单元检测卷(三)　成对数据的统计分析（含解析）高中数学 人教A版（2019）选择性必修 第三册

单元检测卷(三)成对数据的统计分析(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.关于回归分析，下列说法错误的是()A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B.运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(x，y)C.回归模型中一定存在随机误差D.散点图能明确反映变量间的关系2.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147，依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，可推断()A.变量X与Y不独立B.变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01C.无法判断变量X与Y是否独立D.变量X与Y独立3.已知一组数据(xi，yi)(1≤i≤10且i∈Z)的线性回归方程为y∧＝7x＋a，若∑i=110xi＝70，∑i=110yiA.－1 B.0 C.1 D.24.有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据：重金属含量高重金属含量低设备甲69设备乙114根据以上数据，则χ2＝()A.750161 B.75C.398 D.5.为了了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到统计数据表：年收入x/万元8.28.610.011.311.9年支出y/万元6.27.58.08.59.8根据上表可得线性回归方程y∧＝0.76x＋a∧.据此估计，该社区一户年收入为15A.11.4万元 B.11.8万元C.12.0万元 D.12.2万元6.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，YXy1y2总计x1101828x2m26m＋26总计m＋1044m＋54则下列选项中使X与Y的关系最弱的m的取值为()A.8 B.9 C.14 D.197.已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其线性回归方程为y∧＝b∧x＋a∧，并计算出变量x，y之间的相关系数为－0.96，∑i=110xi＝－8，∑iA.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限8.假设有两个变量X和Y的2×2列联表如下：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(bYXy1y2总计x1a10a＋10x2c30c＋30总计6040100A.a＝45，c＝15 B.a＝40，c＝20C.a＝35，c＝25 D.a＝30，c＝30二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.下面各图中，散点图与样本相关系数r符合的有()10.某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：广告费支出x/万元24568销售额y/万元▲40605070工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为y∧＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有A.销售额y与广告费支出x正相关B.丢失的数据(表中▲处)为30C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元11.某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的35，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的12.如果依据α＝0.05的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据小概率α＝0.01的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，附：α0.050.01xα3.8416.635χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(cA.150人 B.225人 C.300人 D.375人三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.)12.某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量y(单位：度)与当天的平均气温x(单位：℃)之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为y∧＝－2x＋60.据此可以预测，当某天的平均气温为－4℃时，日用电量的度数估计为13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到了如下的列联表：是否服用药是否患病总计患病未患病服用药104656没服用药223254总计3278110依据小概率α＝0.01的独立性检验认为这种药物对预防疾病效果(填“有”或“无”).14.将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标xi和某植物分布的数量yi(i＝1，2，…，6)，得到样本(xi，yi)，且其相关系数r＝1516，记y关于x的线性回归方程为y∧＝a∧＋b∧x.经计算可知：x＝9，∑i=16xi2＝550，∑i=16(y参考公式：b∧＝∑r＝∑i四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)某水果店对某个新品种水果进行试销，需了解试销价格x(单位：元/斤)对销售量y(单位：斤)的影响情况，现得到5对销售数据，并对得到的数据进行初步处理，得到如图所示的散点图.(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明；(结果精确到0.01)(2)求y关于x的线性回归方程.参考数据：70≈8.367.16.(本小题满分15分)为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.