2026年概率矩阵试题库及答案

2026年概率矩阵试题库及答案一、单项选择题（共15题，每题3分，共45分）1.2026年某电商平台构建用户购买行为转移矩阵，状态分为未购买、首次购买、复购、流失四类，下列矩阵中属于合法概率矩阵的是（）A.[[0.8,0.1,0.2,0.1],[0.3,0.5,0.1,0.1],[0,0.2,0.7,0.1],[0,0,0,1]]B.[[0.7,0.2,-0.1,0.2],[0.2,0.6,0.1,0.1],[0.1,0.3,0.5,0.1],[0,0,0,1]]C.[[0.7,0.1,0.1,0.1],[0.2,0.6,0.1,0.1],[0.1,0.2,0.6,0.1],[0,0,0,1]]D.[[0.6,0.2,0.1,0.1],[0.1,0.7,0.1,0.1],[0.1,0.1,0.7,0.1],[0.2,0.2,0.2,0.3]]2.下列概率矩阵中属于正则概率矩阵的是（）A.二阶单位矩阵B.[[0,1],[1,0]]C.[[0.7,0.3],[0.2,0.8]]D.[[1,0],[0.3,0.7]]3.某内容平台用户活跃状态的正则转移矩阵稳态分布为[0.68,0.22,0.1]，分别对应日活、周活、月活用户占比，若初始注册用户中日活用户占比仅为20%，足够长时间后平台日活用户占比约为（）A.20%B.45%C.68%D.无法确定4.短视频平台用户状态分为流失、活跃、沉默三类，对应状态1、2、3，转移矩阵为[[1,0,0],[0.05,0.75,0.2],[0.1,0.3,0.6]]，其中属于吸收态的是（）A.活跃B.沉默C.流失D.无吸收态5.已知某转移矩阵的两步转移矩阵P²中，状态1到状态3的元素值为0.42，状态1到状态2的元素值为0.38，状态1到状态1的元素值为0.2，则从状态1出发经过2步转移到状态3的概率为（）A.0.2B.0.38C.0.42D.16.转移矩阵P=[[0,1,0],[0,0,1],[1,0,0]]的状态周期为（）A.1B.2C.3D.无周期7.已知某概率矩阵的稳态分布为π=[0.4,0.6]，满足细致平衡条件的是（）A.P=[[0.7,0.3],[0.2,0.8]]B.P=[[0.6,0.4],[0.3,0.7]]C.P=[[0.5,0.5],[0.2,0.8]]D.P=[[0.8,0.2],[0.3,0.7]]8.某吸收马尔可夫链的基本矩阵为[[2,1],[1,2]]，则从瞬态1出发到被吸收的期望步数为（）A.2B.3C.1D.49.自动驾驶场景下不同时段的道路状态转移矩阵为非齐次序列P1,P2,P3，初始状态分布为μ0，则t=3时刻的状态分布为（）A.μ0P1P2P3B.μ0P3P2P1C.μ0(P1+P2+P3)/3D.μ0P1³10.分层马尔可夫链的转移矩阵为块上三角结构，吸收态对应块为单位矩阵，下列说法正确的是（）A.稳态分布中瞬态的占比随初始分布变化B.稳态分布中吸收态的占比与瞬态转移无关C.所有状态最终都会收敛到同一个吸收态D.该矩阵一定是正则矩阵11.正则概率矩阵的谱半径为（）A.大于1B.等于1C.小于1D.无法确定12.两个初始分布不同的马尔可夫链共享同一个正则概率矩阵，其耦合时间的期望与下列哪项直接相关（）A.矩阵的阶数B.矩阵的第二大特征值模C.初始分布的差D.矩阵的迹13.隐马尔可夫模型的观测概率矩阵中，合法的形式是（）A.列和为1，元素非负B.行和为1，元素非负C.所有元素和为1D.元素无约束14.正则概率矩阵存在ε量级的扰动时，其稳态分布的变化量级为（）A.O(ε²)B.O(ε)C.O(√ε)D.不变化15.多智能体一致性场景下使用的双随机概率矩阵（行和、列和均为1），其稳态分布为（）A.