初二数学（北京版）-正方形的性质及正多边形-1教案

教案教学基本信息课题正方形的性质及正多边形学科数学学段：第三学段年级八年级教材书名：《数学》八年级下册出版社：北京出版社出版日期：2016年4月姓名单位设计者实施者指导者指导者课件制作者教学目标及教学重点、难点本节课的内容是正方形的性质和正多边形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形性质之间的联系与区别，归纳正方形的性质定理.理解正多边形的概念和性质.教学重点：正方形的性质及其应用．教学难点：正方形性质的探究归纳．教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入同学们，大家好，今天我们来学习《正方形的性质及正多边形》。上节课我们梳理了四边形和各种特殊四边形之间的联系。我们一起来回顾一下。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。当平行四边形角特殊化，使其有一个角是直角时得到了矩形。当平行四边形边特殊化，使其有一组邻边相等时得到了菱形。在矩形的基础上，把矩形的边再特殊化，使其有一组邻边相等，我们得到了正方形。同样的在菱形的基础上，把菱形的角特殊化，使其有一个角是直角时，也得到了正方形。因此当平行四边形边和角一起特殊化，使其有一个角是直角，且有一组邻边相等时，可直接得到正方形.这个也是正方形的定义。所以正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和特殊的菱形。因此它不仅有平行四边形的所有性质，还有矩形，菱形的特殊性质。下面我们一起来复习一下平行四边形，矩形以及菱形的性质。复习回顾，引入课题新课首先我们先来回顾一下平行四边形的性质：从边上来看：平行四边形的两组对边平行且相等。从角上来看：平行四边形的两组对角相等。从对角线上来看：平行四边形的对角线互相平分。其次是矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，与一般的平行四边形相比，它特殊在角上，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。从边上来看：矩形两组对边平行且相等。从角上来看：矩形四个角都是直角。从对角线上来看：矩形对角线相等且互相平分。接下来是菱形的性质：菱形也是特殊的平行四边形，与一般的平行四边形相比，它特殊在边上，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。从边上来看：菱形两组对边平行且四边相等。从角上来看：菱形两组对角相等。从对角线上来看：对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。通过之前对平行四边形，矩形，菱形性质的研究，我们知道研究图形的性质我们可以从边，角，以及对角线这三个方面进行探究。下面我们就从这三个方面来研究正方形的性质。因为菱型和矩形已经包括了平行四边形的性质，所以我们只需将菱形和矩形的性质综合在一起就可以得到正方形的性质。首先从边的角度来看：矩形和菱形都具有两组对边平行且相等的性质，而菱形除此之外还具有四条边都相等的性质。那么正方形在边上应该有怎样的性质呢？正方形既是矩形，也是菱形，拥有它们全部的性质。因此从边上看，我们可以得到正方形的两组对边平行且四边相等。这是正方形的第一条性质：正方形的对边平行，四边相等。我们画出图形，并把它转化为符号语言。∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=BC=CD=AD.其次从角上来看：矩形和菱形都具有两组对角相等的性质，而矩形除此之外还具有四个角都是直角的性质。综合矩形和菱形在角上的性质我们可以得到，正方形的四个角都是直角。这是正方形的第二条性质：正方形的四个角都是直角。我们画出图形，把它转化为符号语言。∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90度。接下来我们从对角线上来看：矩形，菱形都具有对角线互相平分的性质，而矩形还具有对角线相等的性质，菱形还具有对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角的性质。因此综合矩形和菱形在对角线上的性质我们可以得到，正方形对角线相等，互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。这是正方形的第三条性质：正方形对角线相等，互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角。画出图形，把它转化为符号语言。∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.