初二下册数学-第04讲-不等式的基本性质与解集（培优）-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲-不等式的基本性质与解集授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解不等关系；掌握不等式的基本性质；掌握不等式解与解集的概念与表示方法。授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建体系搭建知识梳理1、不等式的定义：一般的，用符号“”（或“”）“”(或“”)连接的式子叫做不等式。2、常用的不等号：种类符号实际意义读法小于号<小于、不足小于大于号>大于、高出大于小于或等于号≤不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）大于或等于号≥不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）不等号≠不相等不等于3、列不等式：不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤：（1）分析题意，找出题中的各种量；（2）寻找各种量之间的相等或者不等关系；（3）用代数式表示各种量；（4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。4、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。5、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若，则。（2）传递性：若，，则。（3）若，则同号，反之，若同号，则；若，则异号，反之，若异号，则。（4）若，则，反之，若，则；若，则，反之，若，则。6、不等式的解集（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。（3）不等式的解与不等式的解集的区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。7、不等式解集的两种表示方法（1）用不等式表示（2）用数轴表示8、解不等式求不等式的过程叫做解不等式。考点一：不等关系例1、2015年2月1日宿迁市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天气温变化范围t（℃）是（）A．t＞8 B．t＜2 C．﹣2＜t＜8 D．﹣2≤t≤8【解析】由题意得﹣2≤t≤8．故选：D．例2、式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1是不等式，∴共4个不等式．故选C．例3、下列各式是不等式的有（）个．①﹣3＜0②4x+3y＞0③x=4④x+y⑤x≠5⑥x+2＞y+3．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据不等式的定义可知，符号不等式定义的有①②⑤⑥．故选D．考点二：不等式的基本性质例1、如果a＞b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2 B．1﹣a＞1﹣b C．1+a＞1﹣b D．1+a＞b﹣1【解析】选：D．例2、下列判断中，正确的序号为①④⑤．①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c．【解析】答案为：①④⑤．例3、判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若b﹣3a＜0，则b＜3a；√；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；×（3）若a＞b，则ac2＞bc2；×；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；√（5）若a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1）．√；（6）若a＞b＞0，则＜．√．【解析】答案为：√、×、×、√、√、√．例4、根据不等式的基本性质，把下列各式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）x﹣2＜3x﹣3；（2）﹣x+2＜x﹣6；（3）3x+3＜0；（4）﹣2x+1＜x+4．【解析】（1）x﹣2＜3x﹣3两边同时加上2，得：x＜3x﹣1，两边同时减去3x，得：﹣2x＜﹣1两边同时除以﹣2，得：x＞；（2）﹣x+2＜x﹣6两边同时减去2，得：﹣x＜x﹣8，两边同时减去x，得：﹣2x＜﹣8两边同时除以﹣2，得：x＞4；（3）3x+3＜0，两边同时减去3，得：3x＜﹣3，两边同时除以3，得：x＜﹣1；（4）﹣2x+1＜x+4，两边同时减去1，得：﹣2x＜x+3，两边同时减去x，得：﹣3x＜3两边同时除以﹣3，得：x＞﹣1．考点三：不等式的解集及解不等式例1、已知关于x的不等式ax＞b的解为x＜3，那么下列关于x的不等式中解为x＞3的是（）A．﹣2ax＞﹣2b B．2ax＞2b C．ax+2＞b+2 D．