选择课程A选择课程B男生4060女生2080(1)根据上表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析选择课程与性别是否有关联.(2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多的概率.附：χ2＝n(α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.82817.(本小题满分15分)为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017－2023年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表.年份2017201820192020202120222023年份代码x1234567亩产量y(吨/亩)0.40.50.81.11.51.70.2(1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；(2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求出该线性回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量.附：b∧＝∑i=1n(xi18.(本小题满分17分)为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/每天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一).表一：编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108(1)请用相关系数说明该组数据中变量y与变量x之间的关系可以用线性回归模型拟合(结果精确到0.001)；(2)求y关于x的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表(表二).依据小概率值α＝0.001的独立性检验分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关联.表二：没有进步有进步合计参与周六在校自主学习35130165未参与周六在校自主学习253055合计60160220(参考数据：∑i=15xiyi＝22820，∑i=15yi＝435，xi的方差为200，yi的方差为230.8附：r＝∑i=1n(xi－x)(yiχ2＝n(α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82819.(本小题满分17分)直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收.我国南方某蜜桔种植县通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱，已知最近5天单日直播总时长x(即所有主播的直播时长之和，单位：小时)与蜜桔的单日销售量y(单位：百箱)之间的统计数据如下表：直播总时长x89111215单日销售量y6763808085可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.(1)试求变量y与x的线性回归方程y∧＝b∧x＋(2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，要使每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，则至少要请几位主播进行直播？(3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元.现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为t(1≤t≤5)元/箱，且每箱坏果的个数X服从P(X＝i)＝132，i=0，(12)i，i=1，2，3，4，50，i=6附：b∧＝∑i=1n(xi－x)(yi－y)∑i=1n(x单元检测卷(三)成对数据的统计分析(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.关于回归分析，下列说法错误的是()A.回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法B.运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(x，y)C.回归模型中一定存在随机误差D.散点图能明确反映变量间的关系答案：D解析：对于A，回归分析是研究两个具有相关关系的变量的方法，故A说法正确；对于B，运用最小二乘法求得的回归直线一定过点(x，y)，故B说法正确；对于C，因为相关关系是一种非确定关系，所以回归模型中一定存在随机误差，故C说法正确；对于D，散点图反映的是两个变量间的关系，但存在误差，故D说法错误.故选D.2.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147，依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，可推断()A.变量X与Y不独立B.变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01C.无法判断变量X与Y是否独立D.变量X与Y独立答案：D解析：零假设为H0：变量X与Y独立.因为χ2＝6.147＜6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为变量X与Y独立.故选D.3.已知一组数据(xi，yi)(1≤i≤10且i∈Z)的线性回归方程为y∧＝7x＋a，若∑i=110xi＝70，∑i=110yiA.－1 B.0 C.1 D.2答案：C解析：由于∑i=110xi＝70，∑i=110yi＝500，所以x＝7，y＝50.将(7，50)代入y∧＝7x＋a，所以7×7＋a＝50，解得4.有甲、乙两种过滤水中重金属的设备，为了检验使用这两种设备与过滤后水中重金属含量的关系，各过滤了15瓶受重金属污染的相同水体，调查得出以下数据：重金属含量高重金属含量低设备甲69设备乙114根据以上数据，则χ2＝()A.750161 B.75C.398 D.答案：A解析：依题意，得如下2×2列联表：重金属含量高重金属含量低合计设备甲6915设备乙11415合计72330所以χ2＝30×(14×6－1×9)25.为了了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到统计数据表：年收入x/万元8.28.610.011.311.9年支出y/万元6.27.58.08.59.8根据上表可得线性回归方程y∧＝0.76x＋a∧.