上海市上海中学2025-2026学年高二下学期数学期末试卷（2026.6）(含简略答案)

上海中学2025-2026学年第二学期高二年级数学期末2026.6一、填空题（每题3分，共36分）

1．函数，则.

2．若函数是偶函数，，则.

3．已知随机变量的所有可能取值为，且，则.

4．已知函数的导函数，则是的极值点．（选填＂大＂或＂小＂）

5．若一组成对数据的相关系数，则数据的相关系数为.

6．设随机变量服从正态分布，记，则的大小关系为.

7．已知随机变量服从二项分布服从二项分布．若，则.

8．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是.9．若直线过原点，且与相切，则的斜率为.

10．某工厂需设计一种容量为、底面半径为的圆柱形罐头，罐头外壳由金属板制成（材料单价为0.001元），其中侧面由矩形金属板卷成，不产生浪费；上、下底面各从一个边长为的正方形金属板上切割而成，并产生边角废料（包含在材料费用内）．若不计其余成本，当变化时，制造单个罐头外壳的材料费用最小值为元.

11．已知函数有两个零点．分别作在与处的切线，若这两条切线与轴围成的三角形恰是等边三角形，则该三角形的面积为.

12．设．若对任意，存在，使得在处的切线与在处的切线垂直，则的取值范围是.

二、选择题（每题4分，共16分）

13．若随机变量的方差，则（）．

A.-2B.-4C.2D.414．某张纸上记录了一组成对数据，但有部分数据模糊不清无法辨认.己知其线性回归方程为，相关系数，则模糊的数据可能是（）．数据0.70.91.31.41.7数据9.110.410.9A.B.C.D.

15．将分为没有公共元素的两组，每组各个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数，定义随机变量．在所有分组方式中，的最大值与最小值分别为（）．

A.B.C.D.

16．函数与其导函数都是定义在上的连续函数，且只有有限个零点．记函数的极值点个数为的极值点个数为对于以下命题：①必为奇数；②．判断正确的是（）．

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题

二、解答题（本大题共5题，解答各题须写出必要的步骤）

17．（本题8分）一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）.每次操作中，从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作．定义随机变量为这三次操作中摸出的黑球总数．求的分布、期望与方差．

18．（本题8分）设．

（1）当时，证明：是上的严格增函数．

（2）当时，求在上的所有极值点．

19．（本题10分）为了调查高中生自主学习时间与数学成绩之间的关联，某教师对本校180名学生进行调查，根据调查结果得到如下列联表：数学成绩总计高于120分不超过120分每周自主学习时间大于12小时6076不足12小时64总计180（1）补全上述表格，并取显著性水平，检验高中生数学成绩与每周自主学习时间是否有关联．

（2）为了进一步调查学生的学习状况，该教师从数学成绩高于120分的学生中按每周自主学习时间是否大于12小时分层抽样出10名学生，并得知其中恰有1人每周自主学习时间大于16小时．现该教师从这10人中随机抽取3人介绍学习经验，记随机变量为其中每周自主学习时间大于16小时与不足12小时的人数之差的绝对值．求的分布与期望．

（注：，其中 0.1000.0500.0100.0050.001 2.7063.8416.6357.87910.82820．（本题10分）设函数．

（1）当时，解不等式：．

（2）若对任意在处的切线与轴交点纵坐标小于0，求的取值范围．

21．（本题12分）已知随机变量服从如下分布：;

其中，对应概率且.此时我们定义了的方差．

（1）证明，并进一步证明．

（2）方差也被称为的2阶中心矩，记作．仿照该定义，可以再定义的4阶中心矩．记，完成以下问题．

①给出一组常数（用含的式子表示），使得对任意成立，且等号成立当且仅当或1．并证明该不等式．

②求的最大值．

参考答案一、填空题1．；2．；3．；4．大；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；11．已知函数有两个零点．分别作在与处的切线，若这两条切线与轴围成的三角形恰是等边三角形，则该三角形的面积为.【答案】【解析】；可知在处的切线斜率为；所以；由①②得，所以，所以等边三角形的面积为．12．设．若对任意，存在，使得在处的切线与在处的切线垂直，则的取值范围是.【答案】【解析】；

①当时，，所以，无解；②当时，在处的切线为水平，不存在满足；

③当，当，且时，要求，不符合要求．

④当时，在处的切线为水平，不存在满足；

⑤当时，，解得；二、选择题13.D14.C15.D16.C15．将分为没有公共元素的两组，每组各个数．现从这两组中独立且随机地各选择一个数，定义随机变量．在所有分组方式中，的最大值与最小值分别为（）．

A.B.C.D.【答案】D【解析】最大时为：和最小时为：和选D

16．函数与其导函数都是定义在上的连续函数，且只有有限个零点．记函数的极值点个数为的极值点个数为对于以下命题：①必为奇数；②．判断正确的是（）．

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题【答案】C【解析】（1）；

设的正零点为，

①若为的零点，则的极值点共个；因为，在处，不妨令左＋右一，则在左右附近，0，所以，所以在左右为左＋右－，所以为极值点；所以共个极值点；②若不是的零点，则，所以；或，所以；极值点共个；

所以的极值点共个；

（2）；

令在单调递减；在,单调递增，；所以和（1）同理，也有个极值点．选C．三、解答题17.分布列，18.（1）证明略（2）19.（1）有关联（2）分布列，20．（本题10分）设函数．

（1）当时，解不等式：．

（2）若对任意在处的切线与轴交点纵坐标小于0，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）时，；令；所以在上递减；在上递增；，所以；（2），在处的切线方程为

令，则；

由题意，对于任意的，成立

令，则

当时，，所以不符合要求；当时，；

当时，单调递增；当时，单调递减；

所以为的极大值，也是最大值；由题意所以21．（本题12分）已知随机变量服从如下分布：;

其中，对应概率且.此时我们定义了的方差．

（1）证明，并进一步证明．

（2）方差也被称为的2阶中心矩，记作．仿照该定义，可以再定义的4阶中心矩．记，完成以下问题．

①给出一组常数（用含的式子表示），使得对任意成立，且等号成立当且仅当或1．并证明该不