2027届高三学情检测（九月）数学试题（含答案）

高三学情检测(九月)

数学

(试卷满分：150分，考试时间：120分钟)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指

定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将

答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，请将答题卡上交。

4.本卷主要命题范围：集合和常用逻辑用语、不等式、函数、导数。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.命题“Vx∈R,x-1>x²”的否定是

A.3x∈R,x-1≤x²B.3x∈R,x-1<x²

C.Vx∈R,x-1>x²D.Vx∈R,x-1≤x²

2.若集合M={x|2x-1>6},N={x∈N*|-1<x<6},则(CM)∩N=

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}

3.函数f(x)=x³+sinx的大致图象为

A.B.C.D.

4.设甲：a||+|b≤2,乙：a²+b²≤2,则甲是乙的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,3]时，f(x)=x²—3x+2,则函

数f(x)在区间[0,30]上的零点个数为

A.10B.18C.20D.30

【高三数学第1页(共4页)】

6.若在区间[m,m+3]上，函数f(x)=3ˣ-3的最小值不小于g(x)=-x²+3x+4的最大值，

则正数m的取值范围为

A.(0,2)B.(2,+∞)

C.(2,十∞)D.(2,4)

7.曲线y=lnx与曲线y=x²+2ax有公切线，则实数a的取值范围是

B

8.已知ab>0,且4a²—ab+b²—c=0,兰取最小值时，a+2b—c的最大值为

D

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a(x+a)(x—1)>0(a<0)的解集可能为

A.{x|1<x<-a}B.{x|—a<x<1}

C.{x|-1<x<0}D.{x|x<-a或x>1}

10.已知函数f(x)的定义域为R,其导数f(x)满足f'(x)-2f(x)>0,则

A.f(2)>e²f(1)B.f(-1)>e⁴f(1)

C.4f(1)>e²f(ln2)D.e⁴f(0)>f(2)

11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(2—x)+g(x)=3,f(x)-g(x-4)=5.若f(x+2)

是偶函数，f(2)=2,则

A.f(x)是奇函数B.4是g(x)的一个周期

D.f(1²+2²+…+2025²)=4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知关于x的方程x²+(m-4)x+5—2m=0有两个不相等的实数根，且两个根均大于0,

则实数m的取值范围为

13.若函数的图象关于点(a,0)对称，则a+b=

14.已知函数f(x)=(1—x)e²,点(a,b)在曲线y=f(x)上，则f(a)-f(b)的最大值为

【高三数学第2页(共4页)】

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(本小题满分13分)

(1)当m=1时，求AUB,A∩B;

(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

16.(本小题满分15分)

已知a>0,b>0,且a+b=2,证明：

(1)a²b+ab²≤2;

(2)

17.(本小题满分15分)

已知幂函数f(x)=(m²-3)·x”在(0,十∞)上单调递减.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若Vx∈[1,2],恒成立，求a的取值范围.

【高三数学第3页(共4页)】

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b).当x<0时，

f(x)>1,且f(0)≠0.

(1)求f(0)的值，并证明：当x>0时，0<f(x)<1;

(2)判断f(x)的单调性，并证明；

(3)若,求不等式的解集.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=e⁻¹,g(x)=lnx+1,设函数h(x)=f(x)-mg(x).

(1)当m=1时，求h(x)的极值点；

(2)证明：当m>0时，h(x)≥-mlnm;

(3)若对任意x>0,都有g(x)≤ax+b(x-1)²≤f(x)恒成立，求a+b的取值范围.

【高三数学第4页(共4页)】

高三学情检测(九月)·数学

参考答案、提示及评分细则

1.A命题“Vx∈R,x-1>x²”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“Vx∈R,x-1>x²”的否

定是“3x∈R,x-1≤x²”.故选A.

2.B由题意知

(CM)∩N={1,2,3}.故选B.

