初二数学（北京版）一元二次方程1教案

教案教学基本信息课题16.1一元二次方程学科数学学段：初中年级八年级教材书名：义务教育教科书数学八年级下册出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点1.经历对一元二次方程概念的归纳探究，理解一元二次方程的概念.2.理解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，并能对一元二次方程进行整理、分类.3.通过对一元二次方程概念的学习，提升学生自主学习的意识和分类能力，积累数学活动经验.教学重点:理解一元二次方程的概念及一般形式教学难点:根据系数关系对方程进行分类教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们，大家好。在前面的学习中我们学习了整式方程中的一元一次方程和二元一次方程，我们发现将一元一次方程中的未知数的个数由一个变成两个，此时方程就具备了二元一次方程的特征，如果将一元一次方程中的未知数的最高次数由一次变成2次，此时方程又具有哪些特征呢?接下来我们一起来进行今天的学习.在一元一次方程的基础上进行变化展开今天所学内容新课问题1:你能举出含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程吗？2x2－3=0，x(x－2)=－6，-2.4m2＋5=6m，，-9a2=0，3y＋1=－12y2，3m(m－1)=5，-2x2＋2x=0，x2＋8=－6x，1x2=2，x(x+5)=0，-7y问题：以上所列举的方程符合要求吗?1x问题2：你能将上述整式方程按要求整理吗?=1\*GB3①二次项系数为正；=2\*GB3②等号左边按未知数的降幂排列；=3\*GB3③等号右边等于0.x(x－2)=－6解:去括号,得x2－2x=－6移项,得x2－2x＋6=0-2.4m2＋5=6m解:移项,得-2.4m2-6m+5=0方程两边同时乘以－1,得2.4m2＋6m－5=0-9a2=0解:两边同时乘以－1,得9a2=03y＋1=－12y解:移项,得3y＋1＋12y2降幂排列,得12y2＋3y3m(m－1)=5解:去括号,得3m2－3m=5移项,得3m2－3m－5=0x2+8=-6x解:移项,得x2+8+6x=0.-2x2＋2x=0解:两边都同时乘以－1,得2x2－2x=0-7y2-5=0解:两边都同时乘以－1,得7y2+5=0x(x+5)=0解:去括号,得x2+5x=0整理后的方程：2x2-3=0；x2-2x+6=0；2.4m2+6m-5=0；9a2=0；12y2+3y+1=0；3m2-3m-5=0；x2+6x+8=0；)x(x+5)=0；-7y2问题3：上述整式方程在结构上有什么共同特点？=1\*GB3①只含有一个未知数；=2\*GB3②未知数的最高次数是2；那么像这样的方程我们可以用ax2＋bx＋c=0（a≠0）来表示这就是我们今天要学习的一元二次方程.一元二次方程:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0）其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.思考：a为什么不等于0，而b和c却可以等于0？当a=0时，ax2＋bx＋c=0bx＋c=0不含有关于x的二次项，不是一元二次方程当a≠0时b或c为0时,此时方程变为:ax2＋bx＋c=0（a≠0）b=0,c≠0ax2＋c=0b≠0,c=0ax2＋bx=0b=0，c=0ax2=0依据一元二次方程的定义可以判断上面的方程是一元二次方程，所以b，c可以取0，因此b，c取全体实数.注：一元二次方程是整式方程中的一种，我们今后还会学习更多的方程通过对方程进行分类，寻找出具有某些共同特征的方程归纳为一元二次方程，从而得出一元二次方程的概念.例题例1：将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项.单项式乘以多项式解：去括号，得单项式乘以多项式3x2-3x=5x+10移项，合并同类项，得到一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.例2:判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的二次项系数，一次项系数和常数项.