据此估计，该社区一户年收入为15A.11.4万元 B.11.8万元C.12.0万元 D.12.2万元答案：B解析：因为x＝8.2+8.6+10+11.3+11.95＝10，y＝6.2+7.5+8+8.5+9.85＝8，所以a∧＝y－0.76x＝8－0.76×10＝0.4，所以y∧＝0.76x＋0.4.当x＝15时6.假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为x1，x2和y1，YXy1y2总计x1101828x2m26m＋26总计m＋1044m＋54则下列选项中使X与Y的关系最弱的m的取值为()A.8 B.9 C.14 D.19答案：C解析：在两个分类变量的列联表中，当ad－bc的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小.令ad－bc＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱7.已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其线性回归方程为y∧＝b∧x＋a∧，并计算出变量x，y之间的相关系数为－0.96，∑i=110xi＝－8，∑iA.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限答案：B解析：由相关系数为－0.96，知x，y负相关，所以b∧＜0.又∑i=110xi＝－8，∑i=110yi＝－15，求得样本中心点为(－0.8，－1.5)，由于(－0.8，－1.5)在经验回归直线上，且点在第三象限，所以经验回归直线经过第二、8.假设有两个变量X和Y的2×2列联表如下：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(bYXy1y2总计x1a10a＋10x2c30c＋30总计6040100A.a＝45，c＝15 B.a＝40，c＝20C.a＝35，c＝25 D.a＝30，c＝30答案：A解析：根据独立性检验的方法和2×2列联表可得，当aa+10与cc+30相差越大，则分类变量X和Y有关系的可能性越大，即a，c相差越大，aa+10与二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.下面各图中，散点图与样本相关系数r符合的有()答案：ACD解析：对于A，散点图上所有点都在一条斜率小于0的直线上，所以样本相关系数r＝－1，故A正确；对于B，散点图上所有点都在一条斜率大于0的直线上，所以样本相关系数r＝1，故B错误；对于C，散点图上所有点从左到右是向下的带状分布，所以－1＜r＜0，故C正确；对于D，散点图中x，y之间几乎不存在线性相关关系，所以样本相关系数r＝0，故D正确.故选ACD.10.某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：广告费支出x/万元24568销售额y/万元▲40605070工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失.已知y与x具有线性相关关系，且线性回归方程为y∧＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有A.销售额y与广告费支出x正相关B.丢失的数据(表中▲处)为30C.该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元D.若该公司下月广告费支出为8万元，则销售额约为75万元答案：AB解析：对于A，由线性回归方程为y∧＝6.5x＋17.5，可知b∧＝6.5，则销售额y与广告费支出x正相关，故A正确；对于B，设丢失的数据为m，由表中的数据可得x＝5，y＝220+m5，把点(5，220+m11.某中学为更好地开展素质教育，现对外出研学课程是否和性别有关做了一项调查，其中被调查的男生和女生人数相同，且男生中选修外出研学课程的人数占男生总人数的35，女生中选修外出研学课程的人数占女生总人数的12.如果依据α＝0.05的独立性检验认为选修外出研学课程与性别有关，但依据小概率α＝0.01的独立性检验认为选修外出研学课程与性别无关，附：α0.050.01xα3.8416.635χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(cA.150人 B.225人 C.300人 D.375人答案：BC解析：设男生人数为5n(n∈N*)，根据题意可得2×2列联表如下：男生女生合计选修外出研学课程3n511不选修外出研学课程2n59合计5n5n10n则χ2＝10n(3n·5n2－2n·5n2)211n2·9n2·5n·5n＝10n99，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为选修外出研学课程与性别有关，但根据α＝0.01的独立性检验，认为选修外出研学课程与性别无关，则3.841≤10n99＜6.635，三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.请把正确答案填在题中横线上.)12.某单位通过对数据的统计与分析得知，日用电量y(单位：度)与当天的平均气温x(单位：℃)之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为y∧＝－2x＋60.据此可以预测，当某天的平均气温为－4℃时，日用电量的度数估计为答案：68解析：由线性回归方程知，当某天的平均气温为－4℃时，日用电量的度数估计为－2×(－4)＋60＝68.13.为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到了如下的列联表：是否服用药是否患病总计患病未患病服用药104656没服用药223254总计3278110依据小概率α＝0.01的独立性检验认为这种药物对预防疾病效果(填“有”或“无”).答案：有解析：因为χ2＝110×(10×32－46×22)256×54×32×78≈6.979＞6.635，所以根据小概率值14.将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标xi和某植物分布的数量yi(i＝1，2，…，6)，得到样本(xi，yi)，且其相关系数r＝1516，记y关于x的线性回归方程为y∧＝a∧＋b∧x.