【高考专项复习】专题03 利用基本不等式求最值含柯西不等式与权方和不等式12种常见考法归类（核心题型清单）

题型12权方和不等式题型12权方和不等式题型11柯西不等式题型10基本不等式与对勾函数题型09利用两次基本不等式求最值题型08重组转化题型07齐次化题型01直接法题型02配凑法题型03常数代换法题型04消元法题型05不等式法题型06换元法积ab,和a+b和平方和a²+b²三者之间的不等式关系：②需要注意的是验证等号成立的条件，特别地，由基本不等求最值时要求"一正、二定、三相等".③转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再④乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值.1.(2026·天津河西模拟预测)已知a>0,b>0,且2a+b=1,则ab的最大值为()所以(a+1)(b+2)的最大值为8.则24+46的最小值为() 当且仅当时取等号.a₂a₈的最大值a²+b²=c²+ab,则△ABC面积的最大值为()【详解】f(-x)=(a-2)(e⁻ˣ+e)+1-x|+b=(a-2)(e⁸+e⁻)+|x|+b=f(x),将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值.①应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.“三相等”是指满足等号成立的条件.②配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.③形的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为(4>0,B>0),g()恒正或恒负的形式，A.的最大值为()①若已知条件中的“1”(常量可化为“1”)与目标函数之间具有某种关系(尤其是整式与分式相乘模型),则实施“1”代换，配凑和或积为常数.模型1已知正数x,y满足ax+by=1,求的最小值。(a>0,b>0,m>0,n>0)②常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);2)把确定的定值(常数)变形为1;3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；4)利用基本不等式求解最值.和的关系.故a+2b的最小值为9.又f'(x)=15x²+1>0,故的最小值为9,故D正确.22.(2026高三陕西榆林阶段检测)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a/16,若x,y均为正数，则的最小值是()则的最小值是8.的最小值为()的最大值为()27.(2026高三·安徽合肥阶段检测)已知正数x,y满足(1-x)(1+y)=1,则的可.【详解】(方法一)由ab=a+b+3,可得(a-1)(b-1)=4,则4a+b=4(a-1)+(b-1)+5≥2√4(a-1)(b-1)+5=1故4a+b的最小值为13.故4a+b的最小值为13.由x,y>0,可得y>4,,即y,即y=6.即2m+n=2,m,n>0,得0<m<1,0<n<2,所以的最大值为0.√pqt-k≤0,解不等式取正根上限tmax,,再联立pa=qb验证存在正数解。值.即(3x+y)²+12(3x+y)-108≥0,得[(3因此当x=1,y=3,3x+y的最小值为6.所以3x+y≥6.所以2x+y的最小值为6.37.(2026高三贵州六盘水阶段检测)若正数a,b满足a+b-ab+2=0,则a+b的取值范围是(),,所以令,点方法技巧布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.38.(2026高三·湖北武汉·阶段检测)已知正数a,b,c满足2a+b+3c=4,则的最小等式求最值.【详解】正数a,b,c满足2a+b+3c=4,则2(a+c)+(b+c)=4,令a+c=m,b+c=n,则有2m+n=4,m>0,n>0,当且仅当时等号成立，由解得即当m=1,n=2时，即的最小值为39.(2026高三·全国·专题练习)已知正数x,y满则xy的最大值是 【分析】解法1:由题意可得.令2x+y=u,x+4y=v,得：代入，进而利用基本不等式可求解.解法2:令可得则令令满足9a²+4b²=16,则进行求解.范围为()而而【详解】∵令令,(t>1),利用基本故答案为：-8.等号能够同时成立时方可.当0<x<1时h'(x)<0,当x>1时h'(x)>0,所以，的最小值为4,定值(和定积最大，积定和最小);三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意对勾函数,当a≠0,b≠0时，对勾函数是正比例函数f(x)=axyy=ax+y=ax+oa>0b<054.(2026高三·上海阶段检测)下列函数中，最小值为2的是()此时y≥4-2=2,所以函数最小值为2,故C正确；的最小值为()设设1、二维形式的柯西不等式(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时，等号成立)1)√a²+b².√c²+d²≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时，等号成立)(2)√a²+b²·√c²+d²≥lacl+|bd|(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时，等号成立)(3)(a+b)(c+d)≥(√ac+√bd)²(a,b,c,d≥0,当且仅当ad=bc时，等号成立)3、扩展：,当且仅当a₁:b₁=a₂:b₂=…=an:b时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a²+b²+c²,并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了所以函数f(x)=√x-x²+√4x-x²的最大值为2.所以3x+4y的最大值为6.(x²+y²+z²)×(1²+1²+11故x²+y²+z²的最小值为3'权方和不等式：若a,b,x,y>0,则,当且