全1向量B.均匀分布C.与初始分布相关D.零向量单项选择题答案：1.C2.C3.C4.C5.C6.C7.A8.B9.A10.B11.B12.B13.B14.B15.B二、填空题（共10题，每题4分，共40分）1.标准概率矩阵的所有非负元素的行和为____。2.正则概率矩阵的k次幂当k→∞时，每行元素均等于____。3.吸收概率矩阵中包含3个瞬态、2个吸收态，其基本矩阵的阶数为____阶。4.不可约双随机概率矩阵的稳态分布为____。5.转移矩阵P=[[0.6,0.4],[0.3,0.7]]的稳态分布π=(π1,π2)，则π1=____（保留四位小数）。6.吸收马尔可夫链中，瞬态到吸收态的转移矩阵为R，基本矩阵为N=(I-Q)⁻¹，则从瞬态到吸收态的吸收概率矩阵为____。7.周期为d的不可约概率矩阵，其Pᵈ可以分解为d个____的直和。8.满足细致平衡条件的概率矩阵，可通过____直接求解稳态分布，无需解完整线性方程组。9.非齐次概率矩阵序列满足弱遍历性时，任意两个不同初始分布经过t步转移后的总变差距离会____。10.2026年某外卖平台骑手状态转移矩阵的稳态下，忙碌状态占比为72%，若平台共有1200名在册骑手，长期来看空闲骑手数量约为____名。填空题答案：1.12.稳态分布π3.34.均匀分布5.0.42866.NR7.不可约正则矩阵8.细致平衡方程πiPij=πjPji9.趋于010.336三、简答题（共4题，每题10分，共40分）1.简述正则概率矩阵、不可约概率矩阵、吸收概率矩阵的定义与核心差异。参考答案：正则概率矩阵指存在正整数k，使得Pᵏ的所有元素严格大于0的概率矩阵，核心特征是不可约、非周期，所有状态可在有限步内以正概率互通，不存在周期或无法离开的状态。不可约概率矩阵指状态空间中任意两个状态i、j，都存在正整数k使得Pᵏ(i,j)>0，即所有状态互通，但允许存在周期，例如循环转移矩阵属于不可约但非正则矩阵。吸收概率矩阵指至少存在一个吸收态（P(i,i)=1，离开该状态的概率为0），且所有瞬态都能以正概率在有限步到达吸收态的概率矩阵，核心是可约，存在不与瞬态互通的吸收态。三者核心差异：正则矩阵一定是不可约非周期的，不可约矩阵可能存在周期，吸收矩阵一定是可约的，长期概率会收敛到吸收态。2.什么是稳态分布？不可约非周期马尔可夫链对应的概率矩阵的稳态分布有什么性质？参考答案：稳态分布是指满足πP=π且所有元素和为1的非负向量π，即经过一次转移后分布保持不变。不可约非周期马尔可夫链对应的概率矩阵的稳态分布具有唯一性，与初始分布无关，当转移步数趋于无穷时，任意初始分布都会收敛到该稳态分布；稳态分布中每个元素等于对应状态的长期访问频率，若存在平稳回报，则长期平均回报等于稳态分布与回报向量的内积。3.简述基本矩阵在吸收马尔可夫链中的作用，写出期望吸收时间的计算公式。参考答案：基本矩阵N=(I-Q)⁻¹，其中Q是吸收转移矩阵中瞬态之间的转移子矩阵，I为同阶单位矩阵。基本矩阵的元素N(i,j)表示从瞬态i出发，在被吸收前访问瞬态j的期望次数，是计算吸收概率、期望吸收时间的核心中间量。期望吸收时间向量t=N1，其中1为与瞬态数量同维的全1向量，t的第i个元素表示从瞬态i出发到被吸收的期望步数。4.什么是细致平衡条件？为什么满足细致平衡条件的概率矩阵可以快速求解稳态分布？参考答案：细致平衡条件指存在非负向量π，使得对任意状态i、j，都有πiPij=πjPji，即从i转移到j的概率流等于从j转移到i的概率流，系统处于微观平衡状态。满足该条件时，只需对相邻状态建立平衡方程即可递推求解所有πi，无需联立n元线性方程组（n为状态数），大幅降低求解复杂度，尤其适用于状态空间较大的场景。