2027北师大版数学九上第一章-专题03 正方形的性质、判定及证明（题型专练）

专题03正方形的性质、判定及证明（题型突破·举一反三）题型01正方形性质的直接应用题型02正方形中的45°构造与旋转全等题型03正方形面积计算题型04正方形判定的条件选择题型05正方形判定的证明题题型06正方形中的折叠问题题型07正方形与中点、中位线综合题型08正方形多结论判断题▌题型01正方形性质的直接应用基础：四边相等＋四角90°；对角线互相垂直平分且相等，且每条对角线平分一组对角（⇒对角线把内角分成45°）；对角线把正方形分成4个全等的等腰Rt△。方法：见到正方形先连对角线，拆成等腰Rt△处理；角度题优先用“对角线分45°”＋平行线内错角传递；已知边长a，则对角线，面积。思维提醒：（即“对角线乘积的一半”，菱形公式在正方形里的特例）是正方形独有速算，选择题求面积若已知对角线直接用，比先求a快。【典例1】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，正方形的边长为a，E是对角线上的动点（不与点B，D重合），过点E分别作于点F，于点G，连接，下列判断正确的是（

）结论Ⅰ：四边形的周长为．结论Ⅱ：的最小值为．A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确【变式1-1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；上述结论中，正确结论的序号有______．【变式1-2】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点．(1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________．(2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由．(3)结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________．(4)结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值．【变式1-3】（2026·河南平顶山·三模）在正方形中，E为边延长线上一点，且，连接，．将绕点顺时针旋转得到线段，连接．观察猜想(1)如图1，若点落在边上，则与之间的数量关系为_．类比探究(2)如图2，若点落在正方形内部，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确的结论，并证明．拓展应用(3)连接，当为等腰三角形时，请直接写出的面积．▌题型02正方形中的45°构造与旋转全等基础：正方形每个内角90°，对角线分45°；常见模型：正方形ABCD内（或边上）取一点E，使∠EAD＝∠EDC＝45°，可证△ABE≌△CBE或△ADE≌△CDE（SAS：AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，DE公共）；更经典的“正方形顶点引45°交对边于点”⇒构造两个等腰Rt△。方法：题干出现“正方形＋45°”⇒优先想“沿对角线翻折”或“绕顶点旋转90°”造全等；常用SAS：两边是正方形边长（相等）＋夹角45°或90°。思维提醒：这是正方形区别于菱形、矩形的最核心招牌，中考出现率极高。45°⇒旋转90°造全等的操作要练熟，是后续半角模型的雏形。【典例2】（2025·陕西安康·二模）如图，在正方形中，，是边上一点，，且，则的长为______．【变式2-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务．神奇的“半角模型”初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法．例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：．证明：如图，延长至点G，使得．四边形是正方形，（依据1），．，，，（依据2），．，，，，即，．，，，．拓展：如图，在四边形中，，，，E，F分别是边上的点，且，．求五边形的周长．任务：(1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________．(2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线．(3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________．【变式2-2】（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长．解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接．由旋转的特征得，，，．，，．，，即，．在和中，，，_①_，，．又_②_，在中，．，，_③_．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________；刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明；【拓展应用】如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）．【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请你补充完整．【知识技能】原题：如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，连接．则，请说明理由．证明：（1），∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．，，即点F，D，G在一条直线上．由旋转可得：，，又______（______）填写全等三角形的判定方法【类比推理】（2）如图2，四边形中，，，点E，F分别在边，上，．若，都不是直角，则当时，求证：．【联想拓展】（3）如图3，在中，，，点D，E均在边上，且，，．①试猜想线段，，之间的数量关系，请证明你的猜想；②直接写出的面积．▌题型03正方形面积计算基础：（d为对角线长，源自菱形面积公式且正方形）。方法：已知边长⇒；已知对角线（速算）；割补类题（如“去掉一个角剩五边形求面积”）用“整体－局部”。思维提醒：九上阶段正方形面积题常与“勾股定理＋等腰Rt”捆绑，看到倍关系先想“是不是对角线与边长的转换”。【典例3】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______．【变式3-1】（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____．