3.D由f(一x)=-x³-sinx=-f(x),可得函数f(x)为奇函数，可排除A,B选项，又由f(1)=1+sin1>0,可

排除C选项，可知答案为D.

4.B若|a|+|b|≤2,取a=2,b=0,不满足a²+b²≤2,所以甲不是乙的充分条件.若a²+b²≤2,即|al²+|b|2

≤2,由基本不等式：,即|a|+|b≤2,所以甲是乙的必要条件.综上所述，甲是

乙的必要不充分条件.故选B.

5.C当x∈[0,3]时，f(x)=x²-3x+2=0时，x=1,x=2,此时f(x)有2个零点，∵f(x+3)=f(x),∴f(x)

的周期为3,[0,30]共有10个周期，零点个数2×10=20.故选C.

6.B如图，作出f(x)=3-3与g(x)=-x²+3x+4的图象，可得f(2)=g(2).

由图可知，当0<m<2时，f(x)在[m,m+3]上的最小值总小于g(x)的最大值；

当m≥2时，f(x)在[m,m+3]上的最小值不小于g(x)的最大值.故选B.

7.C设y=1nx,y=x²+2ax图象上的切点分别为(x₁,Inx₁),(x₂,x2+2ax₂),则过

这两点处的切线方程分别为

2a,Inx₁-1=-x²,所以2a=e²-1-2x₂,设f(x)=e²-1—2x,f(x)=2(re²-1-

1),f(1)=0,f"(x)=2(2x²+1)e²-¹>0,则f(x)在(一∞,1)上单调递减，在(1,

十∞)上单调递增，所以2a≥f(1)=-1,.故选C.

8.A因为4a²—ab+b²—c=0,所以c=4a²—ab+b²,所

3,当且仅当,即b=2a时等号成立，所以a+2b—c=a+2×2a-[4a²-a×2a+(2a)²]=-6a²+5a

,所以a+2b—c的最大值为.故选A.

9.AB当a<0时，函数y=a(x+a)(x-1)开口向下，

若a=-1,不等式解集为；

若-1<a<0,不等式的解集为{x|-a<x<1},

若a<-1,不等式的解集为{x|1<x<-a}.

综上，A、B项都可能成立.故选AB.

10.AC设

因为对任意的x∈R都有f'(x)-2f(x)>0,则F'(x)>0恒成立，所以F(x)在R上单调递增；

因为1<2,所以,即e²f(1)<f(2),所以A正确；

【高三数学参考答案第1页(共4页)】

因为-1<1,所以,即f(-1)<e⁻¹f(1),所以B错误；

因为In2<1,所以,即4f(1)>e²f(In2),所以C正确；

因为0<2,所以,即e¹f(0)<f(2),所以D错误；故选AC.

11.BCD由f(x)-g(x—4)=5,用x+4代入x得f(x+4)-g(x)=5,又f(2-x)+g(x)=3,两式相加得

f(x+4)+f(2—x)=8,由f(x+2)是偶函数，得f(2+x)=f(2—x),代入上式得f(x+4)+f(2+x)=8,

用x+2代入x得f(x+6)+f(4+x)=8,由此得到f(x)=f(x+4),又因为f(4+x)=f(一x),所以f(x)

=f(一x),f(x)为偶函数，A选项错误；

由f(x)-g(x-4)=5,用x+2代入x得f(x+2)-g(x-2)=5,又f(2-x)+g(x)=3,两式相减得g(x)

十g(x—2)=-2,所以g(x-2)+g(x-4)=-2,因此g(x)=g(x-4),即4是g(x)的一个周期，B选项

正确；

由f(2)+g(0)=3可得g(0)=1,所以g(4)=g(0)=1,由f(2)-g(-2)=5可得g(-2)=-3,所以g(2)

=g(-2)=-3,由f(1)+g(1)=3,f(1)-g(一3)=5,可得g(1)=g(-3)=-1,由f(3)+g(-1)=3,

f(3)—g(-1)=5,可得g(-1)=-1,所,C选项正确；

因为奇数的平方除4的余数为1,所以f(1²+2²+…+20252)=f(1013)=f(1)=4,D选项正确.故

选BCD.

