2025-2026学年山东泰安市高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东泰安市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】因为直线是垂直于轴的直线，其斜率不存在，根据倾斜角的定义，斜率不存在的直线倾斜角为，或者从几何角度，该直线平行于轴，与正向轴的夹角为，因此倾斜角为.故选：C.2已知函数，则（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由导数法则求导得：，代入得：.故选：B.3.已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为点为线段的中点，所以因此故选：B.4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（）A.0 B.1 C.2 D.-13【答案】C【解析】已知，直线的方向向量，平面的法向量，平面的法向量，因为：所以，即，所以，又因，所以，即，所以，所以.故选：C.5.已知等差数列的前项和为，则（）A.2 B.14 C.20 D.28【答案】B【解析】因为等差数列的前项和为，设公差为，则，即,所以,故选：B.6.在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知点，则，所以点到平面的距离为.故选：A.7.已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（）A.4 B. C. D.8【答案】D【解析】，，，，设右焦点为，左焦点，，，当点共线时取等号，，，，，的最大值为.故选：D.8.对圆上任意一点，若的值与都无关，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的圆心为，半径，由点在圆上知，∴，∴，则若的值与都无关，可得恒成立，即恒成立，从而得令，即，易知直线与圆有公共点，则，解得故实数的取值范围是故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.已知点是点在坐标平面内的射影，则B.若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底C.已知向量，若，则为钝角D.若，则在上的投影向量为【答案】ABD【解析】点是点在坐标平面内的射影，所以点的坐标为，所以.所以A正确.若为空间一个基底，则不在由确定的平面内.则均在由确定的平面内，且不共线，所以可与构成空间的另一个基底.所以B正确.已知向量，若，则，此时，，所以C错误.若，则在上的投影向量为.所以D正确.故选：ABD.10.下列选项正确的有（）A.圆与圆有3条公切线B.已知圆，直线，则直线与圆相交或相切C.由圆上任意一点，向圆引两条切线，切点为，则四边形为正方形D.圆上到直线的距离为2的点恰好有3个【答案】BC【解析】对于A：易知圆圆心为,半径为，圆的圆心,半径为因为,因此两圆相交，所以圆与圆有条公切线，A错误；对于B：直线恒过点，易知点在圆上，则直线与圆相交或相切，B正确；对于C：圆的圆心为,半径；圆的圆心为,半径；即两圆圆心重合，设圆心为，则,得,即四边形为正方形，C正确；对于D：圆心到直线的距离为,圆的半径为，所以圆上分布在直线两侧的点到直线距离的最大值分别为；因此仅有直线的一侧存在圆上的点到直线的距离为2，由对称性可知距离为2的点有2个，D错误.故选：BC.11.已知数列满足，且的前项和为，则下列选项正确的有（）A.数列是递减数列B.C.存在，使得D.【答案】ABD【解析】选项A：因为，则由递推关系，，可知，所以，则，即，所以，数列是递减数列，故A正确；选项B：由，可得.由A项结论，数列是递减数列，且，则，所以，因此，，故B正确；选项C：由选项A分析可知，又，则任意，，所以不存在使得，，故C错误；选项D：由C项分析可知，当时，，即中等号成立；当时，（），而，代入（）得因此对任意，有，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若共面，则__________.【答案】【解析】由题意知，共面，则存在实数使得，则代入坐标得：所以，由可得，将代入第一个方程得，即，因此，将代入第三个方程得，即，故答案为：.13.已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________.【答案】18【解析】设双曲线的两个焦点分别为，双曲线，即，则，可得，不妨设，则，即，解得，且，符合题意，所以点与另一个焦点的距离等于18.故答案为：18.14.已知直线与抛物线相交于两点，将坐标平面沿轴折叠成二面角，则折叠后__________.【答案】【解析】直线与抛物线联立方程组，可得，解得或，设，，设直线与轴交点坐标为，则，将坐标平面沿轴折叠成的二面角，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示，则，，因为，所以，所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线的方程；（2）证明：（1）中直线与函数的图象也相切.（1）解：由题意知，，∴切线的斜率为1.∴切线方程为.（2）证明：设为函数图象上一点，.令点处切线斜率为1，则，.当时，，此时.∴点处的切线方程为，不符合题意.当时，，此时.∴点处的切线方程为，∴直线与函数的图象相切.16.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程.解：（1）∵线段的中垂线为，∴圆心在直线上，又因为圆心在直线上，联立，得，即圆心为，∴半径，∴圆的标准方程为：.（2）设圆心到直线的距离为，，，，，当斜率不存在时，直线的方程为，，符合题意，当斜率存在时，设其斜率为，∴直线的方程为，即，∴圆心到直线的距离，解得，∴直线的方程为，即，∴综上所述，直线的方程为或.17.已知数列，前项和为，且，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，，当时，由，得，，是以2为首项，2为公比的等比数列，.（2）由题知∴数列的前项和.18.如图，为圆柱的母线，为下底面圆周上的点，与直径交于点为中点，为直径上的动点.（1）证明：；（2）若圆柱的体积为，侧面积为，二面角的正弦值为.（i）求；（ii）设直线与平面，平面所成角分别为，求的最大值.（1）证明：为圆柱的母线，平面，平面，且为中点，，，平面平面，.（2）（i）解：由（1）得，为二面角的平面角.设圆柱的半径为，高为，则.解得，即，，，，在中，，，∴.故.（ii）解：以为原点，建系如图，其中轴与垂直，则，，平面，与平面所成角为，，设，，设平面的一个法向量为，即，取，得，又.，，令，即，，∴当，即时，的最大值为.19.已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）设双曲线上一动点，圆上一动点，且直线与圆相切，求的最小值；（3）若双曲线上存在异于点的两点，直线与轴分别交于点，且关于原点对称，点在直线上，且.