【变式3-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知正方形与正方形．将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图1），除去重合部分后，正方形与正方形的剩余图形面积之比为；再将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图2），除去重合部分后，此时正方形与正方形的剩余图形面积之比为________．【变式3-3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）综合与实践【问题初探】(1)如图1，在中，为边上的中线，我们将绕点旋转，得到，请作出；【问题解决】(2)如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小（提示：将绕点B顺时针方向旋转）；【问题拓展】(3)在正方形中，E，F分别为边上的点，且满足，，求的面积．▌题型04正方形判定的条件选择基础：三条主流路——定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；先证菱形，再补“一个角90°”（或“对角线相等”）；先证矩形，再补“一组邻边相等”（或“对角线垂直”）。方法：题干若已给“平行四边形”⇒需同时补“邻边等＋一角为90°”，或只补“邻边等”走菱形＋直角，或只补“直角”走矩形＋邻边等；题干若给“四边形”⇒走“四边等＋一角为90°”或“三个直角＋邻边等”。思维提醒：中点四边形类高频题——“连接四边中点得EFGH，添加何条件使EFGH为正方形”⇒答“原四边形AC＝BD且AC⊥BD”（既要等长又要垂直，对照：菱⇒矩形要AC⊥BD；矩⇒菱形要AC＝BD；正方⇒正方要两者同时满足）。【典例4】（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）．【变式4-2】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点．(1)求证：；(2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．【变式4-3】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点，分别是边、上一点，且，则四边形的形状可能是________．（填序号：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形）▌题型05正方形判定的证明题基础：两条主流路径路①：先证菱形（四边等/对角线垂直平分的平行四边），再补“一角为90°”或“对角线相等”；路②：先证矩形（三直角/对角线相等的平行四边），再补“一组邻边相等”或“对角线垂直”。方法：题干给“一组邻边等＋一个直角＋平行关系”⇒路①快；给“一堆直角＋对边平行”⇒路②快；给“对角线等长且垂直且平分”⇒可直接证“既是菱形又是矩形”。思维提醒：最容易扣分的是只证了一半，常证完“是菱形”就写“∴是正方形”，忘了补“直角/对角线相等”；或证完“是矩形”忘了补“邻边等/对角线垂直”。判定的书写模板：“先证××（菱或矩），再∵××（补条件），∴是正方形”，两步缺一不可。【典例5】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形．【变式5-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，请求出四边形的面积．【变式5-2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且．(1)求证：四边形是正方形；(2)若点F是的中点，，求的长．【变式5-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形是菱形，点是的中点，点在线段上（不与端点重合），连接，，点在边的延长线上，且，．(1)求证：四边形是正方形．(2)求证：．(3)以下与线段有关的三个结论：，，．你认为哪个正确？请说明理由．▌题型06正方形中的折叠问题基础：折叠＝轴对称；正方形特有优势：四边等＋四角90°＋对角线45°＋等腰Rt可速算。方法：三步同矩形专题标对应点；用“对应边等＋正方形四边等”设未知数；放回Rt△用勾股列方程。正方形折叠比矩形折叠多一条路：若出现45°或等腰Rt特征，可用“直角边：直角边：斜边＝”直接写比例，不用每次全展开勾股。思维提醒：用勾股＋等腰Rt比例。经典题设未知后用勾股定理列方程，是通用解法；若折叠后出现45°，优先看能不能转等腰Rt省计算。【典例6】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________．【变式6-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_______．【变式6-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________．【变式6-3】（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到．(1)如图1，当时，的延长线交于点G．①求证：；②若平分，，则点F到的距离为______；(2)如图2，当时，连接，，，若，求的长；(3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由．▌题型07正方形与中点、中位线综合基础：正方形四边中点连线⇒得新正方形（中点四边形收口：任意四边⇒平行四边；菱⇒矩；矩⇒菱；正方⇒正方）；正方形内“一边中点＋顶点连线”常造全等或等腰Rt。方法：见中点⇒连中线（斜边中线倍半，延续矩形专题02）＋中位线（平行且等于底边一半）；正方形内“E、F是AB、BC中点，连DE、DF”类题，常证△DAE≌△DCF（AD＝DC，∠A＝∠C＝90°，AE＝CF）。思维提醒：这是三个特殊平行四边形专题的横向闭环题【典例7】（2025·安徽宣城·一模）如图1，在中，，，DE是的中位线．将绕点A按顺时针方向旋转，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示．(1)求证：．(2)在这个旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由．(3)当时，求BP的长．【变式7-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）探究三角形与梯形中位线的性质及应用，并完成以下问题知识回顾：(1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图1，中，是△的中位线，连接．