四、计算题（共3题，每题20分，共60分）1.2026年某社交平台构建用户留存转移矩阵，状态分为活跃（S1）、沉默（S2）、流失（S3），转移矩阵为：P=[[0.7,0.2,0.1],[0.3,0.5,0.2],[0,0,1]]求解下列问题：（1）识别吸收态与瞬态；（4分）（2）计算该吸收马尔可夫链的基本矩阵；（6分）（3）求用户从活跃状态出发到最终流失的期望步数；（5分）（4）求用户从沉默状态出发，在流失前曾经到达活跃状态的概率。（5分）参考答案：（1）吸收态为流失（S3），满足P(3,3)=1，离开该状态概率为0；瞬态为活跃（S1）、沉默（S2），均存在转移到其他状态的正概率，且可到达吸收态。（2）瞬态之间的转移子矩阵Q为[[0.7,0.2],[0.3,0.5]]，则I-Q=[[0.3,-0.2],[-0.3,0.5]]，行列式det(I-Q)=0.3×0.5-0.2×0.3=0.09，伴随矩阵为[[0.5,0.2],[0.3,0.3]]，因此基本矩阵N=(I-Q)⁻¹=1/0.09×[[0.5,0.2],[0.3,0.3]]=[[50/9,20/9],[10/3,10/3]]≈[[5.5556,2.2222],[3.3333,3.3333]]。（3）期望吸收时间为基本矩阵的行和，从S1出发的期望步数为50/9+20/9=70/9≈7.78步。（4）设f1为从S1出发在流失前到达活跃态的概率，f2为从S2出发的对应概率，则f1=1（已在活跃态），f2=0.3f1+0.5f2+0.2×0，解得0.5f2=0.3，f2=0.6，即所求概率为0.6。2.2026年某共享充电宝品牌构建站点间的充电宝转移矩阵，状态为A站、B站、C站，转移矩阵为：P=[[0.5,0.3,0.2],[0.2,0.6,0.2],[0.1,0.1,0.8]]求解下列问题：（1）验证该矩阵为正则概率矩阵；（4分）（2）求解稳态分布π；（8分）（3）若初始时三个站点的充电宝占比为[0.6,0.3,0.1]，求经过3次转移后各站点的充电宝占比（保留四位小数）；（5分）（4）长期来看哪个站点的充电宝保有量最高，占比为多少？（3分）参考答案：（1）正则矩阵要求存在k使得Pᵏ全正，本题中P的所有元素均严格大于0，即k=1时满足条件，因此是正则概率矩阵。（2）稳态分布满足πP=π且π1+π2+π3=1，列方程得：0.5π1+0.2π2+0.1π3=π1→-0.5π1+0.2π2+0.1π3=00.3π1+0.6π2+0.1π3=π2→0.3π1-0.4π2+0.1π3=00.2π1+0.2π2+0.8π3=π3→0.2π1+0.2π2-0.2π3=0→π1+π2=π3将π3=π1+π2代入前两个方程，解得4π1=3π2，即π2=4π1/3，π3=7π1/3，代入和为1的条件得π1+4π1/3+7π1/3=1→π1=3/14≈0.2143，π2=2/7≈0.2857，π3=0.5，即稳态分布为[3/14,2/7,1/2]。（3）初始分布μ0=[0.6,0.3,0.1]，依次计算：μ1=μ0P=[0.6×0.5+0.3×0.2+0.1×0.1,0.6×0.3+0.3×0.6+0.1×0.1,0.6×0.2+0.3×0.2+0.1×0.8]=[0.37,0.37,0.26]μ2=μ1P=[0.37×0.5+0.37×0.2+0.26×0.1,0.37×0.3+0.37×0.6+0.26×0.1,0.37×0.2+0.37×0.2+0.26×0.8]=[0.285,0.359,0.356]μ3=μ2P≈[0.285×0.5+0.359×0.2+0.356×0.1,0.285×0.3+0.359×0.6+0.356×0.1,0.285×0.2+0.359×0.2+0.356×0.8]≈[0.2499,0.3365,0.4136]即3次转移后占比为[0.2499,0.3365,0.4136]。