ax﹣2＞b﹣2【解析】∵关于x的不等式ax＞b的解为x＜3，∴a＜0，则解为x＞3的是﹣2ax＞﹣2b，故选A例2、不等式2x+1＜3的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解析】2x+1＜3，解得x＜1，故选：D．例3、如果不等式ax≤2的解集是x≥﹣4，则a的值为a=﹣．【解析】由ax≤2的解集是x≥﹣4，得x≥，=﹣4，解得a=﹣，例4、如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．【解析】移项得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，∴2m﹣n＜0，且x＜，∴=，整理得n=m，把n=m代入2m﹣n＜0得，2m﹣m＜0，解得m＜0，∵mx＞n，∴mx＞m，∴x＜．∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．例5、在数轴上画出下列解集：（1）x≥1且x≠2．（2）解不等式，并把它的解集表示在数轴上：5x﹣2＞3（x+1）【解析】（1）x≥1且x≠2在数轴上表示如图：．（2）5x﹣2＞3x+3，2x＞5，∴．例6、已知a，b，c是三角形的三边，求证：．【解析】由“三角形两边之和大于第三边”可知，，是正分数，再利用不等式的性质：，同理．∴．例7、比较下列各组中算式结果的大小：（1）42+32＞2×4×3；（2）（﹣2）2+12＞2×（﹣2）×1；（3）22+22=2×2×2．通过观察，归纳比较20062+20072＞2×2006×2007，并写出能反映这种规律的一般结论a2+b2≥2ab．【解析】（1）∵42+32﹣2×4×3=（4﹣3）2＞0，∴42+32＞2×4×3；（2）∵（﹣2）2+12﹣2×（﹣2）×1=（﹣2﹣1）2＞0，∴（﹣2）2+12＞2×（﹣2）×1（3）∵22+22﹣2×2×2=（2﹣2）2=0，∴22+22=2×2×2．∵20062+20072﹣2×2006×2007=（2006﹣2007）2＞0，∴20062+20072＞2×2006×2007．例8、请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于﹣3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3．解答下面的问题：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a．（2）解不等式|x﹣5|＜3；（3）解不等式|x﹣3|＞5．【解析】（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a．（2）|x﹣5|＜3，∴﹣3＜x﹣5＜3，∴2＜x＜8；（3）|x﹣3|＞5，∴x﹣3＞5或x﹣3＜﹣5，∴x＞8或x＜﹣2．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练实战演练课堂狙击1、下列式子①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2中，不等式有（）个．A．2 B．3 C．4 D．1【解析】①＜y+5；②1＞2；③3m﹣1≤4；④a+2≠a﹣2是不等式，故选：C．2、下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得|a|＞|b|C．由a＞b，得﹣2a＜﹣2b D．由a＞b，得a2＞b2【解析】选：C．3、如果a＞b，c≠0，那么下列不等式成立的是（）A．a﹣c＞b﹣c B．c﹣a＞c﹣b C．ac＞bc D．＞【解析】选：A．4、若a＞b，则下列式子中一定成立的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b【解析】选：B．5、下列不等式中，不含有x=﹣1这个解的是（）A．2x+1≤﹣3 B．2x﹣1≥﹣3 C．﹣2x+1≥3 D．﹣2x﹣1≤3【解析】选：A．6、不等式﹣3x≥6的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【解析】﹣3x≥6，解得x≤﹣2．选：C．7、利用不等式的性质把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）2x﹣1＞7；（2）3x＞7x﹣8；（3）6x﹣1＞12x+6；（4）2x+1＞7x+6．【解析】（1）2x﹣1＞7，2x＞8，解得：x＞4；（2）3x＞7x﹣8，3x﹣7x＞﹣8，解得：x＜2；（3）6x﹣1＞12x+6，6x﹣12x＞7，解得：x＜﹣；（4）2x+1＞7x+6，2x﹣7x＞5，解得：x＜﹣1．8、若不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a的取值范围是a＜﹣1．【解析】不等式（a+1）x＞a+1两边都除以a+1，得其解集为x＜1，∴a+1＜0，解得：a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．9、设a＞0＞b＞c，且a+b+c=﹣1，若，试比较M、N、P的大小．【解析】∵a+b+c=﹣1，∴b+c=﹣1﹣a，∴M==，同理可得N=，P=；又∵a＞0＞b＞c，∴，∴,即M＜P＜N．