则与的关系为：___（用符号语言表达）．方法迁移：(2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图2，已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由．理解内化：(3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是___．拓展：(4)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和，点是的中点，求证：点到的距离是的一半．【变式7-2】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面材料，完成相应的任务．类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决．例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长．解：取的中点，连接，．因为点、分别是，的中点，所以，，，．（依据）……任务：(1)将材料中的解题过程补充完整．(2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：．(3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______．【变式7-3】（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且．证明：如图2，延长到点F，使，连接．∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵，∴四边形是平行四边形．（依据1）∴，．∴，．∴四边形是平行四边形．（依据2）∴，．又∵，∴．归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．任务：(1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______；依据2：______．(2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明．如图3，在中，，点E为边的中点．求证：．(3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______．▌题型08正方形多结论判断题基础：题干给正方形＋几条中点/垂直/45°/折叠/旋转的附加线，判断4~5个小结论。方法：逐个击破先标固有性质（四边等、四角90°、对角线垂直平分相等且分45°）；见中点⇒斜边中线＋中位线；见45°⇒旋转全等；见折叠⇒轴对称＋勾股；见“对角线交点O＋OE⊥……”⇒想中位线（延续矩形03）。思维提醒：正方形多结论题是菱＋矩多结论的“叠加版”，难度最高。平时筛错可用特值（设边长为2⇒对角线，OA＝OB＝）快速验；正式答题每条结论要给推理链。“OA＝OB＝OC＝OD且AC⊥BD”这组双重性质是正方形多结论里几乎必考一次的点，看到O是对角线交点就要同时激活“等长”和“垂直”两套等量。【典例8】（2026·吉林长春·一模）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论：①连接，则有；②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形；③连接，相交于点，则；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有__________．【变式8-1】（25-26八年级上·云南大理·期中）如图，在中，，分别以，，为边向外作正方形，，，连接交于点M，连接交于点N，给出以下三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式8-2】（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连结交于点，给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有_________．【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有______．专题03正方形的性质、判定及证明（题型突破·举一反三）题型01正方形性质的直接应用题型02正方形中的45°构造与旋转全等题型03正方形面积计算题型04正方形判定的条件选择题型05正方形判定的证明题题型06正方形中的折叠问题题型07正方形与中点、中位线综合题型08正方形多结论判断题▌题型01正方形性质的直接应用基础：四边相等＋四角90°；对角线互相垂直平分且相等，且每条对角线平分一组对角（⇒对角线把内角分成45°）；对角线把正方形分成4个全等的等腰Rt△。方法：见到正方形先连对角线，拆成等腰Rt△处理；角度题优先用“对角线分45°”＋平行线内错角传递；已知边长a，则对角线，面积。思维提醒：（即“对角线乘积的一半”，菱形公式在正方形里的特例）是正方形独有速算，选择题求面积若已知对角线直接用，比先求a快。【典例1】（24-25八年级下·河北廊坊·期中）如图，正方形的边长为a，E是对角线上的动点（不与点B，D重合），过点E分别作于点F，于点G，连接，下列判断正确的是（

）结论Ⅰ：四边形的周长为．结论Ⅱ：的最小值为．A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确C．结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ，Ⅱ都不正确【答案】C【分析】先证明四边形是矩形可得、，再证明，可得，进而有，即可判断结论Ⅰ；如图：连接，根据矩形的性质有，根据垂线段最短可知：当时，最短，此时也最小，再结合正方形的性质、勾股定理即可判断Ⅱ．【详解】解：∵在正方形中，边长为a，点E是对角线上的动点，∴，，，∵，，∴四边形是矩形，，∴、，∵，∴，∴，∴，∴四边形的周长为，故结论Ⅰ正确；如图∶连接，∵四边形是矩形，，∴，根据垂线段最短可知：当时，最短，∴此时也最小，如图∶在正方形中，，则有，∴的最小值为，故结论Ⅱ正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等角对等边、垂线段最短等知识点，掌握正方形的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．【变式1-1】（24-25八年级下·北京·期中）如图，正方形中，点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；上述结论中，正确结论的序号有______．