初二数学（北京版）-一元二次方程解法复习-1教案

教案教学基本信息课题一元二次方程解法复习学科数学学段：初中年级八年级教材书名：义务教育教科书数学八年级下册出版社：北京出版社出版日期：2015年1月教学设计参与人员姓名单位设计者实施者指导者课件制作者其他参与者教学目标及教学重点、难点1.会用开平方法、配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程.2.通过对一元二次方程解法的探究复习,提升运算能力，观察、分析、决策能力.3.通过对一元二次方程解法的复习，进一步理解“降次”的数学方法，积累数学活动经验.教学重点：掌握一元二次方程的四种解法教学难点：选择适当的方法解一元二次方程教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入在前面的学习中同学们学习了一元二次方程的解法，通过本节课的复习，我们除了要会解方程，还要学会选择适合的方法使得我们能更快更准确的来解题.首先我们对这四种解法进行回顾.明确本节课研究内容新课问题1：一元二次方程的解法有哪些.一元二次方程的解法:(1)开平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解法具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便特殊解法:具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便开平方法因式分解法一般解法:适用于任意一个一元二次方程配方法适用于任意一个一元二次方程公式法问题2你能说说每一种解法的特点吗？1.开平方法条件:形如x2=m（m≥0）的方程依据：平方根的意义如果x2=m（m≥0），那么x=±m解法步骤：（1）将方程整理成x2=m的形式（2）依据平方根的意义，开平方得x=±m，从而求出方程的解.开方的目的是由二次降为一次.例1：用开平方法解下列方程：（1）3x2－75=0（2）（3a-1）2－2=0解：（1）移项，得3x275.系数化1，得x225.开平方，得x±.x±5.所以方程的解是x15，x25.将将(3a-1)看成一个整体解：（2）移项，得(3a-1)22.3a13a13a13a13a13a13a1或3a1.所以方程的解是a1，a2.2.因式分解法：条件：方程可以化为两个一次因式的乘积等于0的形式依据：两个因式的积为0那么这两个因式至少有一个等于0，即如果ab=0，那么a=0或b=0.由二次方程降为一次方程,达到“降次”的目的.解法步骤：（1）将方程整理成等号右边是0，左边是因式乘积的形式（2）依据若a·b=0,则a=0或b=0，转化为两个一元一次方程（3）解这两个一元一次方程求出方程的解例：用因式分解法解下列方程（1）x2－3x=0（2）4（2x－1）=3x（2x－1）.解：(1)因式分解，得x（x3）0.x0或x30.x10或x23.解：(2)移项，得4(2x1)3x(2x1)因式分解，得(2x1)(43x).2x1或43x.x1或x23.配方法将方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方转化为（x+n）2=m（m≥0）的形式，再利用开平方法求出方程的解依据：通过恒等变形，把一个式子配成完全平方式，再写成完全平方的形式,运用完全平方公式a2±2ab＋b2=（a±b）2解法步骤：（1）将方程整理成一般式（2）将二次项系数化1（3）配方：方程转化成（x+n）2=m的形式（4）利用开平方法得到两个一元一次方程,从而求出方程的解例：用配方法解方程3x2＋6x－4=0解：方程两边同时除以3，得x2＋2x－43配方，得x22x12431(x1)273开平方，得x1±7x1±213所以方程的解为x11213或x21214.公式法利用求根公式求一元二次方程的解，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=-b±解法步骤：（1）将方程整理成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式（2）确定a,b,c的值（3）计算b2（4）当b2例:用公式法解方程7x2＋5x-3=0解：a=7,b=5,c=-3.b24ac=524×7×(3)=109＞0.