（4）长期来看C站保有量最高，占比50%。3.多智能体一致性场景下的双随机转移矩阵为：P=[[0.4,0.2,0.2,0.2],[0.2,0.4,0.2,0.2],[0.2,0.2,0.4,0.2],[0.2,0.2,0.2,0.4]]求解下列问题：（1）证明该矩阵为正则概率矩阵；（5分）（2）求其稳态分布；（7分）（3）若初始时4个智能体的状态值分别为10、20、30、40，足够多次迭代后所有智能体的状态值收敛到多少？（8分）参考答案：（1）该矩阵所有元素均严格大于0，即k=1时Pᵏ全正，且行和均为1，符合正则概率矩阵的定义。（2）该矩阵为双随机矩阵（行和、列和均为1），正则双随机矩阵的稳态为均匀分布，即π=[0.25,0.25,0.25,0.25]，验证可得πP=0.25×[1,1,1,1]=π，符合稳态条件。（3）多智能体迭代过程为线性转移，收敛后的状态值为初始值的稳态加权平均，即0.25×10+0.25×20+0.25×30+0.25×40=25，因此所有智能体的状态值都会收敛到25。五、综合应用题（共2题，每题32.5分，共65分）1.2026年某内容平台上线个性化推荐系统后，将用户状态分为五类：S0（新用户）、S1（日活）、S2（周活）、S3（月活）、S4（流失），转移矩阵如下：P=[[0,0.6,0.2,0.1,0.1],[0,0.7,0.2,0.05,0.05],[0,0.3,0.4,0.2,0.1],[0,0.1,0.3,0.3,0.3],[0,0,0,0,1]]求解下列问题：（1）平台对新用户推出首周补贴政策，补贴后新用户转移到日活的概率提升至0.8，转移到周活的概率为0.15，直接流失的概率降至0.05，无其他转移路径，求补贴前后新用户的期望留存时间（从注册到流失的期望时间）的提升幅度（保留一位小数）；（12分）（2）平台希望将长期注册用户中的月度流失率控制在30%以下，若保持现有转移矩阵不变，每月新增100万新用户，求长期稳态下平台的活跃用户总规模（不含流失用户）；（10分）（3）平台对月活用户推出召回活动，调整后月活用户转移到流失的概率从0.3降至0.1，转移到周活的概率提升至0.5，其余转移概率不变，求调整后从月活用户出发最终流失的概率的下降幅度（保留一位小数）。（10.5分）参考答案：（1）首先计算补贴前的期望留存时间：瞬态为S0、S1、S2、S3，设t0、t1、t2、t3分别为对应状态的期望留存时间，列方程：t0=1+0.6t1+0.2t2+0.1t3+0.1×0t1=1+0.7t1+0.2t2+0.05t3+0.05×0→0.3t1-0.2t2-0.05t3=1t2=1+0.3t1+0.4t2+0.2t3+0.1×0→-0.3t1+0.6t2-0.2t3=1t3=1+0.1t1+0.3t2+0.3t3+0.3×0→-0.1t1-0.3t2+0.7t3=1解后三个方程得t1≈8.8，t2≈9.6，t3≈7.2，代入t0的表达式得t0≈1+0.6×8.8+0.2×9.6+0.1×7.2≈1+5.28+1.92+0.72≈8.9步。补贴后新用户的转移方程更新为t0'=1+0.8t1+0.15t2+0.05×0，代入t1、t2的值得t0'≈1+0.8×8.8+0.15×9.6≈1+7.04+1.44≈9.5步。提升幅度为(9.5-8.9)/8.9×100%≈6.7%。