【答案】①②/②①【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系等知识点，如图，延长交于点H，得出，利用勾股定理即可得出，故③错误，再将进行恒等变形即可判断①正确，然后利用三角形三边关系即可判断②正确，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．【详解】如图，延长交于点H，∵点E为边上的点（点E不与点C、D重合），以为边作正方形，∴，B，C，G三点共线，，∴，∴，，∴，即，∴，故③错误，不符合题意；∵，，∴，故①正确，符合题意；在中，∵，∴，∴，故②正确，符合题意；故答案为：①②．【变式1-2】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）探究与实践：在一节习题课上，同学们以正方形为基础开展数学学习研究活动．在正方形中，为边上一点（点与点，不重合），，且交正方形外角的平分线于点．(1)观察猜想：如图①，若为的中点，猜想与的数量关系为__________．证明此猜想时，可取的中点，连接．易证．判断三角形全等的依据是________．(2)数学思考：如图②，若为上任一点，上述猜想是否还成立？请说明理由．(3)结论拓展1：如图③，连接，交于点，连接，则与，之间存在的等量关系为_____________．(4)结论拓展2：如图③，连接，若正方形的边长为，求的最小值．【答案】(1)；(2)成立，理由如下：在上取一点，使，连接．四边形是正方形，，．，，是等腰直角三角形，，．是的外角平分线，，，．，．，，在和中，，，；(3)(4)【分析】（1）通过构造中点，连接辅助线，利用正方形性质、等腰直角三角形性质以及角的关系，找到全等三角形的判定条件，使用角边角的证明方法，证明从而猜想并证明；（2）沿用（1）中构造全等三角形的方法，利用正方形基本性质和角的关系，使用角边角的证明方法，证明，证明无论在上什么位置，都成立；（3）将绕点逆时针旋转得到，借助图形变换的思想，把分散的线段通过变换集中到一起，再利用几何图形的各种性质来探究它们之间的数量关系，通过延长线段构造全等三角形，由边角边的证明方法证明，将与，转化到一条线段上找关系即可；（4）延长至，使，连接，，，得到垂直平分，通过对称变换将两条线段的和进行转化，再利用三点共线原理找到最小值的情况．【详解】（1）解：点、点分别为、中点，，，四边形为正方形，，则，，，，，，，，则，为正方形外角的角平分线，，，在和中，，，，故答案为：，；（2）略（3）如图2，将绕点逆时针旋转得到，，，，四边形为正方形，，，将绕点逆时针旋转得到，，，，，，，则点、、三点共线，在和中，，，，即，故答案为：；（4）如图3，延长至，使，连接，，，，，垂直平分，，，当、、三点共线时，最小，最小值是的长，，，，，．【变式1-3】（2026·河南平顶山·三模）在正方形中，E为边延长线上一点，且，连接，．将绕点顺时针旋转得到线段，连接．观察猜想(1)如图1，若点落在边上，则与之间的数量关系为_．类比探究(2)如图2，若点落在正方形内部，判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出正确的结论，并证明．拓展应用(3)连接，当为等腰三角形时，请直接写出的面积．【答案】(1)2(2)结论仍然成立；证明：根据解析（1）可得：，根据旋转可得：，，∴，∴，∴；(3)1或【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的性质求出，，即可得出答案；（2）根据旋转得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可得出答案；（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可．【详解】（1）解：∵四边形为正方形，∴，，，∴，，∵，∴，∴，根据旋转可得：，∴，∴，∴；（2）略（3）解：∵，，∴，根据旋转可得：，当时，过点P作于点F，如图所示：则，此时，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴；当时，如图所示：∵，∴此时点P在正方形的内部，如图，过点P作于点G，过点C作于点H，∵，∴，∵，∴，根据解析（2）可得：，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴，∴；当时，如图所示：∵，∴，∴四边形为菱形，∵，∴四边形为正方形，∴，即，∵，∴此时不符合题意；综上，的面积为1或．▌题型02正方形中的45°构造与旋转全等基础：正方形每个内角90°，对角线分45°；常见模型：正方形ABCD内（或边上）取一点E，使∠EAD＝∠EDC＝45°，可证△ABE≌△CBE或△ADE≌△CDE（SAS：AD＝CD，∠ADE＝∠CDE＝45°，DE公共）；更经典的“正方形顶点引45°交对边于点”⇒构造两个等腰Rt△。方法：题干出现“正方形＋45°”⇒优先想“沿对角线翻折”或“绕顶点旋转90°”造全等；常用SAS：两边是正方形边长（相等）＋夹角45°或90°。思维提醒：这是正方形区别于菱形、矩形的最核心招牌，中考出现率极高。45°⇒旋转90°造全等的操作要练熟，是后续半角模型的雏形。【典例2】（2025·陕西安康·二模）如图，在正方形中，，是边上一点，，且，则的长为______．【答案】10【分析】本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用．延长至F，使，连接，由条件可以得出，就可以得出，就有，通过证明就可以得出，在中，由勾股定理就可以得出的长．【详解】解：延长至F，使，连接，∵四边形是正方形，∴，．∴．在和中，，∴，∴，．∵，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴；∵，，∴．设，则．在中，由勾股定理，得：，解得：，∴．故答案为：10．【变式2-1】（23-24八年级下·山西朔州·期中）阅读与思考下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务．神奇的“半角模型”初中数学中存在一些常见的模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法．例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：．证明：如图，延长至点G，使得．四边形是正方形，（依据1），．，，，（依据2），．，，，，即，．，，，．拓展：如图，在四边形中，，，，E，F分别是边上的点，且，．求五边形的周长．任务：(1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________．(2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线．