代入公式，得x=-所以，方程的根是x1-5+10914或x2解：方程两边同时除以7，得x2＋57x-37配方，得x2+57x+(514)2=37(x+514)2=开平方，得x+514=±所以，方程的根是x1-5+10914或x2思考：这个方程适合用配方法吗？将配方法求解过程和公式法求解过程进行对比思考：什么时候选配方法，什么时候选公式法？归纳：当方程的一次项系数是二次项系数的整数倍时，可以考虑用配方法求解，否则用公式法.通过复习各种解法的适用条件及理论依据，在熟练使用四种解法的基础上，能够根据方程的特点选择适当的解法例题例1.选择适当的方法解下列方程：(1)x2-289=0(2)7x2+4x-1=0(3)x2-2x-4=0(4)x2-5x=0分析：(1)方程x2-289=0从结构上看符合x2=m（m≥0）的形式，所以方程x2-289=0采用开平方法求解.解：移项，得x2=289开平方法，得x=±289所以这个方程的解是x1=17,x2=-17分析：（2）首先方程7x2+4x-1=0在结构上不符合开平方法和因十分解法，所以考虑用公式法或者配方法，又因为一次项系数不是二次项系数的整数倍，所以用公式法求解更适合一些.解：a=7,b=4,c=-1.结果要化简b24ac=42-4×7×(-1)=44>0结果要化简代入求根公式，得x=-b±=-所以方程的解是x1=-2+117或x1分析：（3）首先方程x2-2x-4=0在结构上不符合开平方法和因十分解法，所以考虑用公式法或者配方法，又因为一次项系数是二次项系数的整数倍，所以用配方法求解更合适.配方，得x22x12412(x1)25开平方，得x1±5所以方程的解是x1=1+5或x1=1-5分析：（4）首先方程x2-5x=0的等号左边可以进行因式分解，右边是零，符合因式分解法得条件，根据如果a·b=0，那么a=0或b=0，所以用因式分解法求解.解：（4）因式分解，得x(x-5)=0x=0或x-5=0所以方程的解是x1=0或x1=5解题反思：先观察方程的结构特点是否符合特殊解法，开方法或者因式分解法，不符合再考虑配方法和公式法，当一次项系数是二次项系数的整数倍时用配方法更适合.例6.选择适当的方法解下列方程：(1)x2+2x=3x(x+1)(2)y(y-4)=4(y-1)(3)2x2-3x-2=0分析：(1)首先方程x2+2x=3x(x+1)不能直接判断出用那种方法求解，所以对方程进行整理成一般形式，然后再判断用那种方法求解.解：方程整理，得2x2+x=0运用因式分解法因式分解，得x(2x+1)=0x=0或2x+1=0所以方程的解是x10或x2分析：(2)y(y-4)=4(y-1)不能直接判断出用那种方法求解，所以对方程进行整理成一般形式，然后再判断用那种方法求解.解：（2）方程整理，得y28y40用配方法配方，得y28y4242(y4)2=12开平方，得y4=±12y4=±2所以方程的解是y1=4+23或y2=42分母有理化分析：(3)方程2x2-3x-2=0不适用特殊解法，由于一次项系数不是二次项系数的整数倍，所以采用公式法更合适一些.分母有理化解：（3）a=2,b=-3,c=-2.b24ac=(-3)2×2×(-2)=17>0代入求根公式，得x=-b±所以方程的解是x132+344或解题反思：当方程结构不能直接判断用那种方法求解时，可以先将方程整理成一般形式，然后再判断方程用哪种方法求解更合适根据四种解法的适用条件选择适当的方法解一元二次方程，熟练运用四种解法解一元二次方程总结小结:1.一元二次方程的解法:(1)开平方法(2)配方法(3)公式法(4)因式分解法（四种解法本质是通过降次，将二次方程转化为一次方程,从而求解）2.如何选择适当方法解一元二次方程:首先选择自己最有把握，能正确求解的方法，其次选择计算起来简单、快捷的方法.特殊方法：具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便开平方法具有特殊形式的一元二次方程求解比较简便因式分解法一般方法：适用于任意一个一元二次方程配方法适用于任意一个一元二次方程公式法一次项系数是二次项系数的整数倍时配方法更适合,否则公式法适合梳理本节