据对称性不妨假设左焦点为，右焦点为，因为右支上的点到左焦点的最小距离为，故P在左支，所以，所以，选项D正确；故选：BCD.11.已知正方体的棱长为1，点为正方体表面上的动点，则下列说法中正确的是（）A.若点在上，则四面体的体积为定值B.在面（含边界）内，存在点使得C.若点在面（含边界）内，且满足的面积为，则点的轨迹为椭圆的一部分D.若点在面（含边界）内，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，因为平面，平面，所以平面，因为点在上，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，如图以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，所以到平面的距离为又为边长为等边三角形，所以，所以四面体的体积为，故A正确；对于B，根据A可知设，所以，若，则，即，解得，不满足，所以在面（含边界）内，不存在点使得，故B错误；对于C，设点到的距离为，则，又，所以，所以点到的距离为，设，，所以，即，所以点的轨迹为椭圆的一部分，故C正确；对于D，设，则，设平面的法向量为，则，解得，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确；故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.假设，且与相互独立，则__________．【答案】0.7或【解析】因为与相互独立，所以，所以，故答案为：0.713.曲线在点处的切线与直线平行，则__________．【答案】【解析】因为，所以，则，直线的斜率为，依题意可得，解得.故答案为：.14.数学课上，小明同学给出了一种用数字1，2生成新数列的方法：每次都在相邻的两数之间插入一个数，若相邻两数的和为奇数，则插入数字1；若相邻两数的和为偶数，则插入数字2．即第一次生成数列；第二次生成数列；第三次生成数列；如此继续下去，记第次生成数列的项数为，第次生成数列的所有项的和为，则__________，__________．【答案】①.2026②.【解析】第一空；由题可得，则第四次生成数列为：，得，，得，所以，则数列是首项为、公比为2的等比数列，所以，即，得得．第二空：由题可得,,,,,依次类推，当为奇数时，，当为偶数时，，则当且为奇数时，，令，得，得，得，得，而，则当为奇数时，数列为等比数列，且首项为，公比为4，由于为奇数，则，得，当为偶数时，，故，故答案为：2026，四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）直线与圆相交于两点，且，求的值．解：（1）方法1：设所求方程为，则，解得，所以圆的方程是．方法2：由，则线段的中点为，直线的斜率为，所以线段的垂直平分线的方程为，即．联立，解得，所以圆心，圆的半径，所以圆的方程是．（2）圆心到直线的距离，所以，解得或．16.在数列中，，，记．（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；（2）设为的前项和，求数列的前项和．（1）证明：因为，所以，则，又，即，所以数列是首项，公差为的等差数列．所以，即，所以，即数列的通项公式为．（2）解：因为，所以，所以所以.17.“石头､剪刀､布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是：双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局．假设每局比赛中，每人出各种手势的可能性相同．（1）若甲､乙两人进行一局比赛，求甲获胜的概率；（2）若甲､乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率．解：（1）用分别表示甲､乙两人出拳手势，则可以用表示一局比赛的结果，以分别表示出拳手势为石头､剪刀､布，则甲､乙两人进行一局比赛的结果包含的基本事件有：共9种，记事件“甲､乙进行一局比赛甲获胜”，则包含基本事件有共3种，所以，即甲获胜的概率为；（2）记事件“甲､乙两人进行三局比赛，甲获胜局数多于乙获胜局数”，则包含甲