第4章《相似形》检测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第4章《相似形》检测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册全卷共三大题，24小题，满分为120分．第一部分选择题一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．若，则的值为（

）A． B． C． D．（新情景试题∙实际应用）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（

）A． B． C． D．3.（新情景试题∙生活应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（

）A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间4.（新情景试题∙学科交叉题型）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（

）A． B． C． D．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（

）A．B． C． D．6．（新情景试题∙生活应用）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（

）A．20 B．30 C．40 D．607.如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则：（

）A．： B．： C．： D．：（新情景试题∙实际应用）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（

）cm．

A．1 B．2 C．3 D．49.（新情景试题∙实验探究）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：；乙同学：若，则；丙同学：当时，为的中点．则下列说法正确的是（

）A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确10.边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④第二部分非选择题二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．11．若，则的值是．（新情景试题∙学科交叉）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是_______

13.（新情景试题∙实际应用）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为m．14.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为_________．15.如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过秒钟，与相似．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则＝．三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，相交于点O，．求证：；已知，的面积为6，求的面积．18．如图，在中，点是的边上的一点．(1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”）(2)选择一种正确的方法求证：．（新情景试题∙实际应用）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，求汽车盲区的长度．20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．(1)在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为；(2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标；(3)如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标．（新情景试题∙学科交叉）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上，求的长；求点E到地面的高度．（新情景试题∙实际应用）如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形．(1)与相似吗？为什么？(2)求正方形的边长．23.如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为()，其中．解答下列问题：(1)，（用含t的代数式表示）(2)当t为何值时，．(3)在P、Q运动过程中，是否存在某一时刻使得，若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．（新情景试题∙综合与实践）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F．求证：．如，，求的半径长；若G是的中点，，求的长．第4章《相似形》检测试卷2026-2027学年浙教版九年级数学上册（解析版）全卷共三大题，24小题，满分为120分．第一部分选择题一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可．本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵，∴，两边同时除以，得，∴．故选：B．（新情景试题∙实际应用）如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果．【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、，∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，∴，，∵，∴，∵，∴．3.（新情景试题∙生活应用）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶也蕴含着“美学”．如图，枫叶的叶柄和主叶脉的比值接近黄金比．估计的值应在（

）A．0到0.5之间 B．0.5到1之间 C．1到1.5之间 D．1.5到2之间【答案】B【分析】本题考查了无理数的估算．由题意知，，即，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∴，则，∴，故选：B．4.（新情景试题∙学科交叉题型）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．【详解】解：，，又，，，，，．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可．【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似．B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似．C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似．D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似．6．（新情景试题∙生活应用）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取B，C，D三点，使得，，点E在上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为（

）A．20 B．30 C．40 D．60【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，根据相似三角形对应边成比例列式计算，即可解题．【详解】解：，，，，，，，，，解得，故选：D．7.如图，在中，与相交于点，为的中点，连接并延长交于点，则：（

）A．： B．： C．： D．：【答案】D【分析】根据平行四边形的性质，得出，，进而得出，得出比例式，根据已知条件得出，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴∴∵与相交于点，为的中点，∴，∴∴∴，故选：D．（新情景试题∙实际应用）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为（

）cm．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，∵，，，，，，解得：，故选：C．9.（新情景试题∙实验探究）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：；乙同学：若，则；丙同学：当时，为的中点．则下列说法正确的是（

）A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故甲同学说法正确；若，∵，∴，∴，故乙同学说法正确；当时，，∴，∴，∴，∵，∴为的中点，故丙同学说法正确；综上，三个同学说法都正确，故选：10.边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于H，则下列结论：①EF=EC；②；③；,④若BF=1，则，正确的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】①由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；②通过证明，可得；③通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论；④通过证明，可得，即可求解．【详解】如图，连接，四边形是正方形，，，又，，，，，，，又，，，，故①正确；，，，，又，，，，故②正确；，，，，，，，，，，，，故③正确；，，，，，，又，，，，，故④正确，故选：．第二部分非选择题二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．11．若，则的值是．【答案】【分析】设，可分别表示出、和，代入原式可直接求得结果．【详解】解∶设则，，．故答案为∶．（新情景试题∙学科交叉）如图，是一个小孔成像的示意图，已知物距为12cm，像距为18cm，则当火焰高度为3cm时，火焰倒立的像的高度是_______

【答案】4.5【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设火焰倒立的像的高度为，则，解得：，即火焰倒立的像的高度是，故选：C．13.（新情景试题∙实际应用）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上，则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为m．【答案】【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，根据其相似比即可求解．【详解】解：，，，，（米，故答案为：1.6．14.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心线段与线段是位似图形，若，，，则的坐标为_________．【答案】【分析】根据的对应点是，可得线段与线段的位似比是，进而即可求出答案．【详解】∵以原点为位似中心线段与线段是位似图形，的对应点是，∴线段与线段的位似比是，∴点的对应点的坐标为：．故答案是：．15.如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过秒钟，与相似．【答案】2或5/5或2【分析】分和两种情况解答即可．【详解】解：设P、Q运动时间为秒，根据题意，，，则，当时，则，即，解得：；当时，则，即，解得：，综上，当经过2或5秒钟，与相似．故答案为：2或5．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则＝．【答案】【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，=．故答案为：．三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤如图，相交于点O，．求证：；已知，的面积为6，求的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．（1）对顶角相等，结合，即可得出；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，又，∴；（2）∵，∴，∴，解得．18．如图，在中，点是的边上的一点．(1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”）(2)选择一种正确的方法求证：．【答案】(1)小星和小红对，小亮错(2)证明：小星的证明：∵，∴；小红的证明：∵，∴．【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果；（2）见解析（1）．【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下：小星的证明：∵，∴；小红的证明：∵，∴；小亮的证明：由不能证明，∴小星和小红对，小亮错；（2）证明：小星的证明：∵，∴；小红的证明：∵，∴．（新情景试题∙实际应用）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，求汽车盲区的长度．【答案】【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题．如图，过点P作于点N，交于点M．理由相似三角形的性质求解．【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点M．，，∵四边形是矩形，，，，，，，，，答：汽车盲区的长度为．

20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．(1)在y轴左侧以O为位似中心作的位似图形，且与的相似比为；(2)分别写出A，B的对应点C，D的坐标；(3)如果内部一点M的坐标为，写出点M在内的对应点N的坐标．【答案】(1)解：如图，即为所求；(2)点C，D的坐标分别为(3)【分析】此题考查了位似变换的性质，还考查了学生的动手能力．题目比较简单，注意数形结合思想的应用．（1）根据位似变换的性质，即可画出位似三角形；（2）结合图形，由位似变化的性质，即可求得；（3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得．【详解】（1）略（2）解：∵点A，B的坐标分别为，，与的相似比为，∴点C，D的坐标分别为；（3）解：∵内部一点M的坐标为，∴对应点N的坐标为．（新情景试题∙学科交叉）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上，求的长；求点E到地面的高度．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）证明，得出，代入数据求出的长即可；（2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，，，∴，∴，即，∴∴，即的长为；（2）解：由（1）知，，∴，由题意知，，∴，∴，∴∴，即点E到地面的高度为．（新情景试题∙实际应用）如图，是的高，点，在边上，点在边上，点在边上，，，四边形是正方形．(1)与相似吗？为什么？(2)求正方形的边长．【答案】(1)，理由如下，∵四边形是正方形∴，即∴；(2)【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与