经计算可知：x＝9，∑i=16xi2＝550，∑i=16(y参考公式：b∧＝∑r＝∑i答案：15解析：因为x＝9，∑i=16xi2＝550，所以∑i=16(xi－x)2＝∑i=16xi2－6x2＝550－6×92＝64，由r＝∑i=16(xi－x)(yi－y)四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)某水果店对某个新品种水果进行试销，需了解试销价格x(单位：元/斤)对销售量y(单位：斤)的影响情况，现得到5对销售数据，并对得到的数据进行初步处理，得到如图所示的散点图.(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明；(结果精确到0.01)(2)求y关于x的线性回归方程.参考数据：70≈8.367.解：(1)依题意，得x＝3+4+5+6+75＝5，y＝20+16+16+12+65＝∑i=15(xi－x)2＝10，∑i=15(yi－y)2＝112，∑i=15(xi－x所以r＝∑i=15(xi－由样本相关系数r≈－0.96，可以推断y与x这两个变量负相关，且线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.(2)由(1)可得b∧＝∑i=15(xi－x)(yi－y)∑i=15(xi－x)所以y∧＝－3.2x＋3016.(本小题满分15分)为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校统计了学生的选课情况，得到如下表格.选择课程A选择课程B男生4060女生2080(1)根据上表，依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析选择课程与性别是否有关联.(2)现从男生的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，再从这5名男生中抽取3人做问卷调查，求这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多的概率.附：χ2＝n(α0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828解：(1)零假设为H0：选择课程与性别无关.根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为选择课程与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.(2)选出的5名男生中，选择课程A的人数为5×4040+60＝2选择课程B的人数为5×6040+60＝3这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多有如下两种可能：选择课程B有3人，选择课程A有0人，此种有C33选择课程B有2人，选择课程A有1人，此种有C32记“这3人中选择课程B的人数比选择课程A的人数多”为事件M，所以P(M)＝C33＋17.(本小题满分15分)为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017－2023年这7年的有机胡萝卜的亩产量，得到数据如下表.年份2017201820192020202120222023年份代码x1234567亩产量y(吨/亩)0.40.50.81.11.51.70.2(1)从这7年的有机胡萝卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；(2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，y与x有线性关系，求出该线性回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量.附：b∧＝∑i=1n(xi解：(1)由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩，记A＝“这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，B＝“这7年中任取3年，3年的亩产量都高于0.5吨/亩”，则P(A)＝C53＋C52C21C73所以P(B｜A)＝P(AB)P((2)由表可知，2023年的数据异常，剔除2023年的数据，则剩余6年的数据中，x＝1+2+3+4+5+66＝3.5，y＝0.4+0∑i=16(xi－x)(yi－y)＝(1－3.5)(0.4－1)＋(2－3.5)(0.5－1)＋(3－3.5)(0.8－1)＋(4－3.5)(1.1－1)＋(5－3.5)(1.5－1)＋(6－3.5)(1.7－1)＝4∑i=16(xi－x)2＝(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2＝17所以b∧＝∑i=16(xi所以a∧＝y－b所以y与x的经验回归方程为y∧＝0.28x当x＝9时，y∧＝0.28×9＋0.02＝2.54(吨/所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡萝卜的亩产量为2.54吨/亩.18.(本小题满分17分)为了了解高中学生课后自主学习数学时间x(分钟/每天)和他们的数学成绩y(分)的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据(表一).表一：编号12345学习时间x3040506070数学成绩y65788599108(1)请用相关系数说明该组数据中变量y与变量x之间的关系可以用线性回归模型拟合(结果精确到0.001)；(2)求y关于x的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩；(3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到2×2列联表(表二).依据小概率值α＝0.001的独立性检验分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关联.表二：没有进步有进步合计参与周六在校自主学习35130165未参与周六在校自主学习253055合计60160220(参考数据：∑i=15xiyi＝22820，∑i=15yi＝435，xi的方差为200，yi的方差为230.8附：r＝∑i=1n(xi－x)(yiχ2＝n(α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：(1)x＝30+40+50+60+705＝50y＝65+78+85+99+1085＝87r＝∑＝∑＝∑i又∑i=15xiyi＝22820，xi的方差为200，yi的方差为230.8，1154则r＝∑i=15xiyi－x∑ir值非常接近于1，故变量y与变量x之间的关系可以用线性回归模型拟合.(2)b∧＝∑i=15(xi－xa∧＝y－b∧x＝87－1.07×50＝33故y∧＝1.07x＋3