（1）x（x–3）=10；（2）3m2+2=2（2m+1）；（3）x（3+x2）+1=5；（4）3y–5=4（2–y）；（5）（k-2）（k+8）=6k；（6）2x（x+3）=6x解:（1）2x（x–3）=10方程整理为:x2-3x-10=0是一元二次方程二次项系数为1一次项系数为-3常数项为：-10（2）3m2+2=2(2m+1)方程整理为：3m2-4m=0是一元二次方程二次项系数为：3一次项系数为：-4常数项为：0（3）x(3+x2)+1=5方程整理为：x3+3x-4=0x的最高次数是3次，不是一元二次方程（4）3y–5=4(2–y)方程整理为：7y-13=0y的最高次数是1次，不是一元一次方程多项式乘以多项式（5）(k-2)(k+8)=6k多项式乘以多项式k2+8k-2k-16=6k移项，合并同类项整理为：k2-16=0是一元二次方程二次项系数为1一次项系数为0常数项为-15（6）2x(x+3)=6x方程整理为：x2=0是一元二次方程二次项系数为1一次项系数为0常数项为0方程二次项系数一次项系数常数项x2-3x-10=01-3-103m2-4m=03-401k2-16=010-16x2=0100解题反思:通过这个例题归纳出判断一个方程是否一元二次方程的步骤:=1\*GB3①将方程整理成等号左边是按未知数降幂排列,右边是0的形式；=2\*GB3②未知数项的最高次数是2；=3\*GB3③二次项系数是否不等于0.练习：1.判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）2a(a+5)=10；（2）3+2m2=m(2m-3).解：（1）2a(a+5)=10解:将方程整理为：2a2+10a-10=0是一元二次方程二次项系数为2一次项系数为10常数项为-10（2）3+2m2=m(2m-3)解:方程整理为：m+1=0最高次数是1，不是一元二次方程2.判断下列关于x的方程的是不是一元二次方程.（1）23-5x=x(2-ax)（a≠0）；（2）-5x=x(2-ax).解：（1）23-5x=x（2-ax）方程整理为：ax2-7x+23=0因为a≠0，所以是一元二次方程.（2）-5x=x(2-ax)方程整理为ax2-7x=0当a=0时，方程变为：-7x=0不是一元二次方程.当a≠0时，是一元二次方程.3.请你将下列方程按系数的符号填入下表.（为了便于我们讨论，在整理方程时，一般让二次项系数为正，这样我们只需讨论b和c的情况）2x2－3=0x2－2x＋6=04m2＋6m－5=02x2－2x=07y2+5=0x2+5x=03m2－3m－5=09a2=0x2-3x-10=03m2-4m=03x2-8x-10=0x2=0k2-16=02a2+10a-10=012y2＋3yax2＋bx＋c=0（a＞0）b＞0b=0b＜0c＞012y2＋3y7y2+5=0x2－2x＋6＝0c＝0x2+5x＝09a2=0x2=02x2－2x=03m2-4m=0c＜02.4m2＋6m－5=04m2＋6m－5=02a2+10a-10=02x2－3=0k2-16=03m2－3m－5=0x2-3x-10=03x2-8x-10=0还可以将方程按照左侧结构特点进行如下分类b＝0,c＝09a2=0x2=0二次一项式（结构最简单）b＝0,c≠0或b≠0,c＝07y2+5=02x2－3=0k2-16=0x2+5x＝02x2－2x=03m2-4m=0二次二项式b≠0且c≠012y2＋3yx2－2x＋6＝02.4m2＋6m－5=04m2＋6m－5=02a2+10a-10=03m2－3m－5=0x2-3x-10=03x2-8x-10=0二次三项式（结构最复杂）我们将方程按照这样的情况进行分类的目的是为了进一步研究一元二次方程的解法，我们将在下一节课继续探究.理解一元二次方程的结构特点，利用概念会识别方程的类型，并会将方程化成一般形式，准确确定二次项及系数，一次项及系数和常数项.总结小结：本节课所讲内容：含有一个未知数概念未知数的最高次数是2一元二次方程二次项系数不为零一元二次方程一般形式：ax2＋bx＋c=0（a≠0）二次项系数一次项系数常数项二次项一次项判断方程是否一元二次方程的步骤.(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)将方程整理成等号左边按未知数的降幂排列，右边是0的形式；(4)未知数项的最高次数是否是2；