上海实验2025-2026学年高一下学期数学期末试卷（2026.6）(含简略答案)

上海实验2025-2026学年第二学期高一年级数学期末2026.6一、填空题（共40分，每小题4分，答案正确得4分，否则不得分）1.已知，且与平行，则实数______．2.数列的前项和为，则它的通项公式为______．3.设复数在复平面上所对应的点分别为，则三角形的面积为______．4.已知，，，则在方向上的数量投影为______．5.一个小球从100米高处自由落下，假设每次着地后又跳回到原来高度的，则该小球经过的总路程为______米．6.若将函数的图像向右平移个单位，所得图像关于轴对称，则的最小正值是______．7.在平行四边形中，．若，则______．8.已知（其中，为虚数单位），则的最大值是______．9.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只移动一个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面；把个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动______次．10.已知．数列满足为数列的前项和，若恰存在2个的值，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．二、选择题（共16分，每小题4分，每小题的四个选项中仅有一个是正确的，选对得4分，否则不得分）11.设，则“中至少有一个虚数”是“为虚数”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件12.用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（）A. B. C. D.13.如图，已知边长为2的正六边形，点为其内部任一点（含边界），则的取值范围是（）A. B. C. D.14.已知数列满足（为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个．则以下选项正确的是（）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.两个都是真命题 D.两个都是假命题三、解答题（共44分，要求写出必要的解答或证明步骤）15.（本题满分10分，其中第一问5分，第二问5分）已知数列为等差数列，公差为数列满足（为正整数）（1）求证：数列为等比数列；（2）若，求数列的通项公式．16.（本题满分10分，其中第一问5分，第二问5分）已知关于的方程的两个复数根为，（1）若为虚数，且，求实数的值．（2）若中至少有一个模为2，求实数的值．17.（本题满分12分，其中第一问5分，第二问7分）已知．（1）若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间；（2）当时，设．若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围．18.（本题满分12分，其中第一问5分，第二问7分）四月春光漫漫，草木葱茏，正值一年最美之际，公园里的游客络绎不绝，据统计，4月1日某公园的入园人数有30人，以后每天的入园人数比前一天增加50人，从4月第日起每天的入园人数比前一天减少20人．（1）若，求从4月1日至4月10日入园的总人数；（2）若该公园整个4月份（30天）的入园总人数在15000到16000之间，问4月几日，该公园入园人数最多？并求这一天的入园人数．四、附加题（共20分，19题4分，20题、21题8分）19.已知向量满足，且的最小值为1（），记，，则最大值为______．20.已知数列满足，且，其中．命题甲：存在，使得不存在正整数，当时，总有；命题乙：对任意，都不存在正整数，使得当时，总有．判断两个命题是否正确，并说明理由．21.设数列满足：，，，求证：数列的每一项都是正整数．

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.9.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只移动一个金属片；（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面；把个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动______次．【答案】【解析】设是把个盘子从1号针移到3号针的最少移动次数，如果时，；

如果时，小盘号，大盘号，小盘从2号号，所以；

如果时，用次把中小两盘移动到2号，再将大盘移动到3号，接着再用次把中小两盘从2号转移到3号，所以；

当月时，，所以，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以

故满足，所以故答案为：．10.已知．数列满足为数列的前项和，若恰存在2个的值，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】数列是以为首项，为公差的等差数列，可有，显然不可能是增数列，否则必有故先减后增，此时必有，换句话说，必定是符合条件的值，由二次函数的性质可知，要恰存在2个的值，对任意的，都有成立，则的取值必为和，故有，列式解得二、选择题11.B12.A13.A14.B14.已知数列满足（为正整数），关于数列有以下两个命题：①若，则的取值范围是；②若，则的所有可能取值的个数是4个．则以下选项正确的是（）A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题C.两个都是真命题 D.两个都是假命题【答案】B【解析】对于①，由，可得，

若，则，解得或（舍），

又，则，解得或，故①是假命题；对于②，因为，所以，

若，则，整理得，解得，则的所有可能取值的个数是4个，故②是真命题.故选：B．三、解答题15.（1）证明略（2）或16.（1）（2）17.（1）（2）18．（1）2480人（2）4月16日，780人19.20.已知数列满足，且，其中．命题甲：存在，使得不存在正整数，当时，总有；命题乙：对任意，都不存在正整数，使得当时，总有．判断两个命题是否正确，并说明理由．【答案】命题甲正确，命题乙错误【解析】（1）命题甲正确.

当时，，则0，所以与异号.

因为，所以，，即数列的项正负交替出现，不存在正整数，当时，总有，所以命题甲正确.

②命题乙错误.

当时，，则

令，对求导得

当足