12.或m<-2由题意得

或m<-2.

13.2由f(x)+f(2a-x)=0可得所以a=1,故

,所以b=1,所以a+b=2.

14.1求导得f'(x)=-xe²,当x∈(-∞,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x∈(0,十∞)时，f'(x)<0,f(x)

单调递减，所以f(x)≤f(O)=1,点(a,b)在曲线y=f(x)上，则b∈[-∞,1],所以f(a)一f(b)=b—f(b)=

b+(b—1)e⁵,设g(b)=b+(b—1)e⁵,g'(b)=1+be,[g'(b)]=(b+1)e,当b∈(-∞,-1)时，g′(b)单调递

减；当b∈(-1,1)时，g'(b)单调递增，所以,故g(b)单调递增，故g(b)≤g(1)=

1,即f(a)-f(b)的最大值是1.

15.解：(1)当m=1时，A={x|1<x<2},……………………2分

因为

所以AUB={x|1<x<7},…………………4分

;……………………6分

(2)因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，

所以集合A是集合B的真子集，

因为m<m²+1恒成立，……………………8分

所以集合A≠x,10分

【高三数学参考答案第2页(共4页)】

所以解得

故实数m的取值范围为.…………13分

16.证明：(1)a²b+ab²=ab(a+b)=2ab,2分

因为a>0,b>0,2=a+b≥2√ab,则0<ab≤1,当且仅当a=b=1时等号成立，………5分

所以a²b+ab²≤2;……………6分

………………10分

由(1)有0<ab≤1,有ab+3≤4,-ab≥-1,有………………12分

当且仅当a=b=1时等号成立，

………………………15分

17.解：(1)因为幂函数f(x)=(m²-3)·x"在(0,十∞)上单调递减，所以………………4分

解得m=-2,所以f(x)的解析式为f(x)=x⁻²;………7分

(2)由,可得,则,……………………10分

因为在[1,2]上单调递增，

所以在[1,2]上单调递增，所以当x=1时，取得最小值1.…………13分

所以a的取值范围为(-∞,1).……………15分

18.(1)解：令a=b=0,则[f(O)]²=f(0),又f(0)≠0,所以f(O)=1.………2分

证明：当x>0时，一x<0,所以f(一x)>1,

又f(x)f(一x)=f(x—x)=f(0)=1,所以,所以0<f(x)<1;………4分

(2)f(x)在R上单调递减.

证明：设x₁<x₂,则f(x₁)-f(x₂)=f(x₁-x₂+x₂)一f(x₂)=f(x₁-x₂)f(x₂)一f(x₂)=f(x₂)[f(x₁-

x2)-1],6分

又x₁<x₂,所以x₁-x₂<0,所以f(x₁-x2)>1,又当x<0时，f(x)>1,当x>0时，0<f(x)<1,f(0)=1,

所以f(x₁)-f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),8分

所以f(x)在R上单调递减；………………10分

(3)解：因为,所以

所以,即f(5t²—6t)>f(8),……………14分

又f(x)在R上单调递减，所以5t²—6t<8,15分

【高三数学参考答案第3页(共4页)】

解得,所以不等式的解集为.……17分

19.(1)解：当m=1时，h(x)=e-¹-Inx-1,则

因为y=e-1均为增函数，所以单调递增，所以当x∈(0,1)时，h'(x)<0,当x∈

(1,十∞)时，h'(x)>0,所以h(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,十∞)上单调递增.……………3分

所以函数h(x)的极小值点是x=1,无极大值点；…………4分

(2)证明,由(1)可知，当m>0时，h'(x)单调递增，……5分

取x₁<1且x₁<m,则,取x₂>1且x₂>1+Inm,则h'(x₂)>e₂-