初二数学（北京版）-一次函数的应用（第一课时）-1教案

教案教学基本信息课题一次函数的应用第一课时学科数学学段：第三学段年级初二教材书名：数学出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点目标：本节课主要涉及一次函数的概念和性质，通过分析实际问题，建立一次函数（含分段函数）模型，并利用一次函数的有关知识（概念、表达式、性质等）解决实际问题。发展学生的分析能力，模型思想，应用意识等。教学重点：一次函数的应用.教学难点：分段计价的理解，求最大利润，已知函数值求自变量.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入屏幕前的同学们，大家好，前面几节课同学们学习了一次函数的概念、图象和性质。学以致用，今天开始，我们一起来学习一次函数的应用，本部分共分4课时，今天是第一课时。我们知道，数学知识并不是孤立存在的，数学知识之间，数学与其它学科之间，数学和生产生活之间存在着广泛联系，一次函数当然也不例外。这种联系一方面体现在很多数学知识都来源于实际问题，另一方面数学知识又能用来解决实际问题。关于数学知识的应用，我们已经有过不少经验，大概经过如下的环节：首先，把一个实际问题抽象成数学问题，通过数学方法得到数学问题的解，再把数学问题的解还原成实际问题的解，这样就解决了实际问题，过去我们抽象成的数学问题曾经是算式、方程或不等式，这节课，我们要经历把实际问题抽象成一次函数并加以解决的过程，体会一次函数是描述现实世界变量间关系的常见模型，用一次函数的知识可以帮助我们解决很多实际问题。介绍本节课的知识背景并引入新课，激发学生的学习兴趣新课例1.已知等腰三角形的腰长为10，底边长为12，现将底边长变为原来的2倍，腰长增加x.(1)列出现在三角形周长y与x的函数表达式，并指出自变量的取值范围；（2）求当x为何值时，周长y变为原来的3倍.解：（1）y=12×2＋（10＋x）×2.化简得y=2x+44.自变量的取值范围是x>2（2）依题意得，y=32×3=96，把y=96代入y=2x+44得2x+44=96.解得x=26.答:当x=26时，周长变为原来的3倍。小结：1.首先要理清实际问题的数量关系，根据数量关系求函数表达式。2.在实际问题中，字母所表示的变量有实际背景，要使实际问题有意义，这些变量往往有限制条件，我们要找到这些限制条件，并通过这些限制条件求自变量的取值范围；3.通过例1可以看出，函数和方程有着密切联系，函数问题往往可以转化为方程问题进行求解。事实上，当已知一次函数的自变量或因变量时，函数表达式就是一个例2.某生产资料门市部出售化肥，每袋售价80元.为了促进销售，规定了优惠办法：买3袋按售价计算，从第4袋开始，每袋优惠5%.（1）写出购买这种化肥的总金额M（元）与购买袋数n的函数表达式，并指出它的自变量的取值范围；（2）为了快速得到购买这种化肥的总金额，利用这个函数的表达式制作一个购买1~10袋化肥的总金额对照表.解（1）：当0≤n≤3时，函数的表达式为M=80n.自变量n的取值范围是0≤n≤3且n是整数当n≥4时，函数的表达式为M=76n+12.自变量n的取值范围是n≥4且n是整数（2）小结：1.分段（计价）问题要分段处理；2.要写出每段中自变量的取值范围；3.对于给定自变量的值要判断在哪一段，在哪一段，就用这一段对应的函数表达式解决.思考：如果给定的是函数值呢？练习1.北京居民用水价按家庭年用水量计算，标准如下：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/立方米；第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；第三阶段为260立方米以上，水费价格为9元/立方米.设家庭年用水量x立方米，年水费y元.（1）请列出y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（2）某户去年缴纳水费1145元，该户去年用水量是多少？解（1）当0≤x≤180时，y=5x；当180<x≤260时，y=7x-360.当x>260时，y=9x-880.（2）5×180=900,7×260-360=1460,因为900<1145<1460，所以把=1145代入y=7x-360中，得1145=7x-360解得x=215.答：该户去年用水量为215立方米小结：如果给定分段函数的函数值，应先判断是哪段的函数值，再代入那一段求解.思考：会不会出现已知函数值在多个阶段呢？有没有更简洁的判断方法？例3某工厂每天生产A，B两种品牌的零件共600件.A，B两种零件的成本及利润如下表.设每天生产A种零件x件，每天获利y元.请写出y与x的函数表达式；（2）如果该零件厂每天投入成本27000元，那么每天获利多少元？(3)如果每天生产的两种零件都不少于200件，该厂应如何安排生产才能获利最大，最大利润是多少？解：（1）y=20x+15×（600-x）化简得y=5x+9000，其中x大于等于0小于等于600，且x是整数.（2）依题意得，27000=50x+35×（600-x），解得x=400，代入函数表达式得y=5×400+9000=11000。答：如果每天投入成本27000元，每天获利11000元.（3）对于函数y=5x+9000来说，k=5>0,所以y的值随x的增大而增大，当x取最大值时，y有最大值,而由之前的分析得到，200≤x≤400，所以当x取最大值400时，y有最大值，最大值是5×400+9000=11000。我们把这个数学问题的解还原为实际问题的解，即：每天生产A种零件400件，B种零件200件时利润最大，最大利润为11000元.小结：1.条件较多时要聚焦相关条件；2.通过一次函数的性质可以解决一些最大值（或最小值）问题，应用时要确定自变量的取值范围.变式：设每天生产B种零件x件，其它条件不变。由于总件数还是600，B种零件x件，那么A种零件就是（600-x）件。请写出y与x的函数表达式；如果每天生产的两种零件都不少于200件，该厂应如何安排生产才能获利最大，最大利润是多少？解（1）由题意得，y=20（600－x）+15x化简得y=－5x+12000.（3）在函数y=－5x+12000中，k=-5<0，y随x的增大而减小，当x取最小值时，y有最大值，而200≤x≤400，所以当x取最小值200时，y有最大值，最大值是－5×200+12000=11000.答：每天生产A种零件400件，B种零件200件时利润最大，最大利润为11000元.函数表达式的求法和自变量取值范围的求法分段计价问题的分析方法和分段函数的应用阶梯水价问题的理解和分段函数的应用利润最大值问题的理解和应用总结本节课我们遇到了以下几个一次函数问题：根据题目条件列出一次函数（含分段函数）表达式；根据实际问题的意义确定自变