(3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________．【答案】(1)正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）．(2)见解析(3)18【分析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．（1）利用正方形的性质及全等三角形的性质，则可得出答案；（2）将绕点顺时针旋转得到，补全图形即可；（3）根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到，据此求解即可．【详解】（1）材料中的依据1是指正方形的四条边相等（或正方形的性质）；依据2是指全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）故答案为：正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）；（2）补全辅助线如图所示：将绕点顺时针旋转得到，（3）将绕点顺时针旋转得到，，，，，，，、、三点共线，，，，，，，，，五边形的周长，故答案为：．【变式2-2】（2025·河南周口·三模）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图①，在中，，，点、在边上，且，，，求的长．解：如图②，将绕点逆时针旋转得到，连接．由旋转的特征得，，，．，，．，，即，．在和中，，，_①_，，．又_②_，在中，．，，_③_．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：________；“②”处应填：________；“③”处应填：________；刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图③，在正方形中，点、分别在边、上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接、，分别与对角线交于、两点．探究、、的数量关系并证明；【拓展应用】如图④，在矩形中，点、分别在边、上，且．探究、、的数量关系：________（直接写出结论，不必证明）．【答案】问题解决：；；知识迁移：，证明如下：如图，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接，，由旋转的性质可得：，，，由题意可得：，∴，∴，∴，∵为正方形的对角线，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，在中，，∴；拓展应用：．【分析】问题解决：由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解；知识迁移：将绕点逆时针旋转，得到，过点作交于，连接，由旋转的性质可得，，，证明得出，证明得出，，证明得出，最后再由勾股定理即可得解；拓展应用：延长交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交延长线于，则，由全等三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，由知识迁移可得，由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可得，即可得解．【详解】问题解决：略知识迁移：略拓展应用：，证明如下：如图，延长交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，连接、，作交延长线于，，∴，∴，，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，由知识迁移可得：，∴，，由勾股定理可得：，∴，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．【变式2-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请你补充完整．【知识技能】原题：如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，连接．则，请说明理由．证明：（1），∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．，，即点F，D，G在一条直线上．由旋转可得：，，又______（______）填写全等三角形的判定方法【类比推理】（2）如图2，四边形中，，，点E，F分别在边，上，．若，都不是直角，则当时，求证：．【联想拓展】（3）如图3，在中，，，点D，E均在边上，且，，．①试猜想线段，，之间的数量关系，请证明你的猜想；②直接写出的面积．【答案】（1），；（2）见解析；（3）①，理由见解析；②【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，利用旋转构造全等三角形，是解题的关键：（1）利用旋转的性质，证明，即可；（2）同法（1）进行证明即可；（3）①把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明，推出是直角三角形，利用勾股定理和等量代换即可得出结论．②先求解，再进一步求解即可．【详解】解：（1），∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合．，，即点F，D，G在一条直线上．由旋转可得：，，又（）故答案为：，；（2）如图，，，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，，，，，，，，，，点、、共线，在和中，，，，即；（3）①，理由如下：把旋转到的位置，连接，，如图，则，，，，，又，，在和中，，，，又，，是直角三角形，，②，，，，，∵，的边上的高为，．▌题型03正方形面积计算基础：（d为对角线长，源自菱形面积公式且正方形）。方法：已知边长⇒；已知对角线（速算）；割补类题（如“去掉一个角剩五边形求面积”）用“整体－局部”。思维提醒：九上阶段正方形面积题常与“勾股定理＋等腰Rt”捆绑，看到倍关系先想“是不是对角线与边长的转换”。【典例3】（25-26八年级下·上海普陀·期中）如果正方形的一条对角线长为，那么它的面积是______．【答案】3【分析】本题可利用正方形对角线相等的性质，根据正方形面积等于对角线乘积的一半直接求解．【详解】解：∵正方形的对角线相等，已知一条对角线长为，∴另一条对角线长也为，正方形面积．【变式3-1】（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，分别以的三边为边长向外作三个正方形．若正方形P的面积等于48，Q的面积等于12，则正方形R的边长是_____．【答案】6【分析】根据正方形的面积可知和，利用勾股定理求出，进而可得出字母R所代表的正方形的边长．