请你思考一下：正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？轴对称图形是指如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。我们知道矩形和菱形都是轴对称图形，正方形既是矩形，又是菱形，易知正方形肯定是轴对称图形。矩形AMND和矩形BMNC关于直线MN对称，矩形AEFB和矩形DEFC关于直线EF对称，因此易知对称轴MN和EF将正方形ABCD分成了4个全等的小正方形。三角形BAD和三角形BCD关于直线BD对称，三角形ABC和三角形ADC关于直线AC也是对称的，我们容易得到正方形的任意一条对角线将正方形分成了两个全等的等腰直角三角形，两条对角线相交把正方形ABCD分成了4个全等的等腰直角三角形。四边形的研究，是通过作四边形的对角线把它分成三角形，并应用三角形的知识来进行的。矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，菱形的两条对角线将菱形分成四个直角三角形，正方形既是矩形又是菱形，因此正方形的两条对角线将正方形分成四个等腰直角三角形。所以解决正方形的问题，可以转化为解决等腰直角三角形的问题。下面我们来对正方形的性质进行一下梳理：从边上看：正方形对边平行，四边相等.从角上看：正方形四个角都是直角.从对角线上看：对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.另外从对称性上来看：正方形是轴对称图形.它有4条对称轴。正方形的性质比较多，我们在应用性质的时候，用到哪条性质写哪条即可，不用全部写出。正方形的四条边相等，四个角也都相等。像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.如我们学习过的等边三角形，它的三条边相等，三个角也相等，所以它也叫正三角形。我们常见的正多边形还有正五边形，正六边形等等。要想判定一个多边形是正多边形，需要同时满足两个要点，从边上看，各边相等，从角上看，各角相等。由定义，我们知道正多边形的每个内角都相等，它的外角有怎样的特点？如图，∠1是正多边形的一个内角，∠2是与它相临的一个外角，∠1与∠2相加是180度。实际上正多边形的每一个外角都与和它相邻的内角互补，因为正多边形的每个内角都相等，等角的补交相等，所以正多边形的每个外角也相等.我们知道正方形是轴对称图形，那么正多边形都是轴对称图形吗？我们观察图形很容易得到结论，正多边形是轴对称图形。那么正多边形有几条对称轴？如图，正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，事实上正多边形对称轴的条数与边数n的关系是：正n边形有n条对称轴.所以正十边形就有10条对称轴，正一百边形就有100条对称轴。对比平行四边形，矩形，菱形的性质，归纳总结正方形的性质。例题例已知如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，求∠E的度数.分析：因为四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质四边相等，四个角是直角，我们可以得到AB=BC，∠ABC=90度，由此我们可以判定三角形ABC是等腰直角三角形。所以我们可以得到角CAE=45度。由题目已知AE=AC，利用等边对等角得到∠E=∠ACE。这样在三角形ACE中，利用三角形内角和是180度就可以求出角E的度数了。我们一起书写一下这道题的解题过程。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90度.依据是正方形四边相等，四个角是直角。∴△ABC是等腰直角三角形.∴∠CAE=45度.又∵AC=AE.∴∠E=∠ACE==67.5度.回顾本题，利用正方形的性质，我们得到三角形ABC是等腰直角三角形，将正方形问题转化为等腰直角三角形问题，利用等腰直角三角形的知识解决问题，这个过程实际上就是把复杂问题化为简单问题，把未知转化为已知，利用已有的知识解决新问题。例如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接EB，ED，延长BE交AD于点F.求证：△BEC≌△DEC.分析:要想证明两个三角形全等，我们需要找两个三角形对应边和对应角之间的相等关系。因为四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质四边相等，我们可以得到DC=BC。再由正方形的每一条对角线平分一组对角，我们可以得到∠ACD=∠ACB。而CE为一条公共边。这样利用边角边，我们就可以得到△BEC≌△DEC.我们一起书写一下这道题的解题过程.∵四边形ABCD是正方形，∴DC=BC，∠ACD=∠ACB.