2027届湖南湘潭市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）2027届湘潭市高三第一次模拟考试数学本试卷共4页，19个小题．满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效．3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效．4．保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．样本数据6，8，4，5，12的第一四分位数为（

）A．5 B．6 C．8 D．92．已知向量，，若，则实数的值为（

）A． B．2C． D．3．点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（

）A．1 B．C．2 D．34．已知函数，若，则（

）A．0 B． C．6 D．45．已知展开式中项的系数为，则（

）A．2 B． C．4 D．6．已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．5 B．6C． D．7．某同学类比双曲线的定义研究平面上到点，距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点是该轨迹上一点，则的最大值为（

）A． B．C． D．8．若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（

）A．已知，则B．已知，，则存在实数使得C．若，则D．已知是等比数列的前项和，，则不存在等比数列，使得二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．直线是函数图象的一条对称轴C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象D．若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是10．已知圆，则下列说法正确的有（

）A．圆心在曲线上B．存在两个不同的实数，使圆过点C．存在四个不同的实数，使圆与直线相切D．存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积11．某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（

）A．B．C．记，满足的最小D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则______．13．函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线方程为______．14．四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器（容器壁厚度不计）完全罩住这四个小球，则这个容器最小的半径为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在中，内角，，所对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若为锐角三角形，，，求的面积．16．如图在四棱锥中，，，，，．(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的正弦值．17．已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1．(1)求椭圆的离心率；(2)过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，．（ⅰ）证明直线过定点；（ⅱ）求面积的最大值．18．在一个不透明箱子内装有个大小相同，质地均匀的小球，其中有个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止．记为取球次数，表示在标记了个球的情况下，第个小球是标记球的概率，表示是最后一个标记球的概率．(1)，，求；(2)求和；(3)求，，．19．已知，．(1)求证：图象关于直线对称；(2)当时，存在最大值，求实数的取值范围；(3)当时，恒成立，求的值．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．A【详解】先对样本数据进行从小到大的排序：4，5，6，8，12，共5个数据，因为，不是整数，所以第一四分位数为第2位，即5.2．D【详解】因为，所以，所以，解得.3．C【分析】利用点坐标计算出，再根据焦点到准线的距离公式即可求解.【详解】点在抛物线上，代入可得：，解得：，所以焦点到准线的距离为.4．A【详解】由题设，令，定义域为，，所以.5．B【详解】由题设，，令，得，故项的系数为，所以.6．D【详解】已知，，整理，得，则，，，则，当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为.7．A【分析】设，由题意可得，由三角不等式可得，当，，三点共线时，等号成立，计算可得最大值.【详解】设，由题意可得，即，由三角不等式，平面上任意一点满足，要使有最大值，则，此时，即当取最大值，即，，三点共线时，三角不等式等号成立，此时，所以，即，解得（舍去），，故的最大值为，验证：当的最大值为时，点的坐标为，此时，代入条件，满足条件，所以的最大值为.8．C【分析】利用集合的“极差”的定义逐项分析计算可判断其正误.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，因为，所以，，所以，所以，故B错误；对于C，因为，所以，，所以，当且仅当，时等号成立，由，得，令，求导得，所以函数在上单调递增，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，所以，故C正确；对于D，等比数列的公比为，首项，所以等比数列的前项和为，所以的最大值为，最小值为，所以，所以存在等比数列，使得，故D错误.9．AC【分析】A选项，利用三角函数的周期进行求解；B选项，利用图像的特殊值求出函数的解析式，再利用对称轴进行求解；C选项，利用函数的平移和三角转化进行求解；D选项，利用零点的存在性结合列举进行求解.【详解】A选项，由图可知：，解得：，所以A选项正确；B选项，由图可知：，，且，则，其中，解得：，又因为，所以，则，将代入得：，由三角函数图像性质得不是正弦函数的对称轴，所以B选项错误；C选项，函数的图象向左平移个单位长度为，所以C选项正确；D选项，令，得：，求的零点，当时，，当时，，当时，，当时，，零点依次为：第3个零点必须在内，第4个零点不能在区间内，所以，所以D选项错误.10．ABD【分析】结合指对互化判断A选项，再结合圆与直线的位置关系、函数的单调性以及零点存在性定理等逐一判断选项.【详解】因为圆，所以圆心为，满足，所以即，选项A正确；若圆过点，则，设函数，其函数图象连续不断，且，，，根据零点存在性定理可知方程恰有两个实数根，选项B正确；若圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，化简得，即或者，令，则，令得所以在单调递减，在单调递增，所以，所以方程有唯一解，方程有两个解，所以存在三个不同的实数，使圆与直线相切，选项错误；直线平分圆的面积，等价于直线过圆心，即，令函数，则，令得，所以在单调递减，在单调递增，且，，函数图象连续，由零点存在性定理，共有两个零点，所以存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积，所以选项正确.11．ABD【分析】根据繁殖规律推导递推关系，结合初始值逐项计算即可得到对应项的值即可判断A选项，利用递推关系将偶数项转化为相邻奇数项的差，裂项相消后求和即可判断B选项，对前项和进行裂项相消，得到，将不等式转化为，通过查找数列项的值确定最小即可判断C选项，用数学归纳法证明平方和等式，关键是利用递推关系完成从到的递推即可判断D选项．【详解】首先根据题目给出的特殊繁殖规律：雄虫由未受精的卵细胞发育而来，只有母亲；雌虫由受精卵发育而来，有父亲和母亲，由此可以推导祖辈数量的递推关系：第代的雄虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量=它的母亲的祖辈数量；第代的雌虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量=它的父亲的祖辈数量+它的母亲的祖辈数量；最终可以得到递推公式：，这是斐波那契型数列，结合已知的，，可以依次算出前几项：，接下来逐个验证选项：选项A：根据递推结果，，所以A正确；选项B：利用递推关系，对偶数项求和：，故B正确；选项C：计算前项和，，要求，即，已知，因此，，最小是10不是11，所以C错误；选项D：当时，，成立；假设当时等式成立，即，当时，，所以等式对也成立，由数学归纳法，等式对所有正整数成立，即D正确．12．【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可．【详解】因为，所以，所以，故答案为：．13．【详解】因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，又，所以，解得，所以，所以切线方程为，即.14．【分析】通过将球心构建成正四面体来求解上球所需的半径，并与下球进行比较求得最小所需半径.【详解】由题意可知，四个球体球心所围出来的图形为棱长为的正四面体，可知四面体底面中心到底面顶点距离，上顶点到底面中心距离，若要满足上球可以被罩住，，对于底部三个球体，若能被罩住，则，因此最小半径为.15．(1)(2)6【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简等式，根据得到，在三角形内角范围内求出角；（2）代入已求角运用余弦定理建立关于边长的一元二次方程，解出后通过符号取舍增根，最后代入三角形面积公式算出面积.【详解】（1）由题意，，由正弦定理得，由，得，所以，得，又，得，，所以．（2）由（1）知，由余弦定理得，即，整理得，解得或者．时，，舍去；时，，C为最大角，，符合题意；所以，．16．(1)证明：连结，过作，垂足为，于．，中，，．