【详解】解：根据正方形的面积为边长的平方可知和，在中，，则字母R所代表的正方形的边长为．【变式3-2】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知正方形与正方形．将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图1），除去重合部分后，正方形与正方形的剩余图形面积之比为；再将正方形的顶点与正方形的对称中心重合（如图2），除去重合部分后，此时正方形与正方形的剩余图形面积之比为________．【答案】【分析】连接、，令与交于点，与交于点，先证明，得出，从而可得，求出，连接、，令与交于点，与交于点，同理可得，，从而可得，由此计算即可得出结果．【详解】解：如图：连接、，令与交于点，与交于点，∵正方形的顶点与正方形的对称中心重合，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵除去重合部分后，正方形与正方形的剩余图形面积之比为，∴，∴，如图：连接、，令与交于点，与交于点，同理可得，∴，∴，∴将正方形的顶点与正方形的对称中心重合，除去重合部分后，此时正方形与正方形的剩余图形面积之比为【变式3-3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）综合与实践【问题初探】(1)如图1，在中，为边上的中线，我们将绕点旋转，得到，请作出；【问题解决】(2)如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小（提示：将绕点B顺时针方向旋转）；【问题拓展】(3)在正方形中，E，F分别为边上的点，且满足，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）延长，截取，连接即可；（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解；（3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，∴，，，，∴是等边三角形，∴，，在中，，，，∵，∴，∴，∴，∴；∴的大小为；（3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，∴，，，，∵四边形是正方形，，，，∴，，∴点在的延长线上，∴，，∴，∴．在与中，，∴，∴，∴的面积为．▌题型04正方形判定的条件选择基础：三条主流路——定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；先证菱形，再补“一个角90°”（或“对角线相等”）；先证矩形，再补“一组邻边相等”（或“对角线垂直”）。方法：题干若已给“平行四边形”⇒需同时补“邻边等＋一角为90°”，或只补“邻边等”走菱形＋直角，或只补“直角”走矩形＋邻边等；题干若给“四边形”⇒走“四边等＋一角为90°”或“三个直角＋邻边等”。思维提醒：中点四边形类高频题——“连接四边中点得EFGH，添加何条件使EFGH为正方形”⇒答“原四边形AC＝BD且AC⊥BD”（既要等长又要垂直，对照：菱⇒矩形要AC⊥BD；矩⇒菱形要AC＝BD；正方⇒正方要两者同时满足）。【典例4】（25-26八年级下·广东江门·期中）已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解．【详解】解：∵四边形中，，∴四边形是矩形，若添加条件，则四边形是正方形，若添加条件或或，无法推出四边形是正方形，∴只有B选项符合题意．【变式4-1】（2026·广西玉林·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）．【答案】①②或②③（填写一组即可）【分析】根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．【详解】解：当选择①；②时，∵四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形，∵，∴菱形是正方形；当选择②；③时，∵四边形是平行四边形，当，∴四边形是菱形，∵，∴菱形是正方形；当选择①；③，由于四边形是平行四边形，若或，均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意；∴选择①②或②③均可以．【变式4-2】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）如图，在四边形中，，对角线平分，是上一点，过点分别作交于点，交于点．(1)求证：；(2)连接．当与满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)时，四边形是正方形，理由见解析．【分析】（1）证明，即可得出结论；（2）先证明四边形是菱形，再根据对角线相等的菱形是正方形，添加条件即可.【详解】（1）解：证明：平分，，，，，；（2）解：时，四边形是正方形，理由：，，四边形是平行四边形，，，，，四边形是菱形，，四边形是正方形．【变式4-3】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，点，分别是边、上一点，且，则四边形的形状可能是________．（填序号：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形）【答案】①②③【分析】先得出四边形是平行四边形，再根据矩形、菱形和正方形的判定逐个分析即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，即，∴四边形是平行四边形；若，则四边形是矩形，此时，∴，∵，∴，点在边上，符合题意；若，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴平行四边形是菱形，即当时，四边形是菱形；要使平行四边形是正方形，则，且，由上可知，，∴，，∴，这与矛盾，∴平行四边形不可能是正方形；综上，四边形的形状可能是①②③．▌题型05正方形判定的证明题基础：两条主流路径路①：先证菱形（四边等/对角线垂直平分的平行四边），再补“一角为90°”或“对角线相等”；路②：先证矩形（三直角/对角线相等的平行四边），再补“一组邻边相等”或“对角线垂直”。方法：题干给“一组邻边等＋一个直角＋平行关系”⇒路①快；给“一堆直角＋对边平行”⇒路②快；给“对角线等长且垂直且平分”⇒可直接证“既是菱形又是矩形”。思维提醒：最容易扣分的是只证了一半，常证完“是菱形”就写“∴是正方形”，忘了补“直角/对角线相等”；或证完“是矩形”忘了补“邻边等/对角线垂直”。判定的书写模板：“先证××（菱或矩），再∵××（补条件），∴是正方形”，两步缺一不可。