10比较下面两列算式结果的大小（在横线上选“＞”“＜”“=”）（1）42+32＞2×4×3（﹣2）2+12＞2×（﹣2）×122+22=2×2×2…通过观察归纳，得20002+20012＞2×2000×2001．（2）写出能反映这种规律的一般结论：a2+b2≥2ab．（3）用所学知识说明所得结论的正确性．【解析】（1）（42+32）﹣2×3×4=1＞0；故42+32＞2×4×3．（2）设a，b是任意实数，则a2+b2≥2ab．（3）由a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，得a2+b2≥2ab,结论：a2+b2≥2ab．11、已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c=0．【解答】证明：∵|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|∴a2≥（b+c）2，b2≥（c+a）2，c2≥（a+b）2∴a2+b2+c2≥（b+c）2+（c+a）2+（a+b）2=2（a2+b2+c2）+2ab+2bc+2ca∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤0∴（a+b+c）2≤0，而（a+b+c）2≥0∴a+b+c=0．课后反击1、下面给出了5个式子：①3＞0；②4x+3y＞0；③x=3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0，其中不等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】其中是不等式的有：①3＞0；②4x+3y＞0；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．共4个．故选D．2、下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0；⑤3x﹣2=0．其中是不等式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】不等式有：：①3x＞5；③1﹣2y≤0；④x﹣2≠0共3个．故选B．3、若﹣2a＜﹣2b，则a＞b，则根据是（）A．不等式的基本性质1 B．不等式的基本性质2C．不等式的基本性质3 D．等式的基本性质2【解析】将不等式﹣2a＜﹣2b两边都除以﹣2，得：a＞b，其依据是不等式基本性质3，故选：C．4、若x＞y，则下列式子中错误的是（）A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞【解析】选：C．5、若x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）A．x+1＞y+1 B．2x＞2y C．＞ D．x2＞y2【解析】选D.6、在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（）A． B． C． D．【解析】x﹣1＜0解得：x＜1，故选：C．7、如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x＞﹣y（填“＜、＞、或=”）【解析】如果2x﹣5＜2y﹣5，两边都加5可得2x＜2y；同除以（﹣2）可得：﹣x＞﹣y．8、若a＞b，则a+b＞2b．（填“＞”、“＜”或“=”）【解析】不等式的两边都加b，不等号的方向不变，得a+b＞2b，故答案为：＞．9、若不等式（a﹣3）x＞1的解集为x＜，则a的取值范围是a＜3．【解析】∵（a﹣3）x＞1的解集为x＜，∴不等式两边同时除以（a﹣3）时不等号的方向改变，∴a﹣3＜0，∴a＜3．故答案为：a＜3．10、利用不等式的性质把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）﹣3x+1＞2；（2）3x＞12x；（3）3x+1＞4x+2；（4）x+1＞x+2．【解析】（1）﹣3x+1＞2；﹣3x＞1，解得：x＜﹣；（2）3x＞12x；3x﹣12x＞0，解得：x＜0；（3）3x+1＞4x+2；3x﹣4x＞1，则﹣x＞1，解得：x＜﹣1；（4）x+1＞x+2；x﹣x＞1，则﹣x＞1，解得：x＜﹣6．11、如果关于x的不等式|x﹣2|+|x+3|≥a对于x取任意数都成立，则a的取值范围是多少？并说明理由．【解析】∵|x﹣2|+|x+3|≥5，∴关于x的不等式|x﹣2|+|x+3|≥a对于x取任意数都成立，a≤5．12、同学们在七年级下册学习了作差法比较大小，请根据你学过的知识解答以下三个小题：（1）已知a＞0，b＞0，比较+与的大小．（2）已知a＞0，b＞0，式子+与能否相等；若能相等，请注明条件；若不等，请说明理由．（3）根据（1）、（2）中你的结论，请求出代数式+（0＜x＜1）的最小值，并指出取最小值时的x值．【解析】（1）+﹣===≥0，所以+≥；（2）能相等．当bx﹣ay=0，即y=时．（3）+≥，当=时，解得x=时，取得最小值，最小值为61．直击中考直击中考1、【2016•夏津】若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，则关