依据是正方形四边相等，每一条对角线平分一组对角。又∵CE=CE，∴△BEC≌△DEC.依据是边角边。若∠DEB=140度，求∠AFE的度数.分析：∠AFE是三角形AFE的内角，由于四边形ABCD是正方形，四个角都是直角，每一条对角线平分一组对角，易知∠DAC=∠BAC=45度，这样只需计算∠AEF的度数，再利用三角形内角和是180度，就可以求得∠AFE的度数。由上一问，我们已经证明了△BEC≌△DEC，利用全等三角形对应角相等我们可以得到∠BEC=∠DEB，再由题目已知∠DEB=140度，利用对顶角相等，可以求得∠AEF=70度，这样我们就能求得∠AFE的度数了。我们一起书写一下这道题的解答过程.∵∠DEB=140o，△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DEB=70o.∴∠AEF=70度又∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=45度.∴∠AFE=180度-45度-70度=65度.这样问题就解决了。回顾本题，本题将正方形与三角形全等问题联系起来，利用正方形的性质，得到三角形对应边和对应角之间的相等关系，从而解决问题，第二问，利用了第一问的结论，在第一问的基础上求得∠AEF的度数，从而求出∠AFE的度数，实际上第一问为第二问做了铺垫，我们要善于利用题目之间的联系。例已知：在正方形ABCD中，点F是AB上一点，点E是AD延长线上一点，对于CE⊥CF，CE=CF，DE=BF.把其中一个作为条件，另外两个是否成立？为什么？分析：分三种情况，第一种已知CE⊥CF，推CE=CF，和DE=BF。第二种已知CE=CF，推CE⊥CF和DE=BF。第三种，已知DE=BF，推CE⊥CF和CE=CF。我们先来分析一下第一种已知CE⊥CF的情况。我们从结论出发，通过观察图形，我们知道DE，CE是三角形DCE的边，BF，CF是三角形BCF的边，我们可以通过证明△BCF≌△DCE，从而证明DE=BF，CE=CF.要想证明△BCF≌△DCE，就要找到这两个三角形对应边和对应角之间的相等关系。因为四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质四边相等，四个角是直角，我们可以得到BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°，从而∠BCF+∠FCD=90°，∠EDC=90°.又因为CE⊥CF，所以我们得到∠DCF+∠DCE=90°，这样利用同角的余角相等，我们可以得到∠BCF=∠DCE。利用角边角全等，我们可以得到△BCF≌△DCE，从而证明DE=BF，CE=CF.我们一起书写一下这道题的解答过程.∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠BCD=∠ADC=90°.∴∠BCF+∠FCD=90°，∠EDC=∠B=90°∵CE⊥CF，∴∠FCD+∠DCE=90°∴∠BCF=∠DCE.∴△BCF≌△DCE（角边角）∴DE=BF，CE=CF.依据是全等三角形对应边相等。这样第一种情况我们就解决了。下面我们来完成第二种已知CE=CF的作图。先画一个正方形ABCD。在AB上任取一点F，连接CF。要想保证CE和CF相等，我们可以以点C为圆心，CF长为半径作弧，交AD延长线于点E。连接CE，这样我们就完成了第二种情况的作图。我们来看第三种已知DE=BF的作图。先画一个正方形ABCD。在AB上任取一点F，连接CF。延长AD。截取DE=BF，连接CE。这样我们就完成了第三种情况的作图。第二种和第三种情况的证明留给同学们课后思考。回顾本题，我们通过分类讨论，得到3种情况，然后分别将文字语言转化为图形语言和符号语言。这三种情况实际上都是利用正方形的性质，得到两个三角形全等，从而得到边等或角等，解决问题。例下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？四条边都相等.实际上可以判断它是菱形.但是四个角不一定相等，根据正多边形定义，它不是正多边形。由四个角都相等，实际上我们可以判定它是矩形。因为四条边不一定相等，依据正多边形的定义，所以它不是正多边形.通过例题我们可以得到判断一个多边形是不是正多边形，各边相等，各角相等，两个条件必须同时具备.注意：正多边形的定义，既是判定也是性质.用所学知识解决问题总结以上就是本节课全部知识，我们来对这节课的内容进行一个小结。本节课你学习了什么知识？本节课我们学习了正方形的性质：从边上来看：正方形对边平行，四边相等.从角上来看：正方形的四个角都是直角.从对角线上看：正方形对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.从对称性上来看:正方形是轴对称图形.我们把各个角都相