【典例5】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形．【答案】见解析【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论．【详解】证明：∵菱形，∴，∵，∴，即，∴四边形为平行四边形形，又，∴四边形为菱形，∴，∴，∴四边形为正方形．【变式5-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，，．(1)试判断四边形的形状，并说明理由；(2)若，请求出四边形的面积．【答案】(1)四边形是正方形，理由如下：∵，，∴四边形是平行四边形，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴四边形是正方形；(2)2【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，推出平行四边形是菱形，由，可证明四边形是正方形；（2）利用正方形的性质结合勾股定理求解即可．【详解】（1）解：略（2）解：由（1）知四边形是正方形，∴，∴，∴四边形的面积为2．【变式5-2】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，是的对角线，，点E是边的延长线上一点，连接，过点C作于点F，交于点G，且．(1)求证：四边形是正方形；(2)若点F是的中点，，求的长．【答案】(1)证明：∵中，∴四边形是菱形，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是正方形；(2)【分析】（1）先证明四边形是菱形，再结合，，可得，即可求证；（2）根据勾股定理可得，再根据线段垂直平分线的性质解答即可．【详解】（1）略（2）解：∵四边形是正方形，，∴，∴，∵点F是的中点，，∴垂直平分，∴．【变式5-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形是菱形，点是的中点，点在线段上（不与端点重合），连接，，点在边的延长线上，且，．(1)求证：四边形是正方形．(2)求证：．(3)以下与线段有关的三个结论：，，．你认为哪个正确？请说明理由．【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，，．又，，∴菱形是正方形．(2)证明：∵四边形是正方形，，．，，．又∵，，，．(3)解：正确．理由如下：过点作交于点，如图，则．∵四边形是正方形，∴，，，，，，，∵，．∵，，∴，∵，，．是等腰直角三角形，，，，，．【分析】（1）证明，即可证明菱形是正方形；（2）证明，得到，，再证明，即可得到结论；（3）过点作交于点，证明，得到．证明，根据即可得证明结论．【详解】（1）略（2）略（3）略▌题型06正方形中的折叠问题基础：折叠＝轴对称；正方形特有优势：四边等＋四角90°＋对角线45°＋等腰Rt可速算。方法：三步同矩形专题标对应点；用“对应边等＋正方形四边等”设未知数；放回Rt△用勾股列方程。正方形折叠比矩形折叠多一条路：若出现45°或等腰Rt特征，可用“直角边：直角边：斜边＝”直接写比例，不用每次全展开勾股。思维提醒：用勾股＋等腰Rt比例。经典题设未知后用勾股定理列方程，是通用解法；若折叠后出现45°，优先看能不能转等腰Rt省计算。【典例6】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图所示是边长为的正方形纸片，点为边的中点，折叠纸片使点落在点处，折痕为，则的长为____________．【答案】【分析】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据折叠的性质，只要求出就可以求出，在直角中，若设，则，，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．【详解】解：由翻折可知，根据题意设，则，又点为边的中点，，在中，，即，解得：，即．故答案为：．【变式6-1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为_______．【答案】【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G，则四边形是矩形，∴，，，∵折叠，∴，，∵点A的坐标为，点F的坐标为，∴，，∴，在中，，∴，解得，∴，，在中，，∴，解得，∴，∴点E的坐标为.【变式6-2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________．【答案】2【分析】设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．【详解】解：设，连接，，如图所示：∵四边形是正方形，∴.，，∵，∴，在中，，在中，，由折叠的性质得：，∴，即，解得：，即．故答案为：2．【变式6-3】（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）在矩形中，，点E在边上（不与点A、D重合），将沿翻折得到．(1)如图1，当时，的延长线交于点G．①求证：；②若平分，，则点F到的距离为______；(2)如图2，当时，连接，，，若，求的长；(3)如图3，当时，的延长线交于点G，的延长线交于点H，若，探究线段与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①证明：当时，四边形为正方形，，将沿翻折得到，，，∵，，，；②；(2)(3)，理由如下：在矩形中，当时，设，则，根据折叠可得，，，设，则，在中，，即，解得，，，，，，，如图，连接，，，，设，则，在中，，在中，，，即，解得，，．【分析】（1）①根据折叠可得，再通过角度转换得到，证明即可解答；②计算出，利用含角的直角三角形边长关系即可解答；（2）延长交于点，证明，设，利用勾股定理解方程即可；（3）设，则，利用勾股定理求得，求得，再计算，设，则，根据，求得，即可解答．【详解】（1）①略；②解：如图，过点作于点，平分，，根据折叠可得，，，，，，即点F到的距离为；（2）解：如图，延长交于点，，在矩形中，当时，，根据折叠可得，，，，，，，，，，设，则，，在中，，即，解得，（3）略▌题型07正方形与中点、中位线综合基础：正方形四边中点连线⇒得新正方形（中点四边形收口：任意四边⇒平行四边；菱⇒矩；矩⇒菱；正方⇒正方）；正方形内“一边中点＋顶点连线”常造全等或等腰Rt。方法：见中点⇒连中线（斜边中线倍半，延续矩形专题02）＋中位线（平行且等于底边一半）；正方形内“E、F是AB、BC中点，连DE、DF”类题，常证△DAE≌△DCF（AD＝DC，∠A＝∠C＝90°，AE＝CF）。思维提醒：这是三个特殊平行四边形专题的横向闭环题【典例7】（2025·安徽宣城·一模）如图1，在中，，，DE是的中位线．将绕点A按顺时针方向旋转，射线BD与射线CE交于点P，如图2所示．