（2）长期稳态下各活跃状态的用户数保持动态平衡，设S0=100万（每月固定新增），S1、S2、S3为对应状态的稳态用户数，列平衡方程：S1=0.6×100+0.7S1+0.3S2+0.1S3→0.3S1-0.3S2-0.1S3=60S2=0.2×100+0.2S1+0.4S2+0.3S3→-0.2S1+0.6S2-0.3S3=20S3=0.1×100+0.05S1+0.2S2+0.3S3→-0.05S1-0.2S2+0.7S3=10解得S1≈422万，S2≈278万，S3≈145万，活跃总规模=100+422+278+145=945万，此时月度流失用户为100万，月度流失率=100/945≈10.6%，远低于30%的控制阈值，符合运营要求。（3）调整后月活的转移行变为[0,0.1,0.5,0.3,0.1]，设f1、f2、f3分别为从S1、S2、S3出发最终流失的概率，列方程：f1=0.05×1+0.7f1+0.2f2+0.05f3→0.3f1-0.2f2-0.05f3=0.05f2=0.1×1+0.3f1+0.4f2+0.2f3→-0.3f1+0.6f2-0.2f3=0.1f3=0.1×1+0.1f1+0.5f2+0.3f3→-0.1f1-0.5f2+0.7f3=0.1解得调整前f3≈0.68，调整后f3≈0.42，下降幅度为(0.68-0.42)/0.68×100%≈38.2%。2.2026年某城市智能交通系统构建早高峰路网流量转移矩阵，核心区分为A（商务区）、B（居住区）、C（工业区）、D（休闲区），早高峰三个15分钟时段的转移矩阵分别为P1（7:00-7:15）、P2（7:15-7:30）、P3（7:30-7:45）：P1=[[0.2,0.5,0.2,0.1],[0.6,0.1,0.2,0.1],[0.4,0.3,0.2,0.1],[0.3,0.4,0.2,0.1]]P2=[[0.1,0.7,0.1,0.1],[0.7,0.1,0.1,0.1],[0.3,0.4,0.2,0.1],[0.2,0.5,0.2,0.1]]P3=[[0.1,0.75,0.1,0.05],[0.75,0.1,0.1,0.05],[0.2,0.5,0.2,0.1],[0.1,0.6,0.2,0.1]]求解下列问题：（1）若7:00时四个区域的车辆占比为[0.1,0.5,0.2,0.2]，求7:45时各区域的车辆占比（保留四位小数）；（12分）（2）交通管理部门在7:15-7:30时段对A到B的路径限流，将P2中A到B的转移概率从0.7降至0.5，多出的0.2平均分配到A到C和A到D，求限流后7:45时居住区B的车辆占比下降幅度，判断是否能缓解拥堵（拥堵阈值为B区域占比≥55%）；（10分）（3）平峰时段转移矩阵收敛为固定矩阵P=[[0.3,0.3,0.2,0.2],[0.3,0.3,0.2,0.2],[0.2,0.2,0.3,0.3],[0.2,0.2,0.3,0.3]]，求平峰稳态车辆分布，判断哪个区域车辆占比最高。（10.5分）参考答案：（1）依次计算各时段分布：μ0=[0.1,0.5,0.2,0.2]（7:00）μ1=μ0P1=[0.1×0.2+0.5×0.6+0.2×0.4+0.2×0.3,0.1×0.5+0.5×0.1+0.2×0.3+0.2×0.4,0.1×0.2+0.5×0.2+0.2×0.2+0.2×0.2,0.1×0.1+0.5×0.1+0.2×0.1+0.2×0.1]=[0.46,0.24,0.2,0.1]（7:15）μ2=μ1P2=[0.46×0.1+0.24×0.7+0.2×0.3+0.1×0.2,0.46×0.7+0.24×0.1+0.2×0.4+0.1×0.5,0.46×0.1+0.24×0.1+0.2×0.2+0.1×0.2,0.46×0.1+0.24×0.1+0.2×0.1+0.1×0