中，，，即，所以，又，,平面,平面，平面，又因为平面，平面平面．(2)【详解】（1）略（2）因为平面，如图所示以为原点，过点与垂直的直线为轴，，为，轴建立坐标系．由（1）知，，，，．

所以，．设平面法向量，由，，，取，得，有，

又，，设平面法向量，由，，，取，得，有，

设平面与平面的夹角为，则，所以．17．(1)(2)（ⅰ）由（1）．设，，设切线的方程为，联立整理得，由，得，因为在椭圆上，所以，则，则，所以过与相切的直线方程为，即的方程为，同理的方程为，又因为，都经过点，所以，显然，在直线上，即直线方程为，所以直线过定点.（ⅱ）【分析】（1）利用椭圆通径公式求出基本量，计算离心率；（2）（i）借助切点处切线方程，利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程，证明直线过定点；（ii）将三角形面积表达为参数t的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值.【详解】（1）此椭圆，过焦点垂直于轴的弦即通径，长为，得，，故．（2）（i）略（ii）联立直线与椭圆方程得．，.，设，原式，所以当即，点，切线，关于轴对称时，取最大值为．【点睛】本题重点考查椭圆切点弦（极线）模型，利用切点切线方程快速写出切点弦直线，是简化运算的关键.定点问题需整理直线方程分离参数；面积借助根与系数的关系表示，换元后利用对勾函数求最值.注意换元后变量的取值范围，避免最值误判.18．(1)(2)；(3)；；【分析】(1)不放回抽样，每次的概率均等(2)对题目进行转化，分步进行计算(3)对题目转化后经过计算即可解出答案.【详解】（1），表示第次才取出这1个标记球的概率，：第一次取非标记球，第二次取标记球；.（2）不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等，，共n个球，;求，即满足在前次共拿到1个标记球，第i次拿到第2个标记球,i的取值范围为.，；当时，；所以，.（3）不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等；；求，即满足在前次共拿到个标记球，第i次拿到第k个标记球,i的取值范围为.，；，.所以，.19．(1)证明：关于直线对称．(2)(3)【分析】（1）利用函数对称性的定义式证明即可；（2）由对称性转化为研究时函数有最大值，求导后分类讨论，结合函数极值及函数单调性判断函数是否存在最大值即可得解；（3）利用函数的导数，分别分析三种情况，即可由不等式恒成立求解.【详解】（1）略（2）由（1）知关于直线对称，故仅考虑．，设，．（i）当时，恒成立．在单调递增，此时，在单调递减．所以，此时在不存在最大值.（ii）当时，使，