(1)求证：．(2)在这个旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由．(3)当时，求BP的长．【答案】(1)证明：，，DE是的中位线，，，．在和中，．(2)不变，(3)【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）证明，，．即可证明；（2）由得到，又由即可证明结论；（3）由勾股定理得到．由得到，，证明四边形是正方形，得到，即可求出答案．【详解】（1）略（2）不变．如图1，设AB与CP交于点G．，，，．（3）如图2，在中，，，．，，，四边形是正方形，，．【变式7-1】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）探究三角形与梯形中位线的性质及应用，并完成以下问题知识回顾：(1)本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图1，中，是△的中位线，连接．则与的关系为：___（用符号语言表达）．方法迁移：(2)连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图2，已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由．理解内化：(3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是___．拓展：(4)如图3，分别以的边、为一边，在外作正方形和，点是的中点，求证：点到的距离是的一半．【答案】(1)，(2)，，理由见解析(3)(4)证明过程见解析【分析】（1）由已知可得是的中位线，即可求解；（2）连接并延长交的延长线于点，证明，可得，，可得，为的中位线，结合平行线的性质，即可得线段，，之间的关系；（3）由（2）得梯形中位线与上底、下底之间的关系，代入梯形的面积公式计算即可；（4）分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，，证明，，可得，即可证得结论．【详解】（1）解：∵点是边的中点，点是边的中点，∴是的中位线，∴，．（2）解：，，理由如下：如图（2），连接并延长交的延长线于点，∵，∴，∵点为的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵为的中点，为的中点，∴为的中位线，∴，，∴，．（3）解：∵梯形的中位线长为，高为，∴．（4）证明：分别过，，，作的垂线，垂足依次为，，，，则，过点作，交于点，交延长线于点，∵，，，，∴，∴四边形是矩形，四边形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴为的中点，∴为梯形的中位线，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵于点，于点，∴，，∴，，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，∵于点，于点，∴，，∴，，∴，∴，，∴，∴．【变式7-2】（25-26八年级下·湖南邵阳·期中）阅读下面材料，完成相应的任务．类比三角形中位线，我们把连接四边形对边中点的线段叫做四边形的中位线．如图1，在四边形中，点，分别是，的中点，则就是四边形的中位线．求四边形中位线的长度，可以通过找对角线中点，将其转化为三角形中位线解决．例：如图2，在四边形中，点，分别是，的中点．若，，，，求的长．解：取的中点，连接，．因为点、分别是，的中点，所以，，，．（依据）……任务：(1)将材料中的解题过程补充完整．(2)如图3，在四边形中，点，分别是，的中点，，，，延长，交于点，延长交于点．求证：．(3)对角线互相垂直的四边形叫垂美四边形．已知四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，若，，则与的关系是______，______．【答案】(1)过程见解析(2)证明过程见解析(3)互相平分且相等；50【分析】（1）由三角形中位线定理得，，，，根据平行线的性质可得出，再由勾股定理即可求解；（2）连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得，，用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可得结论；（3）根据已知条件证明四边形是矩形，即可得解；【详解】（1）解：取的中点，连接，，点、分别是，的中点，，，，，（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半），，，，在中，由勾股定理得；（2）证明：连接，取的中点，连接，，点，分别是，的中点，，，，，，，，，，，是直角三角形，且，，；（3）解：如图，四边形是垂美四边形，、、、分别为边、、、的中点，连接，，，，是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是矩形，，是矩形的对角线，与互相平分且相等，，，，，中，，，，．【变式7-3】（2025·山西大同·一模）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务．三角形中位线定理的证明如图1，在中，点D，E分别是，的中点，连接，像这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．求证：，且．证明：如图2，延长到点F，使，连接．∵点D，E分别是，的中点，∴，．又∵，∴四边形是平行四边形．（依据1）∴，．∴，．∴四边形是平行四边形．（依据2）∴，．又∵，∴．归纳总结：上述证明过程运用了“倍长线段法”，也有人称为“倍长法”（延长三角形中位线的一倍），该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法．任务：(1)上述材料证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：______；依据2：______．(2)数学学习小组的同学发现可以用“倍长线段法”证明定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．请你尝试证明．如图3，在中，，点E为边的中点．求证：．(3)如图4，四边形和四边形都是正方形，点M是的中点．若，则的长为______．【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(2)证明：如图，延长到点F．使．连接，．∵点E为的中点．∴．又∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．∴．∵．∴．∴．(3)2【分析】（1）由平行四边形的判定