河南郑州市部分校2027届高三上学期9月诊断考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南郑州市部分校2027届高三上学期9月诊断考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=−1,1,10,100，B=xx2+x−2026<0A.−1 B.1,10,100 C.−1,1,10 D.−1,1,10,1002.复数2−i1+i的实部为(

)A.5 B.3 C.1 D.−13.若sinα=2cosαA.−2 B.−22 C.4.已知向量a，b满足a⊥b，a−b=2，aA.1 B.2 C.2 D.5.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N，其中k为常数．在此条件下，训练1024个单位的数据量所需要的时间是训练A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍6.已知平行直线l1，l2分别过点A2,5和B1,2A.3 B.4 C.23 7.某科研院校培育新品种西瓜，抽取新培育的西瓜10个，称出各西瓜的质量(单位：kg)如下：4.8，4.9，4.9，5.0，5.0，5.0，5.0，5.1，5.1，5.2.这10个西瓜中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有(

)A.4个 B.6个 C.8个 D.10个8.四棱台的各顶点都在球O的球面上，其上、下底面分别是边长为42和52的正方形，高为3，则球OA.100π B.200π C.500π3 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=sin2x+φφ<A.φ=π3

B.fx的图象关于点−π6,0中心对称

C.函数y=sin2x的图象可以由fx的图象向左平移π310.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−2x，则A.f(0)=0

B.f(x)的值域为R

C.当x<0时，f(x)=−x2−2x

D.11.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，A，B为C上两点，且关于原点对称，A.MN的取值范围为b,a

B.若MN=b，则直线AB的斜率为0

C.若MN=1，则C的离心率的取值范围为22,1

D.若MN=1，则M，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数fx=4x−13.已知点P在双曲线C：x2−y26=1上，则点P到双曲线C14.已知有穷整数数列an共有m项．若对任意的k∈1,2,⋯,6，在an中存在ai,ai+1,a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD//BC，AD⊥ AB，BC=2AD=2，PD=AB=(1)若E为PB的中点，证明：AE//平面PCD．(2)求二面角A−PB−C的正弦值．16.(本小题15分)甲组与乙组进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目决出胜组、负组，胜组得20分，负组得10分．已知甲组在三个项目中得胜的概率依次为0.5，0.4，0.3，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲组得分比乙组得分高的概率；(2)用X表示甲组的总得分，求X的分布列与期望．17.(本小题15分)在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，ab(1)证明：C=2B．(2)若A为钝角，a=11，▵ABC的面积为22，求b．18.(本小题17分)已知F是抛物线C：y2=2px0<p≤4的焦点，N是圆MFN的最大值为114(1)求抛物线C的方程．(2)过抛物线C上一点P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．(ⅰ)若直线AB的斜率为1，求点P的坐标；(ⅱ)求▵PAB面积的最小值．19.(本小题17分)已知函数fx(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)证明：fx(3)证明：对任意的s，t∈0,+∞，有fs+t>f1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】ABC

11.【答案】ACD

12.【答案】0,+∞

13.【答案】6714.【答案】3

15.【答案】解：(1)如图，PC的中点F，连接EF，FD，在▵PBC中，E，F分别为PB，PC的中点，∴EF//BC且EF=12BC，又AD//BC∴AD//EF且EF=AD，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE//FD，又AE⊄平面PCD，FD⊂平面PCD，∴AE//平面PCD．(2)取BC的中点为M，连接DM，作AD⊥ DM，又已知PD⊥平面ABCD，所以DA,DM,DP两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1,0,0，B1,3,0，M可得AB=0,3,0PB=1,设平面PAB的法向量为n1则n1⋅AB=设平面PBC的法向量为n2则n2⋅PB=x设平面PAB与平面PBC所成的角为θ，则cosθ=n1故二面角A−PB−C的正弦值为14

16.【答案】解：(1)设甲组在三个项目中得胜的事件依次为A，B，C，甲组得分比乙组得分高的概率P=P=0.5×0.4×0.3+0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.35．(2)X的可能取值为30，40，50，60．PX=30PX=50PX=60PX=40X的分布列为X30405060P0.210.440.290.06EX

17.【答案】解：(1)因为ab=sinC+Bsin所以sinA因为sinA≠0，所以sin因为0<B<π,0<C<π，sinC−B=sin所以C−B=B或C−B+B=π(舍去)，所以C=2B．(2)在▵ABC中，作BC边上的高AD．因为▵ABC的面积为12a⋅AD=22，a=11，所以设BD=x，则CD=11−x．tanB=ADBDtanC=所以411−x=2×4x1−4CD=11−x=3，AC=AD

18.【答案】解：(1)Fp2,0，圆M的圆心为MFN的最大值为FM+r=又因为0<p≤4，解得p=12(p=所以抛物线C的方程为y2(2)(ⅰ)因为AB⊥PM，直线AB的斜率为1，所以直线PM的斜率为−1，所以直线PM的方程为y=−x+2．由y=−x+2,y2=x,得x=1y=1或x=4y=−2(ⅱ)记AB与PM交于点E．显然Rt△PBE∽Rt△PMB，故PBPM=PEBE=▵PAB的面积S==PM设Py02当且仅当y0令x=PM2≥74，则S=则f′x=x−112fx≥f74=

19.【答案】解：(1)当a=1时，fx=sinf′x=cos曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为(2)f′x令函数gx=f′x，