证明：存在点，使得为定值.解：（1）∵双曲线的渐近线方程为且点在双曲线上，，解得.∴双曲线方程为.（2）圆的圆心，半径为1.是圆上的动点，直线与圆相切...设因为点是双曲线上动点，..∴当时，取得最小值.（3）由题意知，直线斜率存在，设直线方程为.联立方程组，得.则且.且①.设.则.∴直线的方程为.令，得，即.同理可得.为中点...将代入得.整理得.即.或.当时，①式有解.直线方程为.此时直线过定点，不合题意.当时，①式有解，直线方程为恒过定点.为定值.为直角三角形且为斜边.∴点在以为直径的圆上.∴当为的中点时，.山东泰安市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角是（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】因为直线是垂直于轴的直线，其斜率不存在，根据倾斜角的定义，斜率不存在的直线倾斜角为，或者从几何角度，该直线平行于轴，与正向轴的夹角为，因此倾斜角为.故选：C.2已知函数，则（）A. B.0 C. D.【答案】B【解析】由导数法则求导得：，代入得：.故选：B.3.已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为点为线段的中点，所以因此故选：B.4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，若且，则（）A.0 B.1 C.2 D.-13【答案】C【解析】已知，直线的方向向量，平面的法向量，平面的法向量，因为：所以，即，所以，又因，所以，即，所以，所以.故选：C.5.已知等差数列的前项和为，则（）A.2 B.14 C.20 D.28【答案】B【解析】因为等差数列的前项和为，设公差为，则，即,所以,故选：B.6.在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知点，则，所以点到平面的距离为.故选：A.7.已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（）A.4 B. C. D.8【答案】D【解析】，，，，设右焦点为，左焦点，，，当点共线时取等号，，，，，的最大值为.故选：D.8.对圆上任意一点，若的值与都无关，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圆的圆心为，半径，由点在圆上知，∴，∴，则若的值与都无关，可得恒成立，即恒成立，从而得令，即，易知直线与圆有公共点，则，解得故实数的取值范围是故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（）A.已知点是点在坐标平面内的射影，则B.若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底C.已知向量，若，则为钝角D.若，则在上的投影向量为【答案】ABD【解析】点是点在坐标平面内的射影，所以点的坐标为，所以.所以A正确.若为空间一个基底，则不在由确定的平面内.则均在由确定的平面内，且不共线，所以可与构成空间的另一个基底.所以B正确.已知向量，若，则，此时，，所以C错误.若，则在上的投影向量为.所以D正确.故选：ABD.10.下列选项正确的有（）A.圆与圆有3条公切线B.已知圆，直线，则直线与圆相交或相切C.由圆上任意一点，向圆引两条切线，切点为，则四边形为正方形D.圆上到直线的距离为2的点恰好有3个【答案】BC【解析】对于A：易知圆圆心为,半径为，圆的圆心,半径为因为,因此两圆相交，所以圆与圆有条公切线，A错误；对于B：直线恒过点，易知点在圆上，则直线与圆相交或相切，B正确；对于C：圆的圆心为,半径；圆的圆心为,半径；即两圆圆心重合，设圆心为，则,得,即四边形为正方形，C正确；对于D：圆心到直线的距离为,圆的半径为，所以圆上分布在直线两侧的点到直线距离的最大值分别为；因此仅有直线的一侧存在圆上的点到直线的距离为2，由对称性可知距离为2的点有2个，D错误.故选：BC.11.已知数列满足，且的前项和为，则下列选项正确的有（）A.数列是递减数列B.C.存在，使得D.【答案】ABD【解析】选项A：因为，则由递推关系，，可知，所以，则，即，所以，数列是递减数列，故A正确；选项B：由，可得.由A项结论，数列是递减数列，且，则，所以，因此，，故B正确；选项C：由选项A分析可知，又，则任意，，所以不存在使得，，故C错误；选项D：由C项分析可知，当时，，即中等号成立；当时，（），而，代入（）得因此对任意，有，故D正确；故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若共面，则__________.【答案】【解析】由题意知，共面，则存在实数使得，则代入坐标得：所以，由可得，将代入第一个方程得，即，因此，将代入第三个方程得，即，故答案为：.13.已知双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于2，则点与另一个焦点的距离等于__________.【答案】18【解析】设双曲线的两个焦点分别为，双曲线，即，则，可得，不妨设，则，即，解得，且，符合题意，所以点与另一个焦点的距离等于18.故答案为：18.14.已知直线与抛物线相交于两点，将坐标平面沿轴折叠成二面角，则折叠后__________.【答案】【解析】直线与抛物线联立方程组，可得，解得或，设，，设直线与轴交点坐标为，则，将坐标平面沿轴折叠成的二面角，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接，如图所示，则，，因为，所以，所以.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求函数的图象在点处的切线的方程；（2）证明：（1）中直线与函数的图象也相切.（1）解：由题意知，，∴切线的斜率为1.∴切线方程为.（2）证明：设为函数图象上一点，.令点处切线斜率为1，则，.当时，，此时.∴点处的切线方程为，不符合题意.当时，，此时.∴点处的切线方程为，∴直线与函数的图象相切.16.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点作直线交圆于两点，若，求直线的方程.解：（1）∵线段的中垂线为，∴圆心在直线上，又因为圆心在直线上，联立，得，即圆心为，∴半径，∴圆的标准方程为：.（2）设圆心到直线的距离为，，，，，当斜率不存在时，直线的方程为，，符合题意，当斜率存在时，设其斜率为，∴直线的方程为，即，∴圆心到直线的距离，解得，∴直线的方程为，即，∴综上所述，直线的方程为或.17.已知数列，前项和为，且，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）当时，，，当时，由，得，，是以2为首项，2为公比的等比数列，